중학교 1학년 (12-13세)

최대공약수와 최소공배수

GCD & LCM

최대공약수는 두 수를 모두 나누어떨어지게 하는 수 가운데 가장 큰 수이고, 최소공배수는 두 수에 공통인 배수 가운데 가장 작은 수예요. 12의 배수와 18의 배수를 수직선에 늘어놓으면 36, 72에서 겹치고, 그 첫 자리인 36이 최소공배수예요. 두 수를 소인수분해해서 벤 다이어그램에 나눠 담으면, 겹친 부분의 곱이 최대공약수가 되고 전체의 곱이 최소공배수가 돼요. 이 장에서는 두 수를 바꿔 가며 겹치는 배수와 공통 소인수를 확인하고, 두 수의 곱이 최대공약수와 최소공배수의 곱과 같은 까닭도 살펴요.

배수가 겹치는 자리

수 A12

수 B18

👀 배수가 겹치는 자리

①두 수의 배수를 각각 늘어놓으면 양쪽에 함께 나오는 수가 있다. 이것이 공배수다

②공배수 가운데 가장 작은 수가 최소공배수다. 그림에서 위아래가 처음으로 점선으로 이어지는 자리다

③공배수는 모두 최소공배수의 배수다. 12와 18이면 36, 72, 108처럼 36씩 커진다

④한 수가 다른 수의 배수이면 큰 수가 그대로 최소공배수가 된다

벤 다이어그램으로 보는 소인수

🔍 벤 다이어그램에 나눠 담기

①12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3²이다. 두 수에 함께 들어 있는 2와 3을 가운데에 놓고, 남는 2는 12 쪽에, 남는 3은 18 쪽에 놓는다

②가운데에 놓인 수를 곱하면 최대공약수다. 2 × 3 = 6

③왼쪽, 가운데, 오른쪽에 있는 수를 모두 곱하면 최소공배수다. 2 × 2 × 3 × 3 = 36

④공통인 소인수가 하나도 없으면 최대공약수는 1이고, 이런 두 수를 서로소라 한다

최대공약수 × 최소공배수 = 두 수의 곱

두 수의 곱과의 관계

A × B = (최대공약수) × (최소공배수)

12 × 18 = 216 = 6 × 36

최소공배수 구하기

(최소공배수) = A × B ÷ (최대공약수)

최대공약수를 먼저 구하면 최소공배수를 곧바로 계산할 수 있다. 216 ÷ 6 = 36

💡 왜 곱이 같은가

①A × B를 소인수로 풀어 쓰면 벤 다이어그램의 가운데 부분이 두 번 곱해진다

②최소공배수는 세 부분을 한 번씩 곱한 것이고, 최대공약수는 가운데 부분이다

③그래서 최대공약수 × 최소공배수도 가운데를 두 번, 양옆을 한 번씩 곱한 것이 되어 A × B와 같아진다

④계산을 마친 뒤 이 관계로 검산하면 실수를 잡을 수 있다

예제로 확인하기

예제 1

두 수 12와 18의 최대공약수를 구하시오.

두 수를 소인수분해한다.

12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3²

공통인 소인수 2와 3을 지수가 작은 쪽으로 골라 곱한다.

최대공약수 = 2 × 3 = 6

▸ 6

벤 다이어그램에서 가운데에 놓인 2와 3을 곱한 값과 같다.

예제 2

두 수 12와 18의 최소공배수를 구하시오.

두 수를 소인수분해한다.

12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3²

모든 소인수를 지수가 큰 쪽으로 골라 곱한다.

최소공배수 = 2² × 3² = 36

▸ 36

검산하면 12 × 18 = 216이고 6 × 36 = 216이다. 수직선에서도 처음 겹치는 자리가 36이다.

시험 포인트 정리

최대공약수

공통인 소인수를 지수가 작은 쪽으로 골라 곱한다

두 수를 모두 나누어떨어지게 하는 가장 큰 수

최소공배수

모든 소인수를 지수가 큰 쪽으로 골라 곱한다

두 수의 공배수 가운데 가장 작은 수

중1 내신 유형

가로 12 cm, 세로 18 cm인 직사각형을 크기가 같은 정사각형 타일로 빈틈없이 덮으려 한다. 타일을 될 수 있는 대로 크게 할 때, 타일 한 변의 길이는?

①2

②3

③6

④9

⑤12

▸ ③ 6

타일 한 변의 길이는 12와 18을 모두 나누어떨어지게 해야 하고, 그중 가장 큰 수여야 한다.

한 변 = (12와 18의 최대공약수)

최대공약수를 구한다.

= 2 × 3 = 6 (cm)

🎯 시험 포인트

①똑같이 나누기, 가장 큰 정사각형 타일처럼 「가장 크게 나누는」 문제는 최대공약수로 푼다

②동시에 출발해 다시 만나는 때처럼 「처음으로 함께 맞는」 문제는 최소공배수로 푼다

③세 수의 최대공약수와 최소공배수도 같은 방법으로 구한다

④최대공약수가 1인 두 수는 서로소이고, 이때 최소공배수는 두 수의 곱이다

⑤A × B = (최대공약수) × (최소공배수)로 검산한다

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정수와 유리수

마지막 수정 2026-10-17

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