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중학교 2학년 (13-14세)

일차함수와 일차방정식

Linear Functions & Equations

일차함수 y = ax + b와 일차방정식 ax + b = 0은 같은 식을 두 방향에서 읽은 것이에요. 그래프가 x축과 만나는 점에서는 y가 0이니, 그 점의 x좌표가 곧 방정식의 해가 돼요. 미지수가 두 개인 ax + by + c = 0도 좌표평면에 그리면 직선이 되고, 두 직선이 만나는 점의 좌표가 연립방정식의 해예요. 첫 그림에서 기울기와 y절편을 바꾸면 x축 위의 빨간 점이 따라 움직이는데, 그 점이 바로 방정식의 답이에요.

x절편이 방정식의 해

2
-4
👀 그래프로 방정식 풀기
①직선 y = ax + b가 x축과 만나는 점에서는 y = 0이다.
②그래서 그 점의 x좌표는 ax + b = 0을 만족한다. 방정식의 해가 바로 그래프의 x절편이다.
③기울기가 0이면 직선이 x축과 나란해서 만나지 않는다. b ≠ 0이면 해가 없고, b = 0이면 직선이 x축과 겹쳐 모든 x가 해다.

미지수가 둘인 방정식의 그래프

2
-1
3
미지수가 2개인 일차방정식
ax + by + c = 0 → 좌표평면 위의 직선
b ≠ 0이면 y = −(a/b)x − c/b로 고쳐 일차함수로 볼 수 있고, b = 0이면 x = −c/a인 세로 직선이 된다.

연립방정식의 해와 교점

핵심 관계
연립방정식의 해 (x, y) = 두 직선의 교점
두 식을 동시에 만족하는 점은 두 직선 위에 함께 놓인 점이다.
💡 교점이 생기는 세 가지 경우
①기울기가 다르면 두 직선은 한 점에서 만나고, 해는 1개다.
②기울기는 같고 y절편이 다르면 두 직선이 평행해서 만나지 않으니 해가 없다.
③기울기와 y절편이 모두 같으면 두 직선이 겹치므로 해가 무수히 많다.

x = k와 y = k의 그래프

📝 가로 직선과 세로 직선
①y = 2는 0·x + y − 2 = 0과 같다. x축에 평행한 가로 직선이고, 기울기가 0인 함수다.
②x = 3은 x + 0·y − 3 = 0과 같다. y축에 평행한 세로 직선이다.
③x = 3에서는 x 하나에 y가 무수히 많이 대응하므로 함수가 아니다. 위 그림에서 b를 0으로 두면 이런 세로 직선이 나온다.

예제로 확인하기

예제 1
직선의 방정식 2x + y − 4 = 0을 y = ax + b 꼴로 나타내시오.
1
2x와 −4를 우변으로 옮겨 y만 남긴다.
y = −2x + 4
2
기울기와 y절편을 읽는다.
기울기 −2, y절편 4
▸ y = −2x + 4
ax + by + c = 0 꼴은 y에 대해 풀면 기울기와 y절편이 바로 보인다.
예제 2
두 직선 y = x + 1과 y = −x + 5의 교점의 좌표를 구하시오.
1
교점에서는 두 직선의 y값이 같으므로 두 식의 우변을 같게 놓는다.
x + 1 = −x + 5 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2
2
x = 2를 한 식에 넣어 y를 구한다.
y = 2 + 1 = 3
▸ (2, 3)
두 직선의 교점 좌표는 두 일차방정식을 연립해 푼 해와 같다.

시험 포인트 정리

같은 관계의 세 가지 표현
y = ax + b ↔ ax − y + b = 0 ↔ 좌표평면의 직선
같은 관계를 함수식, 방정식, 그래프로 바꿔 가며 읽는다.
중2 내신 유형
두 직선 y = ax + 1과 y = 3x − 2가 서로 평행할 때, 상수 a의 값은?
①1
②2
③3
④4
⑤5
▸ ③ 3
1
평행한 두 직선은 기울기가 같고 y절편이 다르다.
a = 3
2
y절편 1과 −2가 서로 다르므로 두 직선은 겹치지 않는다.
1 ≠ −2 ⇒ 평행
🎯 시험 포인트
①일차방정식 ax + b = 0의 해는 y = ax + b의 x절편이다(y = 0 대입).
②ax + by + c = 0의 그래프는 직선이다.
③연립방정식의 해는 두 직선의 교점이다.
④x = k는 세로 직선이라 함수가 아니고, y = k는 기울기가 0인 함수다.
⑤y = a₁x + b₁과 y = a₂x + b₂가 평행하려면 a₁ = a₂이고 b₁ ≠ b₂이어야 한다.
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