최대공약수와 최소공배수

GCD & LCM

최대공약수는 두 수를 동시에 나누어떨어지게 하는 가장 큰 수이고, 최소공배수는 두 수의 공통 배수 중 가장 작은 수예요. 12와 18의 배수를 죽 늘어놓으면 겹치는 지점이 공배수이고, 소인수분해를 벤 다이어그램에 겹쳐 보면 공통 부분이 최대공약수가 돼요. 두 수의 곱은 언제나 최대공약수와 최소공배수의 곱과 같아서, 하나를 알면 다른 하나를 바로 구할 수 있어요. 이 페이지에서는 두 수를 바꿔 가며 배수가 겹치는 자리와 공통 소인수를 눈으로 확인해 봐요.

공약수와 공배수

수 A12

수 B18

👀 배수가 겹치는 곳

①두 수의 배수를 각각 나열하면 겹치는 수가 있다

②그 겹치는 수들이 '공배수'

③그중 가장 작은 것이 '최소공배수(LCM)'

벤 다이어그램으로 보기

🔍 벤 다이어그램의 비밀

①교집합(공통) → 최대공약수(GCD)

②합집합(전체) → 최소공배수(LCM)

③GCD는 공통 소인수의 최소 지수의 곱

④LCM은 모든 소인수의 최대 지수의 곱

GCD × LCM 관계

GCD·LCM 관계식

a × b = GCD(a,b) × LCM(a,b)

두 수의 곱 = 최대공약수 × 최소공배수

LCM 구하기

LCM(a,b) = a × bGCD(a,b)

GCD를 먼저 구하면 LCM을 바로 계산할 수 있다

💡 계산 순서

①두 수를 소인수분해

②공통 소인수의 최소 지수 → GCD

③모든 소인수의 최대 지수 → LCM

④검산: GCD × LCM = a × b

직접 풀어보기

예제 1

두 수 12와 18의 최대공약수를 구하시오.

두 수를 소인수분해한다.

12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3²

공통 소인수의 낮은 지수를 곱한다.

최대공약수 = 2 × 3 = 6

▸ 6

최대공약수는 공통 소인수의 낮은 지수를 곱한다.

예제 2

두 수 12와 18의 최소공배수를 구하시오.

두 수를 소인수분해한다.

12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3²

모든 소인수의 높은 지수를 곱한다.

최소공배수 = 2² × 3² = 36

▸ 36

최소공배수는 모든 소인수의 높은 지수를 곱한다.

시험 포인트 정리

최대공약수

GCD = 공통 소인수의 최소 지수의 곱

두 수를 동시에 나눌 수 있는 가장 큰 수

최소공배수

LCM = 모든 소인수의 최대 지수의 곱

두 수의 공통 배수 중 가장 작은 수

중1 내신 유형

가로 12 cm, 세로 18 cm인 직사각형을 빈틈없이 덮는, 될 수 있는 한 큰 정사각형 타일의 한 변의 길이는?

①2

②3

③6

④9

⑤12

▸ ③ 6

빈틈없이 덮는 가장 큰 정사각형의 한 변은 두 변의 최대공약수이다.

한 변 = 최대공약수(12, 18)

최대공약수를 구한다.

= 2 × 3 = 6 (cm)

🎯 시험 포인트

①GCD 활용: 똑같이 나누기, 최대 크기 정사각형

②LCM 활용: 동시에 출발, 최소 공통 단위

③세 수의 GCD/LCM도 같은 원리

④서로소: GCD = 1인 두 수

⑤GCD × LCM = a × b 관계로 검산 필수