지수법칙

Laws of Exponents

지수법칙은 거듭제곱을 곱하고 나누고 또 거듭제곱할 때의 규칙을 간단히 정리한 거예요. 2의 세제곱 곱하기 2의 두제곱은 2를 다섯 번 곱한 것과 같으니, 밑이 같은 거듭제곱의 곱셈은 지수를 더하면 돼요. 같은 방법으로 나눗셈은 지수를 빼고, 거듭제곱의 거듭제곱은 지수를 곱하면 되어요. 이 페이지에서는 밑과 지수를 바꿔 가며 왜 이런 규칙이 성립하는지 직접 확인해 봐요.

직관 도입: 곱셈의 반복

밑 a2

지수 n3

👀 거듭제곱이란?

①2³ = 2 × 2 × 2 = 8 → '2를 3번 곱한다'

②밑이 커지면? 지수가 커지면? 결과가 폭발적으로 증가

③이 '반복 곱셈'의 규칙이 바로 지수법칙이다

법칙 1: 같은 밑의 곱

지수법칙 1: 곱셈

a^m × aⁿ = a^m+n

같은 밑끼리 곱하면 지수를 더한다

법칙 2, 3: 나눗셈과 거듭제곱의 거듭제곱

지수법칙 2: 나눗셈

a^m ÷ aⁿ = a^m-n (m > n, a ≠ 0)

같은 밑끼리 나누면 지수를 뺀다

지수법칙 3: 거듭제곱의 거듭제곱

(a^m)ⁿ = a^mn

거듭제곱을 다시 거듭제곱하면 지수를 곱한다

💡 왜 지수를 곱할까?

①(a²)³ = a² × a² × a² → a를 2번씩 3묶음 = 6번

②즉 (a^m)^n에서 m번 곱하기를 n번 반복 = m×n번

법칙 4, 5: 곱과 몫의 거듭제곱

곱의 거듭제곱

(ab)ⁿ = aⁿ × bⁿ

곱을 거듭제곱하면 각각에 지수를 적용

몫의 거듭제곱

(ab)ⁿ = aⁿbⁿ

몫을 거듭제곱하면 분자·분모 각각에 지수를 적용

직접 풀어보기

예제 1

a⁴ × a³을 간단히 하시오.

밑이 같은 거듭제곱의 곱은 지수를 더한다.

a⁴ × a³ = a⁴⁺³

지수를 계산한다.

= a⁷

▸ a⁷

밑이 같으면 곱셈은 지수의 합, 나눗셈은 지수의 차.

예제 2

(2a² b)³을 간단히 하시오.

곱의 거듭제곱은 각 인수를 거듭제곱하며, 계수도 거듭제곱한다.

= 2³ × (a²)³ × b³

지수법칙으로 정리한다.

= 8a⁶ b³

▸ 8a⁶ b³

(ab)ⁿ = aⁿ bⁿ이고 (a^m)ⁿ = a^mn임에 주의한다.

시험 포인트 정리

지수법칙 5가지 요약

a^m·aⁿ=a^m+n, a^m÷aⁿ=a^m-n, (a^m)ⁿ=a^mn

(ab)ⁿ=aⁿ·bⁿ, (a/b)ⁿ=aⁿ/bⁿ

중2 내신 유형

aⁿ ÷ a² = a⁵일 때, 자연수 n의 값은? (단, a ≠ 0)

①5

②6

③7

④8

⑤10

▸ ③ 7

밑이 같은 거듭제곱의 나눗셈은 지수를 뺀다.

aⁿ ÷ a² = aⁿ⁻² = a⁵

지수를 비교한다.

n − 2 = 5 ⇒ n = 7

🎯 시험 포인트

①밑이 같은지 확인 → 같으면 지수끼리 연산

②곱→지수 덧셈, 나눗셈→지수 뺄셈, 거듭의 거듭→지수 곱셈

③a⁰ = 1 (a ≠ 0): 지수가 0이면 항상 1

④부호 주의: (-2)² = 4이지만 -2² = -4

⑤괄호 유무에 따라 결과가 완전히 달라진다