유리수와 순환소수

Rational Numbers & Repeating Decimals

1을 3으로 나누면 0.333...처럼 3이 끝없이 이어지고, 1을 7로 나누면 여섯 자리가 통째로 반복돼요. 이렇게 어떤 분수는 딱 떨어지는 유한소수가 되고 어떤 분수는 순환소수가 되는데, 그 갈림길은 분모를 소인수분해했을 때 2와 5만 남는지에 달려 있어요. 반대로 순환소수는 10의 거듭제곱을 곱해서 빼면 순환마디가 사라지면서 깔끔한 분수로 바뀌어요. 이 페이지에서는 분모와 순환마디를 직접 바꿔 보며 소수가 왜 끝나거나 반복되는지 눈으로 확인해 봐요.

직관 도입: 나누면 뭐가 나올까?

분모 n3

👀 나눗셈의 비밀

①1 ÷ 3 = 0.333... → 3이 끝없이 반복된다

②1 ÷ 7 = 0.142857142857... → 6자리가 반복

③분모를 바꿔보며 어떤 숫자가 '유한'이고 어떤 것이 '순환'인지 관찰해보자

유한소수 vs 순환소수

🔑 유한소수가 되려면?

①분모를 소인수분해했을 때 2와 5만 있으면 → 유한소수

②그 외의 소인수가 있으면 → 순환소수

③예: 1/8 = 1/2³ → 유한, 1/6 = 1/(2×3) → 순환

유한소수 판별법

분모의 소인수 = 2^a × 5^b 일 때만 유한소수

기약분수로 약분한 뒤, 분모에 2와 5 외의 소인수가 없어야 한다

순환소수를 분수로 바꾸기

순환마디 숫자1

한 자리 순환소수 → 분수

0.ā = a9

순환마디가 한 자리면 분모는 9

두 자리 순환소수 → 분수

0.ab̄ = ab99

순환마디가 두 자리면 분모는 99

혼합 순환소수 변환

혼합 순환소수 공식

0.ab̄ = ab - a90

순환하지 않는 부분과 순환하는 부분을 분리하여 계산

📝 변환 원리

①x = 0.1666... 이라면

②10x = 1.666..., 100x = 16.666...

③100x - 10x = 15 → 90x = 15 → x = 15/90 = 1/6

직접 풀어보기

예제 1

분수 3/40이 유한소수인지 순환소수인지 판별하시오.

기약분수의 분모를 소인수분해한다.

40 = 2³ × 5

분모의 소인수가 2와 5뿐이면 유한소수이다.

소인수 2, 5뿐 ⇒ 유한소수 (3/40 = 0.075)

▸ 유한소수 (0.075)

기약분수의 분모가 2와 5만으로 이루어지면 유한소수이다.

예제 2

순환소수 0.444… 를 기약분수로 나타내시오.

x = 0.444…로 놓고 10배 한 식을 만든다.

x = 0.444…, 10x = 4.444…

두 식을 빼면 9x = 4이다.

10x − x = 9x = 4 ⇒ x = 4/9

▸ 4/9

순환소수는 10ⁿ을 곱해 빼면 순환마디가 사라진다.

시험 포인트 정리

순환소수 → 분수 핵심

순환마디 n자리 → 분모에 9를 n개

순환하지 않는 자릿수만큼 분모에 0 추가

중2 내신 유형

분수 a/30이 유한소수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 a의 값은?

①1

②2

③3

④5

⑤6

▸ ③ 3

30 = 2 × 3 × 5이므로 유한소수가 되려면 소인수 3이 약분되어야 한다.

30 = 2 × 3 × 5

a가 3의 배수여야 하므로 가장 작은 값은 3이다.

a = 3 (3/30 = 1/10 = 0.1)

🎯 시험 포인트

①유한소수 판별: 기약분수의 분모 소인수가 2, 5뿐인지 확인

②순환소수 표기: 순환마디 양 끝 숫자 위에 점(·) 표시

③순환소수 → 분수: 10^n배 빼기법 활용

④모든 유리수는 유한소수 또는 순환소수로 표현 가능

⑤무한소수 중 순환하지 않는 것 = 무리수 (중3 내용)

지수법칙

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