소인수분해

약수와 소수, 소인수

어떤 수의 약수를 빠짐없이 세거나 두 수의 최대공약수와 최소공배수를 구할 때는, 그 수를 더 이상 쪼갤 수 없는 소수들의 곱으로 먼저 바꿔 두는 편이 빠르다. 이렇게 바꾸는 일을 소인수분해라 하고, 같은 소인수는 거듭제곱으로 묶어 쓴다. 어떤 순서로 나누어도 결과가 하나로 정해진다는 점이 이 방법을 믿고 쓸 수 있게 해 준다. 아래 약수 격자에서는 고른 수를 나누어떨어지게 하는 수가 어디에 있고, 그중 어느 것이 소수인지부터 확인한다.

약수 격자에는 1부터 고른 수까지(최대 48)가 한 칸씩 놓여 있다. 고른 수를 나누어떨어지게 하는 수는 파란 원으로, 그 가운데 소수인 것은 금색 원으로 칠해져 있는데, 금색 원이 바로 소인수다. 예를 들어 36을 고르면 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36이 칠해지고 그중 2와 3만 금색이다. 소수를 고르면 1과 자기 자신, 두 칸만 칠해진다.

소인수분해 나무

약수의 개수

1을 소수로 여기거나, 나누는 순서에 따라 소인수분해 결과가 달라진다고 생각하기 쉽다. 1은 약수가 1 하나뿐이어서 소수도 합성수도 아니고, 2는 소수 가운데 하나뿐인 짝수다. 72를 2부터 나누든 3부터 나누든 결과는 2³ × 3²으로 같다. 한 번 나눈 몫이 소수가 될 때까지 나눗셈을 이어 가야 하며, 중간에 멈추면 합성수가 남는다.

최대공약수와 최소공배수로 잇기

예제로 확인하기

소인수분해 문제는 가장 작은 소수부터 나누어 몫이 소수가 될 때까지 되풀이하는 순서로 푼다. 같은 소수는 거듭제곱으로 묶고, 약수의 개수를 물으면 각 지수에 1을 더해 곱한다. 큰 소수부터 시작해도 결과는 같지만, 나누어떨어지는지 확인하는 일이 번거로워진다. 아래 두 예제도 이 순서를 그대로 따른다.

시험 포인트 정리

소인수분해를 해 두면 다음 장의 최대공약수와 최소공배수를 곧바로 고를 수 있다. 최대공약수는 공통인 소인수를 지수가 작은 쪽으로, 최소공배수는 모든 소인수를 지수가 큰 쪽으로 골라 곱한 것이다. 두 규칙을 바꿔 쓰는 실수가 잦으니, 위의 지수 표처럼 두 수의 지수를 한 줄씩 나란히 적고 칸마다 견주면 된다.