단항식과 다항식의 계산

Polynomial Operations

x나 y 같은 문자가 섞인 식도 결국은 숫자 계산과 똑같은 규칙으로 다룰 수 있어요. 3x²처럼 수와 문자의 곱으로 된 단항식을 여러 개 더한 것이 다항식이고, 문자와 차수가 똑같은 동류항끼리는 계수만 더하면 정리가 돼요. 다항식에 단항식을 곱할 때는 직사각형의 넓이를 나누듯 분배법칙으로 하나씩 곱하고, 단항식끼리는 계수는 계수끼리 문자는 지수법칙으로 계산해요. 이 페이지에서는 계수와 넓이 모델을 직접 움직이며 왜 이렇게 계산하는지 확인해 봐요.

직관 도입: 문자가 있는 곱셈

👀 단항식이란?

①수와 문자의 곱으로만 이루어진 식: 3x², -5xy, 7

②3x²에서 3은 계수, x²은 문자 부분, 차수는 2

③다항식은 단항식들의 합: 3x² + 2x - 1

동류항 정리

첫째 계수3

둘째 계수2

동류항 덧셈

axⁿ + bxⁿ = (a + b)xⁿ

문자와 차수가 같은 항끼리만 계수를 더할 수 있다

다항식 × 단항식: 넓이 모델

a (x의 계수)3

b (상수항)2

분배법칙

a(b + c) = ab + ac

괄호 밖의 항을 괄호 안 각 항에 곱한다

단항식의 곱셈·나눗셈

단항식의 곱셈

(계수끼리 곱) × (문자끼리 지수법칙)

3x² × 2x³ = 6x⁵ → 계수: 3×2=6, 지수: 2+3=5

단항식의 나눗셈

6x⁵2x² = 3x³

계수끼리 나누고, 같은 문자는 지수를 뺀다

직접 풀어보기

예제 1

3x² × 4x³을 계산하시오.

계수는 계수끼리, 문자는 문자끼리 곱한다.

= (3 × 4) × (x² × x³)

지수법칙으로 정리한다.

= 12x⁵

▸ 12x⁵

단항식의 곱은 계수끼리, 같은 문자끼리 모아 계산한다.

예제 2

2x(3x − 5)를 전개하시오.

분배법칙으로 각 항에 곱한다.

= 2x × 3x − 2x × 5

정리한다.

= 6x² − 10x

▸ 6x² − 10x

(단항식) × (다항식)은 분배법칙으로 전개한다.

시험 포인트 정리

식의 계산 핵심

동류항 정리 + 분배법칙 + 지수법칙

이 세 가지만 정확히 하면 모든 문제를 풀 수 있다

중2 내신 유형

12a⁵ b³ ÷ 3a² b 를 계산하면?

①4a³ b²

②4a³ b³

③9a³ b²

④4a⁷ b⁴

⑤36a⁷ b⁴

▸ ① 4a³ b²

계수는 나누고, 같은 문자는 지수를 뺀다.

= (12 ÷ 3) × a⁵⁻² × b³⁻¹

정리한다.

= 4a³ b²

🎯 시험 포인트

①동류항: 문자와 차수가 '완전히' 같아야 한다 (x²과 x는 다름!)

②분배법칙: 괄호 앞의 부호를 빠뜨리지 말 것

③단항식 곱셈: 계수는 곱하고, 같은 문자의 지수는 더한다

④단항식 나눗셈: 계수는 나누고, 같은 문자의 지수는 뺀다

⑤부호 실수 주의: -2(3x - 4) = -6x + 8 (뒤의 부호가 바뀐다)