소인수분해는 어떤 자연수를 더 이상 쪼갤 수 없는 소수들의 곱으로 나누는 거예요.
레고 블록을 하나하나 분해하듯, 모든 합성수는 소수라는 기본 조각들의 곱으로 딱 한 가지 방법으로만 표현돼요.
같은 소인수는 거듭제곱으로 묶고, 각 지수에 1을 더해 곱하면 약수가 몇 개인지도 바로 알 수 있어요.
이 페이지에서는 수를 바꿔 가며 인수분해 트리가 소수까지 뻗어 나가는 모습을 직접 살펴봐요.
직관 도입 -- 수를 쪼개보자
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약수 격자 -- 골드 원이 소인수, 파란 원이 약수
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🧱 레고처럼 쪼개자!
①약수: 어떤 수를 나누어떨어지게 하는 수 (12의 약수: 1,2,3,4,6,12)
②소수: 1과 자기 자신만 약수인 수 (2,3,5,7,11,13...)
③소인수분해: 자연수를 소수의 곱으로 완전히 쪼개는 것
④레고 블록 = 소수, 완성품 = 합성수
소인수분해 트리
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인수분해 트리 -- 끝(잎)에 도달하면 모두 소수
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소인수분해 절차
가장 작은 소수(2)부터 차례로 나누기
2 → 3 → 5 → 7 → ... 몫이 1이 될 때까지 반복
거듭제곱 표현
72 = 23 × 32
같은 소인수는 거듭제곱으로 묶어 표현한다
📝 나눗셈 세로 배열법
①왼쪽에 소인수, 오른쪽에 몫을 적는다
②예: 72 → 2|72 → 2|36 → 2|18 → 3|9 → 3
③왼쪽 숫자들을 모두 곱하면 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 2³ x 3²
④같은 수는 어떤 순서로 나눠도 결과가 같다 (유일성)
약수의 개수 구하기
약수의 개수
N = pa × qb → (a+1)(b+1)
각 소인수의 지수에 1을 더해 곱한다
예시: 72의 약수
72 = 23 × 32 → (3+1)(2+1) = 12
실제로 세어보면: 1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72
💡 왜 (지수+1)을 곱할까?
①72 = 2³ x 3²의 약수를 만들려면
②2를 0번,1번,2번,3번 쓸 수 있다 → 4가지 선택
③3을 0번,1번,2번 쓸 수 있다 → 3가지 선택
④각 선택을 조합하면 4 x 3 = 12가지 → 약수 12개!
최대공약수(GCD)와 최소공배수(LCM) 연결
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소인수분해로 GCD와 LCM 구하기
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GCD (최대공약수)
각 소인수의 지수 중 작은 것을 선택
공통 소인수만, 지수는 최솟값
LCM (최소공배수)
각 소인수의 지수 중 큰 것을 선택
모든 소인수, 지수는 최댓값
🔍 GCD x LCM = a x b
①최대공약수 x 최소공배수 = 두 수의 곱
②이 성질을 이용하면 GCD를 알 때 LCM을 바로 구할 수 있다
③시험에서 이 관계를 이용한 문제가 자주 나온다!
직접 풀어보기
예제 1
60을 소인수분해하시오.
1
가장 작은 소수 2로 나눈다: 60 ÷ 2 = 30, 30 ÷ 2 = 15.
60 = 2 × 2 × 15
2
15 = 3 × 5이므로 거듭제곱으로 정리한다.
60 = 2² × 3 × 5
▸ 60 = 2² × 3 × 5
작은 소수부터 차례로 나누고 거듭제곱으로 정리한다.
예제 2
72의 약수의 개수를 구하시오.
1
먼저 소인수분해한다.
72 = 2³ × 3²
2
약수의 개수는 각 지수에 1을 더해 곱한다.
(3 + 1)(2 + 1) = 4 × 3 = 12
▸ 12개
약수의 개수 = (각 소인수 지수 + 1)의 곱.
시험 포인트 정리
소인수분해 총정리
N = p1a_1 × p2a_2 × ...
모든 합성수는 소수의 곱으로 유일하게 표현된다
중1 내신 유형
60에 자연수를 곱하여 어떤 자연수의 제곱이 되게 하려고 한다. 곱할 수 있는 가장 작은 자연수는?