중학교 2학년 (13-14세)

일차함수와 그래프

Linear Functions & Graphs

일차함수 y = ax + b의 그래프는 어떤 a, b를 넣어도 곧은 직선이 돼요. 기울기 a는 x가 1 늘어날 때 y가 얼마나 변하는지를 뜻하고, 그 크기가 클수록 직선이 가팔라져요. y절편 b는 직선이 y축과 만나는 높이라서, b만 바꾸면 직선은 기울어진 정도를 그대로 둔 채 위아래로만 옮겨 가요. 그림의 파란 점선 삼각형은 초록 점에서 오른쪽으로 1칸 간 뒤 a만큼 오르내리는 모습이라, 기울기를 바꾸면 그 세로 길이가 함께 달라져요.

일정하게 변하는 관계

👀 일차함수란

①x가 1씩 늘어날 때마다 y가 늘 같은 양만큼 변하는 관계를 일차함수라고 하며, 식은 y = ax + b(a ≠ 0) 꼴이다.

②시속 30 km로 달리는 자동차는 1시간이 지날 때마다 간 거리가 30 km씩 늘어난다. 이때 거리는 시간의 일차함수다.

③변화율이 일정한 관계를 좌표평면에 점으로 찍으면 모든 점이 한 직선 위에 놓인다.

기울기와 y절편

기울기 a2

y절편 b1

일차함수의 식

y = ax + b

a는 기울기(x가 1 늘 때 y의 변화량)이고, b는 y절편(x = 0일 때 y의 값)이다.

기울기로 알 수 있는 것

기울기 구하는 식

a = y의 증가량x의 증가량 = y₂ - y₁x₂ - x₁

직선 위의 두 점을 알면 그 사이의 y 변화량을 x 변화량으로 나누어 기울기를 구한다.

💡 기울기의 부호와 크기

①a > 0이면 오른쪽으로 갈수록 올라가는 직선이다.

②a < 0이면 오른쪽으로 갈수록 내려가는 직선이다.

③|a|가 클수록 직선이 가파르다. 그림에서 기울기를 1에서 3으로 올리면 점선 삼각형의 세로 변이 세 배가 된다.

④a = 0이면 x가 변해도 y가 그대로인 가로 직선이 되는데, 이것은 일차함수가 아니라 상수함수다.

⑤지금 직선이 어느 쪽으로 기울었는지는 그림 왼쪽 위에 적혀 있다.

그래프 그리기와 읽기

📝 그래프를 그리는 순서

①y축에서 높이가 b인 자리에 점을 찍는다(그림의 초록 점).

②그 점에서 오른쪽으로 1, 위로 a만큼(a가 음수면 아래로) 간 자리에 두 번째 점을 찍는다. 파란 점선 삼각형이 바로 이 이동이다.

③두 점을 지나는 직선을 긋는다.

④x절편이 필요하면 y = 0을 넣어 x = −b/a를 구한다.

⑤기울기가 같고 y절편만 다른 두 직선은 서로 평행하다.

예제로 확인하기

예제 1

일차함수 y = 2x − 3의 기울기와 y절편을 구하시오.

y = ax + b 꼴에서는 x의 계수 a가 기울기이고, 상수항 b가 y절편이다.

a = 2, b = −3

식에서 두 값을 그대로 읽는다.

기울기 2, y절편 −3

▸ 기울기 2, y절편 −3

식이 y = ax + b 꼴로 정리되어 있으면 계산하지 않고도 a와 b를 읽을 수 있다.

예제 2

두 점 (1, 3), (4, 9)를 지나는 직선의 기울기를 구하시오.

기울기는 y의 증가량을 x의 증가량으로 나눈 값이다.

기울기 = (9 − 3) / (4 − 1)

분자와 분모를 각각 계산한다.

= 6 / 3 = 2

▸ 2

두 점이 주어지면 y좌표의 차를 x좌표의 차로 나누어 기울기를 구한다. 점의 순서를 바꿔 빼도 결과는 같다.

정리

일차함수 그래프의 핵심

y = ax + b → 기울기 a, y절편 b, x절편 −b/a

기울기의 부호가 직선의 방향을, 크기가 가파른 정도를 정한다.

중2 내신 유형

일차함수 y = 3x − 6의 x절편은?

①−6

②−2

③2

④3

⑤6

▸ ③ 2

x절편은 y = 0일 때 x의 값이다.

0 = 3x − 6

이 방정식을 x에 대해 푼다.

3x = 6 ⇒ x = 2

🎯 시험 포인트

①두 점이 주어지면 기울기를 먼저 구하고, 한 점의 좌표를 y = ax + b에 넣어 b를 구한다.

②평행한 두 직선은 기울기가 같고 y절편이 다르다(a₁ = a₂, b₁ ≠ b₂).

③x절편은 x축과 만나는 점이므로 y = 0을 넣어 구한다.

④y절편은 y축과 만나는 점이므로 x = 0을 넣어 구한다.

⑤기울기와 y절편의 부호를 보면 그래프가 지나는 사분면을 알 수 있다.

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마지막 수정 2026-10-17

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