seegongsik
중학교 1학년 (12-13세)

다각형과 원

Polygon & Circle

다각형은 선분으로 둘러싸인 도형이고, 꼭짓점마다 안쪽의 내각과 바깥쪽의 외각이 있어요. 한 꼭짓점에서 대각선을 그으면 n각형이 삼각형 (n − 2)개로 나뉘므로, 내각의 합은 180° × (n − 2)가 돼요. 외각의 합은 변의 수와 상관없이 늘 360°이고, 원의 일부인 부채꼴은 중심각이 원 전체의 몇 분의 몇인지에 따라 호의 길이와 넓이가 정해져요. 이 장에서는 변의 수를 바꿔 삼각형이 몇 개 생기는지 세어 보고, 중심각과 반지름을 바꿔 부채꼴의 호와 넓이를 확인해요.

삼각형으로 나누어 보는 다각형

5
🍕 삼각형으로 나누기
①n각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선은 (n − 3)개다. 자기 자신과 이웃한 두 꼭짓점으로는 대각선을 그을 수 없기 때문이다
②이 대각선들이 다각형을 삼각형 (n − 2)개로 나눈다. 그림에서 색이 다른 조각을 세면 n − 2개다
③삼각형 하나의 내각의 합이 180°이므로 n각형의 내각의 합은 180° × (n − 2)다
④n각형의 대각선은 모두 n(n − 3)/2개다

내각과 외각

내각의 합
180° × (n − 2)
n각형을 삼각형 (n − 2)개로 나누어 얻는다
정다각형의 한 내각
180° × (n-2)n
정다각형은 내각의 크기가 모두 같으므로 내각의 합을 n으로 나눈다
외각의 합
외각의 합 = 360°
어떤 다각형이든 변의 수와 관계없이 360°다
💡 외각의 합이 늘 360°인 까닭
①한 꼭짓점에서 내각과 외각을 더하면 180°다. n각형에는 꼭짓점이 n개이므로 (내각의 합) + (외각의 합) = 180° × n이다
②여기서 내각의 합 180° × (n − 2)를 빼면 외각의 합은 180° × 2 = 360°가 된다
③둘레를 따라 한 바퀴 걷는다고 생각해도 같다. 꼭짓점마다 외각만큼 방향을 틀어 처음 방향으로 돌아오므로, 모두 합하면 한 바퀴인 360°를 돈다
④정n각형의 한 외각은 360° ÷ n이다

원과 부채꼴

120°
5
🔍 부채꼴은 원의 몇 분의 몇
①중심각이 x°인 부채꼴은 원 전체(360°)의 x/360만큼이다
②그래서 호의 길이는 원의 둘레 2πr의 x/360이고, 넓이는 원의 넓이 πr²의 x/360이다
③한 원에서 호의 길이와 넓이는 중심각의 크기에 정비례한다. 그림에서 중심각을 두 배로 하면 둘 다 두 배가 된다
④그림에는 π를 남긴 꼴과 어림값을 함께 적었다. 답은 보통 π를 남긴 꼴로 쓴다

공식 정리

원의 둘레
l = 2πr
지름 × π다. 지름을 d라 하면 l = πd
원의 넓이
S = πr²
반지름을 제곱해 π를 곱한다
부채꼴의 호의 길이
l = 2πr × x360
원의 둘레에 x/360을 곱한다
부채꼴의 넓이
S = πr² × x360 = 12rl
원의 넓이에 x/360을 곱한다. 반지름과 호의 길이를 알면 (1/2) × r × l로도 구한다
💡 S = (1/2)rl인 까닭
①부채꼴을 중심에서부터 아주 가늘게 여러 조각으로 자른다고 생각한다
②조각 하나는 밑변이 호의 작은 토막이고 높이가 반지름 r인 삼각형에 가깝다
③조각들의 넓이를 모두 더하면 (1/2) × r × (밑변의 합) = (1/2) × r × l이다
④그래서 반지름과 호의 길이만 알면 중심각 없이도 넓이를 구할 수 있다

예제로 확인하기

예제 1
육각형의 내각의 크기의 합을 구하시오.
1
n각형의 내각의 합은 180° × (n − 2)이고, 육각형은 n = 6이다.
180° × (6 − 2)
2
계산한다.
= 180° × 4 = 720°
▸ 720°
그림에서 n을 6에 두면 삼각형 4개가 생기고 내각의 합이 720°로 나온다.
예제 2
반지름이 6이고 중심각이 60°인 부채꼴의 넓이를 구하시오. (π는 그대로 둔다)
1
부채꼴의 넓이는 원의 넓이에 중심각/360°를 곱한 것이다.
넓이 = π × 6² × (60/360)
2
계산한다.
= 36π × 1/6 = 6π
▸ 6π
그림에서 반지름 6, 중심각 60°로 두면 넓이가 6π ≈ 18.85로 나온다.

시험 포인트 정리

다각형과 부채꼴 핵심 공식
180(n-2), πr², 12rl
내각의 합, 원의 넓이, 부채꼴의 넓이
중1 내신 유형
정오각형의 한 내각의 크기는?
①100°
②108°
③110°
④120°
⑤135°
▸ ② 108°
1
오각형의 내각의 합은 180° × (5 − 2) = 540°다.
180° × (5 − 2) = 540°
2
정오각형은 다섯 내각의 크기가 같으므로 5로 나눈다.
540° ÷ 5 = 108°
🎯 시험 포인트
①n각형의 내각의 합은 180° × (n − 2)다
②외각의 합은 n과 관계없이 360°다. n이 커질수록 커진다고 착각하기 쉽다
③정육각형의 한 내각은 120°, 정팔각형의 한 내각은 135°다
④호의 길이와 넓이는 중심각에 정비례하므로 비례식으로 풀 수 있다
⑤반지름과 호의 길이가 주어지면 S = (1/2)rl을 쓴다
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