seegongsik
중학교 2학년 (13-14세)

단항식과 다항식의 계산

Polynomial Operations

x나 y 같은 문자가 섞인 식도 숫자 계산과 같은 규칙을 따르기 때문에, 규칙 몇 가지만 알면 길고 복잡한 식을 짧게 정리할 수 있어요. 3x²처럼 수와 문자의 곱 하나로 된 식이 단항식이고, 단항식을 더해 놓은 식이 다항식이에요. 문자 부분이 똑같은 항, 곧 동류항은 같은 모양의 블록처럼 한데 모아 계수만 더하면 되고, 다항식에 단항식을 곱할 때는 직사각형의 넓이를 조각내어 더하듯 분배법칙으로 하나씩 곱해요. 아래 그림의 블록과 넓이 모델을 보면 이 두 규칙이 왜 성립하는지 눈으로 확인할 수 있어요.

수와 문자의 곱

👀 단항식과 다항식
①수와 문자의 곱으로만 된 식을 단항식이라 한다. 3x², −5xy, 7은 모두 단항식이다.
②3x²에서 3은 계수, x²은 문자 부분이고, 곱해진 문자의 개수 2가 차수다.
③단항식 여러 개를 더한 3x² + 2x − 1 같은 식이 다항식이고, 더해진 하나하나를 항이라 한다.

동류항끼리 모으기

3
2
동류항의 덧셈
axn + bxn = (a + b)xn
문자와 차수가 모두 같은 항끼리만 계수를 더할 수 있다. 3x + 2x = 5x지만 3x + 2는 더 줄일 수 없다.

다항식 × 단항식과 넓이

3
2
분배법칙
a(b + c) = ab + ac
괄호 밖의 항을 괄호 안의 모든 항에 하나씩 곱한다. 그림에서는 큰 직사각형의 넓이가 정사각형들의 넓이와 띠들의 넓이의 합과 같다.

단항식의 곱셈과 나눗셈

단항식의 곱셈
(계수끼리 곱) × (같은 문자끼리 지수법칙)
3x² × 2x³에서 계수는 3 × 2 = 6, 지수는 2 + 3 = 5이므로 6x⁵이다.
단항식의 나눗셈
6x52x2 = 3x3
계수끼리 나누고, 같은 문자는 지수를 뺀다. 나눗셈을 역수의 곱셈으로 바꾸어 계산해도 된다.

예제로 확인하기

예제 1
3x2 × 4x3을 계산하시오.
1
계수는 계수끼리, 문자는 문자끼리 묶어 곱한다.
= (3 × 4) × (x2 × x3)
2
같은 문자 x의 지수를 더한다.
= 12x5
▸ 12x5
단항식의 곱은 계수끼리, 같은 문자끼리 모아 계산한다.
예제 2
2x(3x − 5)를 전개하시오.
1
분배법칙으로 2x를 괄호 안의 두 항에 각각 곱한다.
= 2x × 3x − 2x × 5
2
각 곱을 정리한다.
= 6x2 − 10x
▸ 6x2 − 10x
(단항식) × (다항식)은 분배법칙으로 전개한다. 넓이 모델에서 직사각형을 두 조각으로 나눈 것과 같다.

시험 포인트 정리

식의 계산을 떠받치는 세 규칙
동류항 정리 + 분배법칙 + 지수법칙
대부분의 식의 계산은 이 세 가지를 순서대로 적용하는 일이다.
중2 내신 유형
12a5 b3 ÷ 3a2 b 를 계산하면?
①4a3 b2
②4a3 b3
③9a3 b2
④4a7 b4
⑤36a7 b4
▸ ① 4a3 b2
1
계수는 나누고, 같은 문자는 지수를 뺀다.
= (12 ÷ 3) × a5−2 × b3−1
2
각각 계산해 정리한다.
= 4a3 b2
🎯 시험 포인트
①동류항은 문자와 차수가 완전히 같아야 한다. x²과 x는 동류항이 아니다.
②분배법칙을 쓸 때 괄호 앞의 부호까지 함께 곱한다.
③단항식의 곱셈에서는 계수를 곱하고, 같은 문자의 지수를 더한다.
④단항식의 나눗셈에서는 계수를 나누고, 같은 문자의 지수를 뺀다.
⑤부호 실수가 가장 잦다. −2(3x − 4) = −6x + 8처럼 뒤의 항의 부호도 바뀐다.
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