1을 4로 나누면 0.25에서 딱 끝나지만, 1을 3으로 나누면 0.333…처럼 3이 끝없이 이어지고, 1을 7로 나누면 142857 여섯 자리가 통째로 되풀이돼요.
어떤 분수는 유한소수가 되고 어떤 분수는 순환소수가 되는데, 그 갈림길은 기약분수의 분모를 소인수분해했을 때 2와 5만 남는지에 달려 있어요.
거꾸로 순환소수는 10의 거듭제곱을 곱한 식에서 원래 식을 빼면 끝없는 꼬리가 통째로 지워져 분수로 돌아와요.
그래서 유한소수와 순환소수는 모두 분수, 곧 유리수를 소수로 적은 모습이에요.
나누면 어떤 소수가 나올까
나눗셈을 계산기로 하면 화면이 꽉 찬 자리에서 숫자가 끊기기 때문에, 그 소수가 정말 끝나는지 계속 되풀이되는지 화면만으로는 알 수 없다. 이 단원은 그 판단을 자릿수를 세는 일이 아니라 분모를 들여다보는 일로 바꾼다. 소수 한 자리를 더 구할 때마다 10을 곱하는데 10 = 2 × 5이므로, 분모에 2와 5 말고 다른 소인수가 남아 있으면 나머지가 영영 0이 되지 않는다. 이 이유를 알면 1/40이 유한소수이고 1/12가 순환소수라는 것을 나눗셈 없이도 말할 수 있어요.
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수직선 위의 1/n과, 긴 나눗셈으로 구한 1 ÷ n의 소수와 순환마디, 분모의 소인수분해
첫 그림의 수직선에는 0과 1 사이를 n칸으로 나눈 눈금과 1/n의 자리가 찍혀 있고, 그 아래에 1 ÷ n을 긴 나눗셈으로 펼친 소수가 적혀 있다. 순환소수이면 되풀이되는 마디 위에 윗줄을 긋고 마디의 길이를 함께 적으며, 유한소수이면 몇째 자리에서 끝나는지 적는다. 맨 아래 두 줄은 분모 n의 소인수분해와 판정이어서, n을 6에서 8로 바꾸면 소인수 3이 사라지면서 순환소수가 유한소수로 바뀌는 순간이 보인다. 둘째 그림에는 10x에서 x를 빼는 세로셈과, 결과 분수만큼 칠한 원이 나란히 있다.
3
👀 나머지에서 읽어 내는 것
①1 ÷ 3을 긴 나눗셈으로 하면 매번 나머지가 1이라 몫에 3이 끝없이 이어진다.
②1 ÷ 7은 나머지가 1, 3, 2, 6, 4, 5를 돈 뒤 다시 1로 돌아오므로 142857 여섯 자리가 되풀이된다.
③나머지는 분모보다 작은 수밖에 될 수 없으니, 0이 되지 않으면 언젠가 같은 나머지가 다시 나오고 그때부터 몫이 되풀이된다.
소수점 아래가 길게 이어지면 모두 순환소수라고 여기기 쉽지만, 순환소수는 같은 마디가 끝없이 되풀이되는 소수만을 가리킨다. 원주율처럼 되풀이 없이 끝없이 이어지는 소수는 분수로 나타낼 수 없는 무리수이고, 중3에서 다룬다. 또 유한소수 판별은 반드시 기약분수로 고친 뒤에 해야 한다. 3/30은 분모에 3이 있어 순환소수처럼 보이지만 약분하면 1/10 = 0.1이에요.
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10x에서 x를 빼 순환소수 0.nnn…을 분수로 바꾸는 세로셈과 그 크기를 칠한 원
1
한 자리 순환소수를 분수로
0.a̅ = a9
순환마디가 한 자리이면 분모는 9다.
두 자리 순환소수를 분수로
0.a̅b̅ = ab99
순환마디가 두 자리이면 100x − x를 계산하므로 분모는 99다.
순환하지 않는 자리가 앞에 있을 때
앞자리가 순환하지 않는 순환소수
0.ab̅ = ab - a90
순환마디가 시작되는 자리와 한 마디 뒤의 자리로 소수점을 옮긴 두 식을 만들어 뺀다.
📝 0.1666…을 분수로
①x = 0.1666…으로 놓는다.
②10x = 1.666…, 100x = 16.666…이면 두 식의 소수점 아래가 똑같다.
③100x − 10x = 15이므로 90x = 15, x = 15/90 = 1/6이다.
예제로 확인하기
예제 1
분수 3/40이 유한소수인지 순환소수인지 판별하시오.
1
기약분수의 분모를 소인수분해한다.
40 = 2³ × 5
2
분모의 소인수가 2와 5뿐이면 유한소수이다.
소인수 2, 5뿐 ⇒ 유한소수 (3/40 = 0.075)
▸ 유한소수 (0.075)
기약분수의 분모가 2와 5만으로 이루어지면 유한소수이다.
예제 2
순환소수 0.444… 를 기약분수로 나타내시오.
1
x = 0.444…로 놓고 10배 한 식을 만든다.
x = 0.444…, 10x = 4.444…
2
두 식을 빼면 9x = 4이다.
10x − x = 9x = 4 ⇒ x = 4/9
▸ 4/9
순환소수는 10ⁿ을 곱해 빼면 순환마디가 사라진다.
시험 포인트 정리
순환소수를 분수로 바꾸는 규칙
순환마디가 n자리 → 분모에 9를 n개
소수점 아래에서 순환하지 않는 자리가 k개이면 9들 뒤에 0을 k개 붙인다.
중2 내신 유형
분수 a/30이 유한소수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 a의 값은?
①1
②2
③3
④5
⑤6
▸ ③ 3
1
30 = 2 × 3 × 5이므로 유한소수가 되려면 소인수 3이 약분되어야 한다.
30 = 2 × 3 × 5
2
a가 3의 배수여야 하므로 가장 작은 값은 3이다.
a = 3 (3/30 = 1/10 = 0.1)
🎯 시험 포인트
①유한소수 판별은 기약분수로 고친 뒤 분모의 소인수가 2와 5뿐인지 본다.
②순환소수는 순환마디 양 끝 숫자 위에 점을 찍거나 마디 전체에 윗줄을 그어 나타낸다. 이 지면의 그림은 윗줄을 쓴다.