일차함수와 그래프

Linear Functions & Graphs

일차함수 y = ax + b의 그래프는 언제나 곧은 직선이에요. 기울기 a는 x가 1 늘 때 y가 얼마나 변하는지를 나타내서, 값이 클수록 그래프가 가팔라져요. y절편 b는 그래프가 y축과 만나는 높이라서, b를 바꾸면 직선이 위아래로 평행하게 움직여요. 이 페이지에서는 기울기와 y절편을 슬라이더로 바꿔 가며 직선이 어떻게 기울고 이동하는지 직접 확인해 봐요.

직관 도입: 일정하게 변하는 관계

👀 일차함수란?

①x가 1 증가할 때 y가 항상 같은 양만큼 변하는 관계

②속도 30km/h → 시간이 1시간씩 늘면 거리가 30km씩 증가

③이런 '일정한 변화율'을 그래프로 그리면 직선이 된다

기울기와 y절편

기울기 a2

y절편 b1

일차함수의 식

y = ax + b

a: 기울기(변화율), b: y절편(x=0일 때 y값)

기울기의 의미

기울기 공식

a = y의 증가량x의 증가량 = y₂ - y₁x₂ - x₁

두 점을 알면 기울기를 구할 수 있다

💡 기울기가 알려주는 것

①a > 0: 오른쪽으로 갈수록 올라간다 (우상향)

②a < 0: 오른쪽으로 갈수록 내려간다 (우하향)

③|a|가 클수록: 그래프가 가파르다

④a = 0: 수평선 (함수값이 변하지 않음)

그래프 그리기와 읽기

📝 그래프 그리기 순서

①y절편 b를 y축 위에 점으로 찍기

②기울기 a를 이용해 '오른쪽 1, 위(아래) a'만큼 이동한 점 찍기

③두 점을 직선으로 연결

④필요하면 x절편도 구하기: y=0 대입 → x = -b/a

직접 풀어보기

예제 1

일차함수 y = 2x − 3의 기울기와 y절편을 구하시오.

y = ax + b에서 a는 기울기, b는 y절편이다.

a = 2, b = −3

값을 읽는다.

기울기 2, y절편 −3

▸ 기울기 2, y절편 −3

y = ax + b 꼴에서 a와 b를 바로 읽는다.

예제 2

두 점 (1, 3), (4, 9)를 지나는 직선의 기울기를 구하시오.

기울기 = (y의 증가량) / (x의 증가량).

기울기 = (9 − 3) / (4 − 1)

계산한다.

= 6 / 3 = 2

▸ 2

두 점이 주어지면 좌표 차의 비로 기울기를 구한다.

시험 포인트 정리

일차함수 그래프 핵심

y = ax + b → 기울기 a, y절편 b, x절편 -b/a

기울기의 부호와 크기가 그래프의 방향과 가파르기를 결정

중2 내신 유형

일차함수 y = 3x − 6의 x절편은?

①−6

②−2

③2

④3

⑤6

▸ ③ 2

x절편은 y = 0일 때의 x값이다.

0 = 3x − 6

x에 대해 푼다.

3x = 6 ⇒ x = 2

🎯 시험 포인트

①두 점이 주어지면 → 기울기 구하기 → y=ax+b에 한 점 대입 → b 구하기

②평행한 두 직선: 기울기가 같다 (a₁ = a₂)

③x축과의 교점 = x절편: y=0 대입

④y축과의 교점 = y절편: x=0 대입

⑤기울기의 부호로 그래프가 지나는 사분면 판단