중1 수학›평면·입체도형과 통계

입체도형의 겉넓이와 부피

Surface Area & Volume

직관 도입 -- 동전 쌓기에서 시작
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🪙 동전을 쌓아보자
①동전(원) 하나의 넓이 = πr²
②이 동전을 h개 쌓으면? 원기둥! → V = πr²h
③원뿔은 동전을 점점 작게 쌓은 것 → 기둥의 1/3
④구는 원기둥 안에 딱 맞게 넣으면 기둥의 2/3 (높이=지름일 때)
기둥의 부피와 겉넓이
기둥 부피
V = Sh = (밑넓이) x (높이)
밑면 모양이 뭐든 상관없이 밑넓이 x 높이
원기둥 부피
V = πr²h
밑면이 원(반지름 r)인 기둥
원기둥 겉넓이
S = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h)
위아래 원 2개 + 옆면(펼치면 직사각형: 가로 2πr, 세로 h)
🔍 옆면을 펼쳐보면?
①원기둥의 옆면을 가위로 잘라 펼치면 직사각형이 된다
②가로 = 원 둘레 = 2πr
③세로 = 높이 = h
④옆넓이 = 2πrh
뿔의 부피 -- 왜 1/3일까?
뿔 부피
V = 13Sh
같은 밑면, 같은 높이의 기둥 부피의 정확히 1/3
원뿔 부피
V = 13πr²h
원기둥 부피 πr²h의 1/3
원뿔 옆넓이
S = πrl
l은 모선의 길이 (빗면). 펼치면 부채꼴이 된다
💡 실험으로 확인!
①원기둥 모양 컵과 같은 밑면·높이의 원뿔 모양 컵을 준비
②원뿔에 물을 채워 원기둥에 부으면 정확히 3번에 가득 찬다
③이것이 1/3의 직관 -- 적분 없이도 실험으로 확인 가능!
구의 부피와 겉넓이
구의 부피
V = 43πr³
반지름 r인 구. 높이가 2r인 원기둥의 2/3
구의 겉넓이
S = 4πr²
같은 반지름 원 4개의 넓이와 같다
🏀 구 = 원기둥의 2/3
①구를 딱 맞는 원기둥(높이=지름)에 넣으면
②원기둥 V = πr² x 2r = 2πr³
③구 V = (4/3)πr³ = 원기둥의 2/3
④아르키메데스가 발견한 아름다운 관계!
시험 포인트 정리
입체도형 부피 총정리
기둥 Sh, 뿔 13Sh, 구 43πr³
기둥:뿔:구 = 3:1:2 (같은 r, h=2r 기준)
🎯 시험 포인트
①기둥 V = Sh, 뿔 V = Sh/3 -- 밑면이 뭐든 이 관계는 동일
②원기둥 겉넓이 2πr(r+h) 자주 출제
③원뿔 옆넓이 πrl (l = 모선 길이)
④구의 겉넓이 4πr² = 원 넓이의 4배 → 왜 4배인지 물어보는 서술형 주의
⑤반구의 겉넓이 = 2πr² + πr² = 3πr² (곡면 + 밑면)