일차함수와 일차방정식

Linear Functions & Equations

일차함수와 일차방정식은 같은 관계를 다른 쪽에서 본 거예요. y = ax + b의 그래프가 x축과 만나는 점에서는 y가 0이니까, 그 x가 방정식 ax + b = 0의 해예요. 미지수가 둘인 ax + by + c = 0은 좌표평면의 직선이 되고, 두 직선이 만나는 점이 연립방정식의 해와 같아요. 기울기 a와 절편 b를 슬라이더로 움직이면, 그래프의 x절편이 방정식의 답이 되는 자리가 보여요.

직관 도입: 함수와 방정식의 연결

기울기 a2

y절편 b-4

👀 함수와 방정식의 관계

①일차함수 y = ax + b의 그래프가 x축과 만나는 점

②그 점에서 y = 0이므로 ax + b = 0

③즉, 일차방정식의 해 = 일차함수 그래프의 x절편!

일반형 ax + by + c = 0

b-1

미지수 2개의 방정식

ax + by + c = 0 → 좌표평면 위의 직선

b ≠ 0이면 y에 대해 풀어서 함수로 표현 가능

연립방정식의 해 = 교점

핵심 관계

연립방정식의 해 (x, y) = 두 직선의 교점 좌표

두 일차함수의 그래프가 만나는 점

💡 세 가지 경우

①두 직선이 한 점에서 만남 → 해가 1개

②두 직선이 평행 (기울기 같고 y절편 다름) → 해 없음

③두 직선이 일치 (기울기, y절편 모두 같음) → 해 무수히 많음

x = k, y = k 형태의 직선

📝 특수한 직선

①x = 3 → y축에 평행한 수직선 (함수가 아님!)

②y = 2 → x축에 평행한 수평선 (기울기 = 0인 함수)

③x = k 형태는 하나의 x에 y가 무한히 많아 함수 정의 불만족

직접 풀어보기

예제 1

직선의 방정식 2x + y − 4 = 0을 y = ax + b 꼴로 나타내시오.

y에 대하여 정리한다.

y = −2x + 4

기울기와 y절편을 읽는다.

기울기 −2, y절편 4

▸ y = −2x + 4

직선의 방정식 ax + by + c = 0은 y에 대해 정리해 일차함수로 본다.

예제 2

두 직선 y = x + 1과 y = −x + 5의 교점의 좌표를 구하시오.

교점에서 두 y가 같으므로 연립한다.

x + 1 = −x + 5 ⇒ 2x = 4

x = 2를 대입한다.

x = 2, y = 2 + 1 = 3

▸ (2, 3)

두 직선의 교점은 두 일차방정식을 연립한 해이다.

시험 포인트 정리

함수↔방정식↔그래프 연결

y = ax+b ↔ ax-y+b = 0 ↔ 직선 그래프

같은 관계를 세 가지 관점에서 보는 것

중2 내신 유형

두 직선 y = ax + 1과 y = 3x − 2가 서로 평행할 때, 상수 a의 값은?

①1

②2

③3

④4

⑤5

▸ ③ 3

두 직선이 평행하면 기울기가 같다.

평행 ⇔ 기울기 a = 3

기울기를 비교한다.

a = 3

🎯 시험 포인트

①일차방정식의 해 = 그래프의 x절편 (y=0 대입)

②미지수 2개 방정식 ax+by+c=0 → 좌표평면 위의 직선

③연립방정식의 해 = 두 직선의 교점

④x=k는 수직선 → 함수가 아니다

⑤두 직선의 위치관계: 기울기 같고 y절편 다름이면 평행 (a₁ = a₂, b₁ ≠ b₂)