seegongsik
중학교 1학년 (12-13세)

작도와 합동

Construction & Congruence

작도는 눈금 없는 자와 컴퍼스만 써서 도형을 그리는 일이에요. 자로는 두 점을 잇고, 컴퍼스로는 원을 그리거나 길이를 옮겨요. 이 두 도구만으로도 선분을 정확히 반으로 나누면서 그 선분에 수직인 직선, 곧 수직이등분선을 그릴 수 있어요. 모양과 크기가 같아 포개면 꼭 맞는 두 도형을 합동이라 하는데, 삼각형은 세 변(SSS), 두 변과 끼인각(SAS), 한 변과 양 끝 각(ASA) 가운데 하나만 같아도 합동이에요. 이 장에서는 수직이등분선을 네 단계로 따라 그리고, 두 변과 끼인각을 바꿔 가며 셋째 변까지 저절로 정해지는 모습을 확인해요.

작도: 자와 컴퍼스만으로

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👀 작도의 약속
①작도에는 눈금 없는 자와 컴퍼스만 쓴다
②자는 두 점을 잇는 선분을 긋거나 선분을 늘이는 데 쓰고, 컴퍼스는 원을 그리거나 길이를 재어 옮기는 데 쓴다
③수직이등분선을 그릴 때 두 호의 반지름은 같아야 하고, AB의 절반보다 길어야 두 호가 만난다
④두 교점 P, Q는 A와 B에서 똑같이 반지름만큼 떨어져 있다(PA = PB). 그래서 직선 PQ는 AB의 중점 M을 지나며 AB와 수직으로 만난다

두 변과 끼인각이 같은 두 삼각형

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🔍 합동이란
①모양과 크기가 같아서 포개었을 때 꼭 맞는 두 도형을 서로 합동이라 한다
②포갤 때 겹치는 꼭짓점, 변, 각을 대응점, 대응변, 대응각이라 한다. 그림에서 눈금이 같은 변끼리, 표시한 각끼리가 대응한다
③오른쪽 삼각형은 왼쪽 삼각형을 뒤집어 놓은 모양이다. 뒤집어도 포개면 꼭 맞으므로 합동이다
④두 변과 끼인각을 슬라이더로 정하면 셋째 변의 길이와 나머지 두 각은 달리 고를 여지 없이 하나로 정해진다. 이것이 SAS 합동의 뜻이다

삼각형의 합동 조건

SSS 합동
세 변의 길이가 각각 같다
a = a', b = b', c = c'
SAS 합동
두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 각각 같다
a = a', b = b', ∠C = ∠C'
ASA 합동
한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 각각 같다
c = c', ∠A = ∠A', ∠B = ∠B'
💡 합동 조건을 고를 때
①SSS는 변-변-변, SAS는 변-각-변, ASA는 각-변-각이다
②SAS의 각은 반드시 두 변 사이에 끼인각이어야 한다. 두 변과 끼이지 않은 각(SSA)이 같으면 삼각형이 두 가지로 그려질 수 있어 합동이라 할 수 없다
③세 각만 같으면(AAA) 모양은 같아도 크기가 다를 수 있다. 이것은 합동이 아니라 닮음이다
④두 각이 같으면 셋째 각도 같으므로, 한 변과 두 각이 같을 때는 그 변의 양 끝 각이 같다고 바꾸어 ASA를 쓸 수 있다

예제로 확인하기

예제 1
△ABC ≡ △DEF이고 BC = 7일 때, 변 EF의 길이를 구하시오.
1
합동 기호의 순서대로 A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F로 짝지으면 BC의 대응변은 EF다.
BC ↔ EF (대응변)
2
합동인 도형에서 대응변의 길이는 같다.
EF = BC = 7
▸ EF = 7
대응변은 이름의 생김새가 아니라 합동 기호의 꼭짓점 순서로 찾는다.
예제 2
△ABC ≡ △DEF이고 ∠A = 50°, ∠B = 60°일 때, ∠F의 크기를 구하시오.
1
삼각형의 세 내각의 합은 180°이므로 ∠C를 먼저 구한다.
∠C = 180° − 50° − 60° = 70°
2
세 번째 꼭짓점끼리인 C와 F가 대응하므로 ∠F = ∠C다.
∠F = ∠C = 70°
▸ ∠F = 70°
∠F는 문제에 직접 나오지 않지만, 대응각을 찾고 내각의 합을 쓰면 구할 수 있다.

시험 포인트 정리

합동 기호
△ABC ≡ △DEF
대응하는 꼭짓점을 같은 순서로 쓴다. A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F
중1 내신 유형
다음 중 두 삼각형이 항상 합동이 되는 조건은?
①세 각의 크기가 각각 같다
②두 변의 길이가 각각 같다
③세 변의 길이가 각각 같다
④넓이가 같다
⑤둘레의 길이가 같다
▸ ③ 세 변의 길이가 각각 같다
1
삼각형의 합동 조건은 SSS, SAS, ASA 세 가지다.
SSS, SAS, ASA
2
세 변의 길이가 각각 같으면 SSS 합동이다. 세 각만 같으면 크기가 다를 수 있고(①), 두 변만으로는 끼인각이 정해지지 않으며(②), 넓이나 둘레가 같아도 모양은 다를 수 있다(④ ⑤).
세 변이 각각 같음 ⇒ SSS 합동
🎯 시험 포인트
①삼각형의 합동 조건은 SSS, SAS, ASA 세 가지다
②SAS의 각은 끼인각이어야 하며, SSA와 AAA는 합동 조건이 아니다
③합동인 두 도형은 대응변의 길이와 대응각의 크기가 각각 같다
④합동 기호는 대응하는 꼭짓점 순서대로 쓴다
⑤작도 과정을 쓸 때는 무엇을 중심으로 어떤 반지름으로 그리는지 순서대로 적는다
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