유리수와 순환소수

직관 도입: 나누면 뭐가 나올까?

나눗셈을 소수로 옮겨 적을 때 앞자리만 잘라 두면, 같은 분수를 서로 다른 수처럼 읽기 쉽다. 기약분수로 만든 다음 분모의 소인수가 2와 5의 거듭제곱뿐인지 물으면, 어느 자리에서 끝나는 소수와 같은 묶음이 되풀이되는 소수를 가르는 기준이 선다. 둘 다 다시 분수로 되돌릴 수 있으니 유리수의 다른 표기이고, 순환하지 않은 채 끝없이 이어지는 전개만 그 밖에 남아요. 자리 몇 개를 베끼기보다 분모가 어떤 소인수로 이루어졌는지를 먼저 묻는 편이 표기를 믿을 수 있게 해 준다.

0과 1 사이 수직선 위에 1/n 이 점으로 찍혀 있고, 그 아래에는 1 ÷ n 의 소수 전개가 여러 자리까지 적혀 있다. 분모 n을 2부터 12까지 바꾸면 점의 자리와 소수점 아래 숫자열이 같이 바뀌며, 같은 묶음이 되풀이되면 순환마디와 길이가 적히고 그렇지 않으면 순환하지 않는다는 메모가 남는다. 변환을 적은 그림에는 한 자리 순환소수 x = 0.aaa… 와 그것을 10배 한 식, 빼서 얻은 9x, 그리고 x = a/9 가 세로로 놓여 있고, 약분이 되면 기약분수와 그 비율을 나타낸 부채꼴이 옆에 나타나요. 순환마디 숫자를 1부터 8까지 바꾸면 식에 들어가는 숫자와 부채꼴이 차지하는 비율이 같이 바뀐다.

유한소수 vs 순환소수

순환소수를 분수로 바꾸기

소수점 아래가 길게 이어진다고 해서 모두 분수로 되돌릴 수 있다고 묶기 쉽다. 순환하지 않은 채 끝없이 이어지는 전개는 유리수의 조건을 채우지 못하고, 겉보기에 반복처럼 보여도 분모를 소인수로 쪼개 보면 2와 5만 남아 어느 자리에서 끝나는 경우도 있다. 순환 구간에 윗줄을 긋지 않고 앞자리만 적으면 같은 수를 다른 소수로 읽기 쉬워요. 표기의 점보다 분모의 소인수부터 확인하는 순서가, 끝나는 소수와 순환하는 소수를 섞지 않게 해 준다.

혼합 순환소수 변환

직접 풀어보기

시험 포인트 정리