입체도형의 겉넓이와 부피

Surface Area & Volume

입체도형의 부피와 겉넓이는 동전을 쌓아 보면 감이 와요. 동전(원) 한 장의 넓이가 πr²이고 이걸 h만큼 쌓으면 원기둥이 되니 부피는 πr²h가 되고, 원뿔은 그 3분의 1, 구는 3분의 2(높이가 지름일 때)라는 비가 나와요. 겉넓이도 옆면을 펼쳐 직사각형으로 보면 식이 왜 그렇게 나오는지 눈에 들어와요. 반지름과 높이를 바꾸고 기둥·뿔·구를 고르면 부피가 3 : 1 : 2로 어떻게 견주는지가 보여요.

직관 도입 -- 동전 쌓기에서 시작

반지름 r3

높이 h6

🪙 동전을 쌓아보자

①동전(원) 하나의 넓이 = πr²

②이 동전을 h개 쌓으면? 원기둥! → V = πr²h

③원뿔은 동전을 점점 작게 쌓은 것 → 기둥의 1/3

④구는 원기둥 안에 딱 맞게 넣으면 기둥의 2/3 (높이=지름일 때)

기둥의 부피와 겉넓이

기둥 부피

V = Sh = (밑넓이) x (높이)

밑면 모양이 뭐든 상관없이 밑넓이 x 높이

원기둥 부피

V = πr²h

밑면이 원(반지름 r)인 기둥

원기둥 겉넓이

S = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h)

위아래 원 2개 + 옆면(펼치면 직사각형: 가로 2πr, 세로 h)

🔍 옆면을 펼쳐보면?

①원기둥의 옆면을 가위로 잘라 펼치면 직사각형이 된다

②가로 = 원 둘레 = 2πr

③세로 = 높이 = h

④옆넓이 = 2πrh

뿔의 부피 -- 왜 1/3일까?

뿔 부피

V = 13Sh

같은 밑면, 같은 높이의 기둥 부피의 정확히 1/3

원뿔 부피

V = 13πr²h

원기둥 부피 πr²h의 1/3

원뿔 옆넓이

S = πrl

l은 모선의 길이 (빗면). 펼치면 부채꼴이 된다. l = √(r²+h²)

💡 실험으로 확인!

①원기둥 모양 컵과 같은 밑면·높이의 원뿔 모양 컵을 준비

②원뿔에 물을 채워 원기둥에 부으면 정확히 3번에 가득 찬다

③이것이 1/3의 직관 -- 적분 없이도 실험으로 확인 가능!

구의 부피와 겉넓이

구의 부피

V = 43πr³

반지름 r인 구. 높이가 2r인 원기둥의 2/3

구의 겉넓이

S = 4πr²

같은 반지름 원 4개의 넓이와 같다

🏀 구 = 원기둥의 2/3

①구를 딱 맞는 원기둥(높이=지름)에 넣으면

②원기둥 V = πr² x 2r = 2πr³

③구 V = (4/3)πr³ = 원기둥의 2/3

④아르키메데스가 발견한 아름다운 관계!

직접 풀어보기

예제 1

밑면이 반지름 3인 원이고 높이가 5인 원기둥의 부피를 구하시오. (π는 그대로 둔다)

기둥의 부피 = (밑넓이) × (높이) = πr² × h.

부피 = π × 3² × 5

계산한다.

= 9π × 5 = 45π

▸ 45π

기둥의 부피는 밑넓이에 높이를 곱한다.

예제 2

밑면이 한 변 6인 정사각형이고 높이가 10인 사각뿔의 부피를 구하시오.

뿔의 부피 = (1/3) × (밑넓이) × (높이). 밑넓이 = 6² = 36.

부피 = (1/3) × 36 × 10

계산한다.

= (1/3) × 360 = 120

▸ 120

뿔의 부피는 같은 밑면·높이인 기둥의 1/3이다.

시험 포인트 정리

입체도형 부피 총정리

Sh, 13Sh, 43πr³

기둥:뿔:구 = 3:1:2 (같은 r, h=2r 기준)

중1 내신 유형

반지름이 3인 구의 부피는? (π는 그대로 둔다)

①12π

②27π

③36π

④72π

⑤108π

▸ ③ 36π

구의 부피 = (4/3)πr³.

부피 = (4/3) × π × 3³

계산한다.

= (4/3) × 27π = 36π

🎯 시험 포인트

①기둥 V = Sh, 뿔 V = Sh/3 -- 밑면이 뭐든 이 관계는 동일

②원기둥 겉넓이 2πr(r+h) 자주 출제

③원뿔 옆넓이 πrl (l = 모선 길이)

④구의 겉넓이 4πr² = 원 넓이의 4배 → 왜 4배인지 물어보는 서술형 주의

⑤반구의 겉넓이 = 2πr² + πr² = 3πr² (곡면 + 밑면)

⑥각기둥·각뿔 겉넓이 = 전개도 각 면의 합