고등학교 2~3학년 (16-18세)

확률과 통계 통계적 추정

Statistical Estimation

모집단 전체를 조사할 수 없을 때, 표본 하나에서 얻은 값으로 모평균이 있을 만한 범위를 어림하는 일이 통계적 추정이에요. 표본평균은 모평균 둘레에서 표준편차 σ/√n 만큼 흔들리므로, 표본평균을 가운데 두고 양쪽에 오차한계 z × σ/√n 을 붙여 신뢰구간을 만들어요. 신뢰도를 높이면 z 가 커져 구간이 넓어지고, 표본을 키우면 σ/√n 이 작아져 구간이 좁아지는 맞바꿈이 있어요. 표본 크기와 신뢰도 슬라이더를 움직이면 같은 축척 위에서 구간이 실제로 넓어지고 좁아지며, 아래에는 표본을 여덟 번 다시 뽑아 만든 구간 가운데 몇 개가 모평균을 품는지도 함께 보여요.

모집단과 표본

🔬 통계적 추정이란

①모집단 전체를 조사하기 어려울 때, 일부를 뽑은 표본으로 모집단을 짐작한다

②표본에서 계산한 표본평균으로 모평균을 어림한다

③핵심 질문은 표본평균이 모평균에 얼마나 가까운지, 그 오차를 얼마로 잡을지다

표본평균의 분포

표본 크기 n25

모표준편차 σ10

표본평균의 분포

X̄ ∼ N(μ, σ²n)

모집단이 N(μ, σ²) 일 때 크기 n 인 표본의 평균 X̄ 의 분포

💡 표본 크기의 효과

①n 이 커질수록 X̄ 의 분포는 좁아진다

②그 표준편차 σ/√n 을 표준오차라고 하며, n 을 4 배로 하면 표준오차는 절반이 된다

③σ 가 크면 모집단의 분포와 표본평균의 분포가 함께 넓어진다

④큰수의 법칙은 n 이 커질수록 표본평균이 모평균에 가까워진다는 뜻이다

신뢰구간

표본 크기 n36

신뢰도95%

모평균의 신뢰구간

x̄ - z × σ√n ≤ μ ≤ x̄ + z × σ√n

모표준편차 σ 를 알 때 모평균 μ 의 신뢰구간

📐 신뢰도와 z 값

①신뢰도 90% 이면 z = 1.645 다

②신뢰도 95% 이면 z = 1.96 이다

③신뢰도 99% 이면 z = 2.576 이다

④신뢰도를 높이면 구간이 넓어지고, n 을 키우면 구간이 좁아진다

⑤그림 아래의 여덟 구간은 신뢰도를 높일수록 μ 를 품는 개수가 늘어난다

신뢰구간의 뜻

오차한계

E = z × σ√n

신뢰구간 폭의 절반

필요한 표본 크기

n ≥ (zσE)²

오차한계를 E 이하로 만드는 데 필요한 가장 작은 표본 크기

⚠️ 흔한 오해 바로잡기

①「신뢰도 95% 의 신뢰구간」 은 「이 구간 안에 μ 가 있을 확률이 95%」 라는 뜻이 아니다

②같은 방법으로 구간을 여러 번 만들면 그중 약 95% 가 μ 를 품는다는 뜻이다

③μ 는 정해진 값이고, 표본에 따라 달라지는 쪽은 구간이다

예제

예제 1

모평균 μ = 100, 모표준편차 σ = 20인 모집단에서 크기 n = 25인 표본을 뽑을 때, 표본평균 X̄의 평균과 표준편차를 구하시오.

표본평균의 평균은 모평균과 같고, 표준편차는 σ/√n 이다.

E(X̄) = μ, σ(X̄) = σ/√n

μ = 100, σ = 20, n = 25 를 넣는다.

E(X̄) = 100, σ(X̄) = 20/√25 = 4

▸ E(X̄) = 100, σ(X̄) = 4

표본평균의 표준편차(표준오차)는 표본이 클수록 작아진다.

예제 2

모표준편차 σ = 10인 모집단에서 크기 n = 25인 표본의 표본평균이 50이었다. 모평균 μ에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간을 구하시오. (단, P(|Z| ≤ 1.96) = 0.95)

표준오차는 σ/√n = 10/5 = 2 이다.

X̄ − 1.96·σ/√n ≤ μ ≤ X̄ + 1.96·σ/√n

오차한계 1.96 × 2 = 3.92 를 표본평균에서 빼고 더한다.

50 − 3.92 ≤ μ ≤ 50 + 3.92, 즉 46.08 ≤ μ ≤ 53.92

▸ 46.08 ≤ μ ≤ 53.92

신뢰구간은 표본평균 ± (신뢰도에 맞는 z × 표준오차) 다.

정리

통계적 추정의 핵심

x̄ - z σ√n ≤ μ ≤ x̄ + z σ√n

모표준편차 σ 를 알 때 모평균의 신뢰구간

수능 수학(확률과 통계) 유형

모표준편차가 σ인 모집단에서 크기 n = 64인 표본으로 신뢰도 95%로 추정한 모평균의 신뢰구간의 길이가 4.9였다. σ를 구하시오. (단, 신뢰계수는 1.96)

①8

②9

③10

④11

⑤12

▸ ③ 10

신뢰구간의 길이는 오차한계의 2 배다 (√64 = 8).

L = 2 × 1.96 × σ/√n

값을 넣어 σ 를 구한다.

4.9 = 2 × 1.96 × σ/8 = 0.49σ ⇒ σ = 10

🎯 시험 포인트

①X̄ 는 N(μ, σ²/n) 을 따른다

②표준오차는 σ/√n 이다

③신뢰도 95% 는 z = 1.96, 99% 는 z = 2.576 이다

④오차한계는 E = zσ/√n 이다

⑤n 을 4 배로 하면 오차한계는 절반이 된다

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정규분포

표본평균의 분포

마지막 수정 2026-10-17

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