통계적 추정

Statistical Estimation

모집단 전체를 다 조사할 수 없을 때, 표본 하나로 모평균이 있을 만한 범위를 짐작하는 게 통계적 추정이에요. 표본평균은 모평균 근처에서 σ/√n의 폭으로 흔들리니까, 그 표본평균을 중심으로 좌우에 오차한계를 붙여 신뢰구간을 만들어요. 신뢰도를 95%로 높이면 z값이 커져 구간이 넓어지고, 표본을 키우면 구간이 좁아지는 맞바꿈이 있어요. 표본 크기 n과 신뢰도 슬라이더를 움직여 신뢰구간이 넓어지고 좁아지는 모습을 보고, 신뢰도 95%가 이 구간에 모평균이 있을 확률이 아니라는 점도 짚어 봐요.

모집단과 표본

🔬 통계적 추정이란?

①모집단 전체를 조사하기 어려울 때

②일부(표본)를 뽑아 전체(모집단)를 추측

③핵심 질문: 표본평균으로 모평균을 얼마나 정확히 맞출 수 있는가?

표본평균의 분포

표본 크기 n25

모표준편차 σ10

표본평균의 분포

X̄ ∼ N(μ, σ²n)

모집단이 N(μ,σ²)일 때, 표본평균 X̄의 분포

💡 표본 크기의 마법

①n이 커질수록 X̄의 분포가 좁아짐

②표준오차 = σ/√n → n을 4배로 하면 오차 반감

③이것이 '대수의 법칙'의 핵심

신뢰구간

표본 크기 n36

신뢰도 (%)95%

모평균의 신뢰구간

x̄ - z × σ√n ≤ μ ≤ x̄ + z × σ√n

모표준편차 σ를 알 때, 모평균 μ의 신뢰구간

📐 신뢰도와 z값

①95% 신뢰구간: z = 1.96

②99% 신뢰구간: z = 2.576

③신뢰도 ↑ → 구간 넓어짐 (더 확실하려면 범위를 넓혀야)

④n ↑ → 구간 좁아짐 (더 많이 조사하면 정밀해짐)

신뢰구간의 의미

오차한계

E = z × σ√n

신뢰구간의 반폭 (오차의 크기)

필요 표본 크기

n ≥ (zσE)²

오차한계 E 이하로 만들기 위한 최소 표본 크기

⚠️ 흔한 오해 바로잡기

①'95% 신뢰구간'은 '이 구간 안에 μ가 있을 확률 95%'가 아님

②올바른 해석: 같은 방법으로 100번 구간을 만들면 약 95번은 μ를 포함

③μ는 고정값, 구간이 확률적으로 변함

직접 풀어보기

예제 1

모평균 m = 100, 모표준편차 σ = 20인 모집단에서 크기 n = 25인 표본을 뽑을 때, 표본평균 X̄의 평균과 표준편차를 구하시오.

표본평균의 평균은 모평균과 같고, 표준편차는 σ/√n이다.

E(X̄) = m, σ(X̄) = σ/√n

대입한다.

E(X̄) = 100, σ(X̄) = 20/√25 = 4

▸ E(X̄) = 100, σ(X̄) = 4

표본평균의 표준편차(표준오차)는 표본 크기가 클수록 작아진다.

예제 2

모표준편차 σ = 10인 모집단에서 크기 n = 25인 표본의 표본평균이 50이었다. 모평균 m에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간을 구하시오. (단, P(|Z| ≤ 1.96) = 0.95)

신뢰구간 공식에 대입한다 (σ/√n = 10/5 = 2).

X̄ − 1.96·σ/√n ≤ m ≤ X̄ + 1.96·σ/√n

1.96 × 2 = 3.92를 더하고 뺀다.

50 − 3.92 ≤ m ≤ 50 + 3.92, 즉 46.08 ≤ m ≤ 53.92

▸ 46.08 ≤ m ≤ 53.92

신뢰구간 = 표본평균 ± (신뢰계수 × 표준오차).

총정리

통계적 추정 핵심

x̄ - z σ√n ≤ μ ≤ x̄ + z σ√n

모평균의 신뢰구간 (σ 알 때)

수능 수학(확률과 통계) 유형

모표준편차가 σ인 모집단에서 크기 n = 64인 표본으로 신뢰도 95%로 추정한 모평균의 신뢰구간의 길이가 4.9였다. σ를 구하시오. (단, 신뢰계수는 1.96)

①8

②9

③10

④11

⑤12

▸ ③ 10

신뢰구간의 길이 공식을 쓴다 (√64 = 8).

L = 2 × 1.96 × σ/√n

대입하여 σ를 구한다.

4.9 = 2 × 1.96 × σ/8 = 0.49σ ⇒ σ = 10

🎯 시험 포인트

①표본평균 분포: X̄ ~ N(μ, σ²/n)

②표준오차: σ/√n

③95% → z=1.96, 99% → z=2.576

④오차한계 E = zσ/√n

⑤n을 4배로 → 오차 반으로