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중학교 1학년 (12-13세)

정비례와 반비례

Proportional & Inverse Proportional

정비례는 한쪽이 2배, 3배가 될 때 다른 쪽도 똑같이 2배, 3배가 되는 관계로, y = ax로 써요. 일정한 빠르기로 걸으면 걸은 시간이 두 배가 될 때 간 거리도 두 배가 되는데, 이것이 정비례의 좋은 예예요. 반비례는 y = a/x 꼴로, 정해진 거리를 갈 때 빠르기를 두 배로 하면 걸리는 시간이 절반이 되듯 한쪽이 커지면 다른 쪽이 작아지고 두 값의 곱 xy가 늘 일정해요. 이 장에서는 비례상수 a를 바꿔 가며 원점을 지나는 직선과 쌍곡선을 보고, 몫 y ÷ x와 곱 x × y가 일정한지 그림에서 확인해요.

정비례 y = ax

2
👀 정비례
①x가 2배, 3배, …가 될 때 y도 2배, 3배, …가 되면 y는 x에 정비례한다
②식은 y = ax (a ≠ 0) 꼴이고, 0이 아닌 x에 대해 y ÷ x의 값이 늘 a로 같다
③그래프는 원점을 지나는 직선이다. 그림의 세 점이 모두 한 직선 위에 있다
④a > 0이면 오른쪽 위로 올라가고, a < 0이면 오른쪽 아래로 내려간다

반비례 y = a/x

6
🔍 반비례
①x가 2배, 3배, …가 될 때 y는 1/2배, 1/3배, …가 되면 y는 x에 반비례한다
②식은 y = a/x (a ≠ 0) 꼴이고, x × y의 값이 늘 a로 같다. 그림의 직사각형 넓이가 모두 같은 까닭이다
③그래프는 좌표축에 한없이 가까워지지만 만나지 않는 한 쌍의 곡선, 곧 쌍곡선이다
④a > 0이면 제1, 3사분면에, a < 0이면 제2, 4사분면에 그려진다

비례상수의 뜻

정비례의 비례상수
a = yx
x ≠ 0일 때 y ÷ x의 값은 늘 a다
반비례의 비례상수
a = xy
x × y의 값은 늘 a다
💡 비례상수 구하기
①정비례에서는 그래프 위의 한 점 (x, y)만 알면 a = y ÷ x로 구한다
②반비례에서는 한 점 (x, y)만 알면 a = x × y로 구한다
③a의 부호가 그래프가 지나는 사분면을 정한다
④정비례에서 |a|가 클수록 직선이 y축에 가까워져 가파르다

예제로 확인하기

예제 1
y가 x에 정비례하고 x = 2일 때 y = 6이다. y를 x의 식으로 나타내시오.
1
정비례는 y = ax 꼴이다. x = 2, y = 6을 넣어 a를 구한다.
6 = a × 2 ⇒ a = 3
2
a = 3을 식에 넣는다.
y = 3x
▸ y = 3x
그림에서 a를 3에 두면 x = 1, 2, 3의 점이 (1, 3), (2, 6), (3, 9) 자리에 오는데, 9는 그림의 범위 밖이라 앞의 두 점만 보인다.
예제 2
y가 x에 반비례하고 x = 3일 때 y = 4이다. x = 6일 때 y의 값을 구하시오.
1
반비례는 y = a/x 꼴이고, a = x × y = 3 × 4 = 12다.
y = 12/x
2
x = 6을 넣는다.
y = 12/6 = 2
▸ y = 2
x가 3에서 6으로 2배가 되자 y는 4에서 2로 절반이 되었다. 곱은 3 × 4 = 6 × 2 = 12로 그대로다.

시험 포인트 정리

정비례
y = ax → 원점을 지나는 직선
|a|가 클수록 y축에 가까운 가파른 직선이다
반비례
y = ax
a > 0이면 제1, 3사분면, a < 0이면 제2, 4사분면
중1 내신 유형
반비례 관계 y = 12/x의 그래프가 점 (a, 3)을 지날 때, a의 값은?
①2
②3
③4
④6
⑤12
▸ ③ 4
1
점 (a, 3)을 식에 넣는다.
3 = 12/a
2
a를 구한다.
a = 12 ÷ 3 = 4
🎯 시험 포인트
①정비례와 반비례는 y ÷ x가 일정한지, x × y가 일정한지로 가른다
②그래프가 지나는 사분면을 보고 비례상수의 부호를 판단한다
③정비례에서 a의 절댓값이 클수록 직선이 가파르다
④반비례의 그래프는 좌표축에 한없이 가까워지지만 만나지 않는다
⑤속력이 일정할 때 거리와 시간은 정비례, 거리가 일정할 때 속력과 시간은 반비례다
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점·선·면·각

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