다각형과 원

Polygon & Circle

다각형은 여러 개의 선분으로 둘러싸인 도형이고, 그 안에는 내각과 외각이라는 각도가 숨어 있어요. 피자를 n조각으로 자르듯 다각형도 한 꼭짓점에서 대각선을 그으면 삼각형 여러 개로 나뉘어서, 내각의 합이 왜 180°×(n−2)가 되는지 자연스럽게 보여요. 외각의 합은 변의 수와 상관없이 항상 360°이고, 원의 일부인 부채꼴은 중심각의 비율만큼 호의 길이와 넓이를 나눠 가져요. 이 페이지에서는 변의 수와 중심각, 반지름을 슬라이더로 바꿔 보며 각도와 부채꼴이 어떻게 달라지는지 직접 확인해 봐요.

직관 도입 -- 피자를 n등분하면?

변의 수 n5

🍕 피자로 이해하자

①피자를 n등분 자르면 한 조각의 중심각은 360/n도

②다각형도 비슷하다 -- 한 꼭짓점에서 대각선을 그으면 삼각형이 생긴다

③삼각형 1개의 내각의 합은 180도

④삼각형이 (n-2)개 나오니까 전체 내각의 합은 180 x (n-2)도!

내각과 외각의 관계

내각의 합

내각의 합 = 180° x (n - 2)

n각형을 삼각형 (n-2)개로 나누면 자연스럽게 나온다

정다각형의 한 내각

180° × (n-2)n

정다각형은 모든 내각이 같으므로 전체를 n으로 나눈다

외각의 합

외각의 합 = 360° (모든 다각형)

한 내각 + 한 외각 = 180도이므로, 외각의 합은 항상 360도

💡 외각의 합이 항상 360도인 이유

①다각형의 둘레를 따라 한 바퀴 걸어본다고 상상하자

②각 꼭짓점에서 회전하는 각도가 바로 외각이다

③한 바퀴 돌면 총 360도 회전하니까 외각의 합은 항상 360도!

원과 부채꼴

중심각120°

반지름 r5

🔍 부채꼴은 원의 일부다

①원 전체 = 중심각 360도짜리 부채꼴

②중심각이 x도인 부채꼴은 원의 x/360 만큼이다

③그래서 호의 길이도, 넓이도 모두 x/360 비율!

공식 도출

원의 둘레

l = 2πr

지름 x π = 원의 둘레. 지름 d를 쓰면 l = πd

원의 넓이

S = πr²

반지름을 제곱하고 π를 곱하면 원의 넓이

부채꼴 호의 길이

l = 2πr × x360

원 둘레의 x/360 비율

부채꼴 넓이

S = πr² × x360 = 12rl

원 넓이의 x/360 비율. (1/2) x 반지름 x 호의 길이로도 구할 수 있다

💡 S = (1/2)rl 이 되는 이유

①부채꼴을 아주 얇은 삼각형 여러 개로 잘게 자른다고 상상하자

②각 삼각형의 밑변 = 호의 조각, 높이 = 반지름

③삼각형 넓이 = (1/2) x 밑변 x 높이

④전부 합하면 S = (1/2) x r x l

직접 풀어보기

예제 1

육각형의 내각의 크기의 합을 구하시오.

n각형의 내각의 합은 180° × (n − 2)이다. n = 6.

180° × (6 − 2)

계산한다.

= 180° × 4 = 720°

▸ 720°

다각형 내각의 합은 삼각형 (n − 2)개로 나누어 구한다.

예제 2

반지름이 6이고 중심각이 60°인 부채꼴의 넓이를 구하시오. (π는 그대로 둔다)

부채꼴의 넓이 = πr² × (중심각/360°).

넓이 = π × 6² × (60/360)

계산한다.

= 36π × 1/6 = 6π

▸ 6π

부채꼴은 원의 일부이므로 중심각의 비율(중심각/360°)을 곱한다.

시험 포인트 정리

다각형·원·부채꼴 총정리

180(n-2), πr², 12rl

이 세 공식이 핵심이다

중1 내신 유형

정오각형의 한 내각의 크기는?

①100°

②108°

③110°

④120°

⑤135°

▸ ② 108°

오각형의 내각의 합은 180° × (5 − 2) = 540°이다.

180° × (5 − 2) = 540°

정오각형은 다섯 내각이 같으므로 5로 나눈다.

540° ÷ 5 = 108°

🎯 시험 포인트

①내각의 합 180(n-2) -- n에 숫자 넣으면 바로 답

②외각의 합 360도는 n과 무관 -- 함정 문제 주의

③정n각형 한 내각: 정육각형 120도, 정팔각형 135도 암기

④부채꼴 넓이 (1/2)rl 공식이 서술형에 자주 출제

⑤호의 길이와 넓이는 중심각에 비례한다 (비례식 풀이)