단항식과 다항식의 계산

Polynomial Operations

x나 y 같은 문자가 섞인 식도 결국은 숫자 계산과 똑같은 규칙으로 다룰 수 있어요. 3x²처럼 수와 문자의 곱으로 된 단항식을 여러 개 더한 것이 다항식이고, 문자와 차수가 똑같은 동류항끼리는 계수만 더하면 정리가 돼요. 다항식에 단항식을 곱할 때는 직사각형의 넓이를 나누듯 분배법칙으로 하나씩 곱하고, 단항식끼리는 계수는 계수끼리 문자는 지수법칙으로 계산해요. 2·3단계에서 계수와 넓이 모델을 움직이면 정리가 보여요. 넓이 슬라이더 a·b는 1~5 양수이고, 음수 항은 식으로만 계산해요.

직관 도입: 문자가 있는 곱셈

👀 단항식이란?

①수와 문자의 곱으로만 이루어진 식: 3x², -5xy, 7

②3x²에서 3은 계수, x²은 문자 부분, 차수는 2

③다항식은 단항식들의 합: 3x² + 2x - 1

동류항 정리

첫째 계수3

둘째 계수2

동류항 덧셈

axⁿ + bxⁿ = (a + b)xⁿ

문자와 차수가 같은 항끼리만 계수를 더할 수 있다

다항식 × 단항식: 넓이 모델

a (x의 계수)3

b (상수항)2

분배법칙

a(b + c) = ab + ac

괄호 밖의 항을 괄호 안 각 항에 곱한다

단항식의 곱셈·나눗셈

단항식의 곱셈

(계수끼리 곱) × (문자끼리 지수법칙)

3x² × 2x³ = 6x⁵ → 계수: 3×2=6, 지수: 2+3=5

단항식의 나눗셈

6x⁵2x² = 3x³

계수끼리 나누고, 같은 문자는 지수를 뺀다

직접 풀어보기

예제 1

3x² × 4x³을 계산하시오.

계수는 계수끼리, 문자는 문자끼리 곱한다.

= (3 × 4) × (x² × x³)

지수법칙으로 정리한다.

= 12x⁵

▸ 12x⁵

단항식의 곱은 계수끼리, 같은 문자끼리 모아 계산한다.

예제 2

2x(3x − 5)를 전개하시오.

분배법칙으로 각 항에 곱한다.

= 2x × 3x − 2x × 5

정리한다.

= 6x² − 10x

▸ 6x² − 10x

(단항식) × (다항식)은 분배법칙으로 전개한다.

시험 포인트 정리

식의 계산 핵심

동류항 정리 + 분배법칙 + 지수법칙

이 세 가지만 정확히 하면 모든 문제를 풀 수 있다

중2 내신 유형

12a⁵ b³ ÷ 3a² b 를 계산하면?

①4a³ b²

②4a³ b³

③9a³ b²

④4a⁷ b⁴

⑤36a⁷ b⁴

▸ ① 4a³ b²

계수는 나누고, 같은 문자는 지수를 뺀다.

= (12 ÷ 3) × a⁵⁻² × b³⁻¹

정리한다.

= 4a³ b²

🎯 시험 포인트

①동류항: 문자와 차수가 '완전히' 같아야 한다 (x²과 x는 다름!)

②분배법칙: 괄호 앞의 부호를 빠뜨리지 말 것

③단항식 곱셈: 계수는 곱하고, 같은 문자의 지수는 더한다

④단항식 나눗셈: 계수는 나누고, 같은 문자의 지수는 뺀다

⑤부호 실수 주의: -2(3x - 4) = -6x + 8 (뒤의 부호가 바뀐다)