중학교 1학년 (12-13세)

입체도형의 겉넓이와 부피

Surface Area & Volume

입체도형의 부피는 동전을 쌓는 모습을 떠올리면 감이 와요. 넓이가 πr²인 동전 한 장을 높이 h만큼 쌓으면 원기둥이 되니 부피는 πr²h이고, 밑면과 높이가 같은 원뿔은 그 3분의 1이에요. 원기둥 안에 꼭 맞게 들어가는 구는 그 원기둥의 3분의 2여서, 높이가 지름과 같을 때 원기둥, 원뿔, 구의 부피는 3 : 1 : 2가 돼요. 이 장에서는 반지름과 높이를 바꾸고 기둥, 뿔, 구를 골라 가며 부피를 π가 남은 꼴로 견주고, 겉넓이가 어떻게 나오는지도 펼쳐 봐요.

동전을 쌓아 만드는 입체

반지름 r3

높이 h6

🪙 동전을 쌓아 보면

①반지름 r인 동전 한 장의 넓이는 πr²이다

②이 동전을 높이 h만큼 쌓으면 원기둥이 되므로 부피는 πr² × h다

③원뿔은 위로 갈수록 작아지는 동전을 쌓은 모양이라 같은 밑면, 같은 높이의 원기둥보다 작다. 정확히 3분의 1이다

④그림은 반지름과 높이를 같은 눈금으로 그렸다. r = 3, h = 6이면 원기둥은 높이와 지름이 같은 모양이 된다

기둥의 부피와 겉넓이

기둥의 부피

V = Sh = (밑넓이) × (높이)

밑면이 어떤 모양이든 밑넓이에 높이를 곱한다

원기둥의 부피

V = πr²h

밑면이 반지름 r인 원인 기둥

원기둥의 겉넓이

S = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h)

위아래 두 원의 넓이에, 펼치면 가로 2πr, 세로 h인 직사각형이 되는 옆면의 넓이를 더한다

🔍 옆면을 펼치면

①원기둥의 옆면을 세로로 잘라 펼치면 직사각형이 된다

②가로는 밑면인 원의 둘레 2πr이다

③세로는 높이 h다

④그래서 옆넓이는 2πrh이고, 여기에 두 밑넓이 2πr²을 더하면 겉넓이가 된다

뿔의 부피는 왜 3분의 1인가

뿔의 부피

V = 13Sh

밑면과 높이가 같은 기둥의 부피의 1/3이다

원뿔의 부피

V = 13πr²h

원기둥의 부피 πr²h의 1/3

원뿔의 옆넓이

S = πrl

l은 모선의 길이다. 옆면을 펼치면 반지름이 l, 호의 길이가 2πr인 부채꼴이 되므로 (1/2) × l × 2πr = πrl

💡 실험으로 확인하기

①밑면과 높이가 같은 원기둥 모양 그릇과 원뿔 모양 그릇을 준비한다

②원뿔 그릇에 물을 가득 채워 원기둥 그릇에 부으면, 세 번 부어야 가득 찬다

③원뿔의 부피가 원기둥의 3분의 1이라는 사실을 계산 없이 눈으로 확인할 수 있다

④그림에서 원뿔을 고르면 부피가 원기둥 부피의 1/3로 나온다

구의 부피와 겉넓이

구의 부피

V = 43πr³

반지름 r인 구. 높이가 2r인 원기둥의 2/3다

구의 겉넓이

S = 4πr²

반지름이 같은 원 4개의 넓이와 같다

🏀 구는 원기둥의 3분의 2

①구를 꼭 맞는 원기둥, 곧 높이가 지름 2r인 원기둥에 넣는다

②이 원기둥의 부피는 πr² × 2r = 2πr³이다

③구의 부피는 (4/3)πr³이므로 원기둥의 2/3다

④이때 원뿔은 (1/3) × 2πr³ = (2/3)πr³이어서, 원기둥 : 원뿔 : 구 = 3 : 1 : 2가 된다. 아르키메데스가 밝힌 관계다

예제로 확인하기

예제 1

밑면의 반지름이 3이고 높이가 5인 원기둥의 부피를 구하시오. (π는 그대로 둔다)

원기둥의 부피는 (밑넓이) × (높이) = πr² × h다.

부피 = π × 3² × 5

계산한다.

= 9π × 5 = 45π

▸ 45π

그림에서 r = 3, h = 5로 두고 원기둥을 고르면 부피가 45π ≈ 141.4로 나온다.

예제 2

밑면이 한 변 6인 정사각형이고 높이가 10인 사각뿔의 부피를 구하시오.

뿔의 부피는 (1/3) × (밑넓이) × (높이)이고, 밑넓이는 6² = 36이다.

부피 = (1/3) × 36 × 10

계산한다.

= (1/3) × 360 = 120

▸ 120

밑면과 높이가 같은 사각기둥의 부피는 360이고, 사각뿔은 그 1/3인 120이다.

시험 포인트 정리

입체도형 부피 총정리

Sh, 13Sh, 43πr³

원기둥 : 원뿔 : 구 = 3 : 1 : 2 (같은 r이고 높이가 2r일 때)

중1 내신 유형

반지름이 3인 구의 부피는? (π는 그대로 둔다)

①12π

②27π

③36π

④72π

⑤108π

▸ ③ 36π

구의 부피는 (4/3)πr³이다.

부피 = (4/3) × π × 3³

계산한다.

= (4/3) × 27π = 36π

🎯 시험 포인트

①기둥은 V = Sh, 뿔은 V = (1/3)Sh다. 밑면 모양이 달라도 이 관계는 같다

②원기둥의 겉넓이 2πr(r + h)가 자주 나온다

③원뿔의 옆넓이는 πrl이고, l은 모선의 길이다

④구의 겉넓이는 4πr²로, 반지름이 같은 원의 넓이의 4배다

⑤반구의 겉넓이는 곡면 2πr²에 밑면 πr²을 더한 3πr²이다

⑥각기둥과 각뿔의 겉넓이는 전개도의 각 면의 넓이를 모두 더한다

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다각형과 원

자료의 정리와 해석

마지막 수정 2026-10-17

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