중학교 2학년 (13-14세)

지수법칙

Laws of Exponents

지수법칙은 거듭제곱끼리 곱하고, 나누고, 다시 거듭제곱할 때의 규칙을 짧게 정리한 거예요. 2³ × 2²는 2를 세 번 곱한 뒤 다시 두 번 곱한 것이니 2를 다섯 번 곱한 2⁵가 되고, 그래서 밑이 같은 거듭제곱의 곱셈은 지수를 더하면 돼요. 같은 생각으로 나눗셈은 지수를 빼고, 거듭제곱을 다시 거듭제곱하면 지수를 곱해요. 이 장에서는 밑과 지수를 바꿔 가며 거듭제곱이 얼마나 빨리 커지는지 보고, 블록을 세어 지수를 더하는 까닭을 확인해요.

같은 수를 거듭 곱하기

밑 a2

지수 n3

👀 거듭제곱

①2³ = 2 × 2 × 2 = 8이다. 2를 세 번 곱했다는 뜻이고, 2를 밑, 3을 지수라 한다

②지수가 1 커질 때마다 값은 밑의 배수로 커진다. 그림에서 막대가 갈수록 가파르게 높아지는 까닭이다

③이렇게 같은 수를 거듭 곱하는 규칙을 정리한 것이 지수법칙이다

법칙 1. 밑이 같은 거듭제곱의 곱

지수법칙 1. 곱셈

a^m × aⁿ = a^m+n

밑이 같은 거듭제곱끼리 곱하면 지수를 더한다. a를 m개 곱하고 이어서 n개 더 곱하면 모두 m + n개다

법칙 2, 3. 나눗셈과 거듭제곱의 거듭제곱

지수법칙 2. 나눗셈

a^m ÷ aⁿ = a^m-n (m > n, a ≠ 0)

밑이 같으면 지수를 뺀다. m = n이면 1이고, m < n이면 1을 a의 (n − m)제곱으로 나눈 꼴이 된다

지수법칙 3. 거듭제곱의 거듭제곱

(a^m)ⁿ = a^mn

거듭제곱을 다시 거듭제곱하면 지수를 곱한다

💡 왜 지수를 곱하는가

①(a²)³ = a² × a² × a²이다. a를 두 번 곱한 묶음이 세 개 있으므로 a는 모두 2 × 3 = 6번 곱해진다

②일반적으로 (aᵐ)ⁿ은 a를 m번 곱하는 일을 n번 되풀이한 것이므로 aᵐⁿ이다

③지수를 더하는 법칙 1과 헷갈리기 쉽다. 곱셈은 지수의 합, 거듭제곱의 거듭제곱은 지수의 곱이다

법칙 4, 5. 곱과 몫의 거듭제곱

곱의 거듭제곱

(ab)ⁿ = aⁿ × bⁿ

곱을 거듭제곱하면 각 인수를 거듭제곱한다. 계수도 빠뜨리지 않는다

몫의 거듭제곱

(ab)ⁿ = aⁿbⁿ

몫을 거듭제곱하면 분자와 분모를 각각 거듭제곱한다 (b ≠ 0)

예제로 확인하기

예제 1

a⁴ × a³을 간단히 하시오.

밑이 같은 거듭제곱의 곱은 지수를 더한다.

a⁴ × a³ = a⁴⁺³

지수를 계산한다.

= a⁷

▸ a⁷

블록 그림에서 m = 4, n = 3으로 두면 a 블록이 4개와 3개, 모두 7개가 된다.

예제 2

(2a² b)³을 간단히 하시오.

곱의 거듭제곱은 각 인수를 거듭제곱한다. 계수 2도 세제곱한다.

= 2³ × (a²)³ × b³

거듭제곱의 거듭제곱은 지수를 곱한다.

= 8a⁶ b³

▸ 8a⁶ b³

계수를 세제곱하지 않고 2a⁶ b³으로 쓰는 실수가 가장 흔하다.

시험 포인트 정리

지수법칙 다섯 가지

a^m·aⁿ=a^m+n, a^m÷aⁿ=a^m-n, (a^m)ⁿ=a^mn

a^m × aⁿ = a^m+n, a^m ÷ aⁿ = a^m−n, (a^m)ⁿ = a^mn, (ab)ⁿ = aⁿ bⁿ

중2 내신 유형

aⁿ ÷ a² = a⁵일 때, 자연수 n의 값은? (단, a ≠ 0)

①5

②6

③7

④8

⑤10

▸ ③ 7

밑이 같은 거듭제곱의 나눗셈은 지수를 뺀다.

aⁿ ÷ a² = aⁿ⁻² = a⁵

지수를 비교한다.

n − 2 = 5 ⇒ n = 7

🎯 시험 포인트

①먼저 밑이 같은지 확인한다. 밑이 같아야 지수끼리 계산할 수 있다

②곱셈은 지수의 덧셈, 나눗셈은 지수의 뺄셈, 거듭제곱의 거듭제곱은 지수의 곱셈이다

③나눗셈에서 지수가 같으면 1, 나누는 쪽 지수가 더 크면 분수가 된다

④(−2)² = 4이지만 −2² = −4다. 괄호가 있는지에 따라 결과가 완전히 달라진다

⑤곱의 거듭제곱에서는 계수도 거듭제곱한다. (2a)³ = 8a³이다

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마지막 수정 2026-10-17

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