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중학교 2학년 (13-14세)

일차부등식

Linear Inequalities

부등식은 등호 대신 부등호 <, >, ≤, ≥를 써서 두 양의 크고 작음을 나타내는 식이에요. 방정식 x = 3의 해는 한 수뿐이지만, 부등식 x > 3의 해는 3보다 큰 수 전부라서 수직선 위의 한 구간으로 나타나요. 키가 120 cm 이상이어야 타는 놀이기구나, 만 원 안에서 몇 개까지 살 수 있는지 따지는 일처럼 생활 속 조건은 대부분 부등식이에요. 부등식을 푸는 방법은 방정식과 거의 같은데, 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때만 부등호의 방향이 뒤집혀요.

등호 대신 부등호

👀 부등식과 그 해
①등식 x = 3을 참으로 만드는 수는 3 하나뿐이다.
②부등식 x > 3은 3.1도, 4도, 100도 참으로 만든다. 해는 하나가 아니라 범위다.
③수직선에서 <, >는 경계를 빼므로 속이 빈 원(○)으로, ≤, ≥는 경계를 넣으므로 속이 찬 원(●)으로 그린다.
④말로 바꾸면 ≥는 「이상」, ≤는 「이하」, >는 「초과」, <는 「미만」이다.
3
>

음수를 곱하면 부등호가 뒤집힌다

2
부등식의 성질
a < b이고 c < 0이면 ac > bc, a/c > b/c
양변에 같은 수를 더하거나 빼도, 양수를 곱하거나 나누어도 부등호 방향은 그대로다. 음수를 곱하거나 나눌 때만 방향이 바뀐다.

일차부등식 풀기

풀이 순서
괄호 풀기 → 이항 → 동류항 정리 → x의 계수로 양변 나누기
일차방정식 풀이와 순서가 같다. 마지막에 나누는 계수가 음수이면 부등호 방향을 바꾼다.
📝 풀이 한 가지
①2x − 3 > 5에서 −3을 우변으로 옮기면 2x > 8이다.
②양변을 양수 2로 나누면 x > 4이고, 부등호는 그대로다.
③수직선에는 4에 속이 빈 원을 그리고 오른쪽으로 화살표를 긋는다. 4 자신은 해가 아니다.

부등식의 활용

💡 문장을 부등식으로 옮기기
①구하려는 양을 x로 놓는다.
②「이상」, 「이하」, 「초과」, 「미만」, 「넘지 않는다」 같은 말에서 부등호를 정해 부등식을 세운다.
③부등식을 푼 뒤 문제의 조건에 맞는 값만 고른다. 물건 개수처럼 자연수여야 하면 해의 범위 안에서 자연수만 답이 된다.

예제로 확인하기

예제 1
일차부등식 2x − 3 > 5를 푸시오.
1
상수항 −3을 우변으로 이항한다.
2x > 5 + 3 = 8
2
양변을 양수 2로 나눈다. 부등호는 그대로다.
x > 4
▸ x > 4
양수로 나눌 때는 부등호 방향이 바뀌지 않는다.
예제 2
일차부등식 −3x + 1 ≥ 7을 푸시오.
1
상수항 1을 우변으로 이항한다.
−3x ≥ 6
2
양변을 음수 −3으로 나누므로 부등호 방향을 바꾼다.
x ≤ −2
▸ x ≤ −2
x = −3을 넣어 보면 −3·(−3) + 1 = 10 ≥ 7로 참이고, x = 0을 넣으면 1 ≥ 7로 거짓이다. 방향을 바꾼 답이 맞다.

시험 포인트 정리

일차부등식 ax + b > 0의 해
a > 0이면 x > −b/a, a < 0이면 x < −b/a
같은 식이라도 x의 계수 a의 부호에 따라 해의 방향이 정반대가 된다.
중2 내신 유형
부등식 5 − 2x ≥ −1을 만족하는 자연수 x의 개수는?
①1
②2
③3
④4
⑤5
▸ ③ 3
1
5를 우변으로 이항한 뒤, 음수 −2로 나누면 부등호 방향이 바뀐다.
−2x ≥ −6 ⇒ x ≤ 3
2
x ≤ 3을 만족하는 자연수를 센다.
자연수 x = 1, 2, 3 ⇒ 3개
🎯 시험 포인트
①수직선에서 <, >는 속이 빈 원(○), ≤, ≥는 속이 찬 원(●)이다.
②양변에 음수를 곱하거나 음수로 나누면 부등호 방향이 바뀐다. 가장 자주 틀리는 자리다.
③이항할 때는 항의 부호가 바뀐다.
④「이상·이하」는 경계를 포함하고 「초과·미만」은 포함하지 않는다.
⑤활용 문제에서 자연수 조건이 있으면 범위 안의 자연수만 센다.
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