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고등학교 2~3학년 (16-18세)

확률과 통계 정규분포

Normal Distribution

키나 몸무게처럼 자연에서 흔히 보는 자료는 가운데가 볼록한 종 모양으로 쌓이는데, 이 모양을 나타내는 분포가 정규분포예요. 평균 μ 는 종의 한가운데 자리를, 표준편차 σ 는 종의 폭을 정하고, 어떤 정규분포든 μ ± σ 안에 약 68.3%, μ ± 2σ 안에 약 95.4%, μ ± 3σ 안에 약 99.7% 가 들어가요. 평균과 표준편차가 다른 정규분포도 Z = (X − μ)/σ 로 바꾸면 평균 0, 표준편차 1 인 표준정규분포 하나로 모여서, 표 한 장으로 확률을 읽을 수 있어요. 평균 μ 슬라이더를 움직이면 종이 좌우로 옮겨 가고 σ 슬라이더로는 종이 홀쭉해지거나 납작해지며, 아래 그림에서 z 를 움직이면 0 부터 z 까지의 넓이가 확률로 바로 읽혀요.

종 모양의 곡선

🔔 정규분포란
①키 · 몸무게 · 측정 오차처럼 작은 요인이 많이 더해져 생기는 자료가 따르는 종 모양 분포다
②평균 μ 를 지나는 세로선에 대해 좌우 대칭이다
③곡선 아래 전체 넓이는 1 이고, 어떤 구간의 넓이가 그 구간에 들어갈 확률이다
④넓이가 늘 1 이므로 σ 가 작으면 좁고 높게, 크면 넓고 낮게 퍼진다

N(μ, σ²) 곡선

50
10
정규분포의 확률밀도함수
f(x) = 1σ√(2π) exp(-(x-μ)²/(2σ²))
N(μ, σ²) 의 확률밀도함수. 곡선의 모양을 정하는 식이고, 확률은 표준화한 뒤 표에서 읽는다
📏 68 · 95 · 99.7 규칙
①μ ± σ 구간에 전체의 약 68.3% 가 들어간다
②μ ± 2σ 구간에는 약 95.4% 가 들어간다
③μ ± 3σ 구간에는 약 99.7% 가 들어간다
④흰 화살표 끝의 점 μ + σ 에서 곡선이 휘는 방향이 바뀐다. σ 는 가운데에서 종의 어깨까지의 거리인 셈이다

표준정규분포 Z

1.5
표준화
Z = X - μσ
N(μ, σ²) 을 따르는 X 를 N(0, 1) 을 따르는 Z 로 바꾸는 식
💡 표준화의 뜻
①Z 는 X 가 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타낸다
②어떤 정규분포든 표준화하면 N(0, 1) 하나로 모인다
③그래서 표준정규분포표 한 장으로 모든 정규분포의 확률을 계산한다
④P(a ≤ X ≤ b) = P((a − μ)/σ ≤ Z ≤ (b − μ)/σ) 이다
⑤그림의 둘째 줄처럼 좌우 대칭이라 P(−z ≤ Z ≤ z) 는 P(0 ≤ Z ≤ z) 의 2 배이고, z = 1 이면 약 0.6826 으로 68.3% 규칙과 맞는다

이항분포와 정규분포

이항분포의 정규분포 근사
B(n, p) ≈ N(np, np(1−p)) (n이 충분히 클 때)
n 이 충분히 크면 이항분포 B(n, p) 는 평균 np, 분산 np(1 − p) 인 정규분포에 가까워진다

예제

예제 1
확률변수 X가 정규분포 N(50, 10²)을 따를 때, X = 70을 표준화한 Z값을 구하시오.
1
표준화 식을 쓴다.
Z = (X − μ)/σ
2
μ = 50, σ = 10 을 넣는다.
Z = (70 − 50)/10 = 2
▸ Z = 2
Z = 2 는 70 이 평균 50 보다 표준편차 2 개만큼 크다는 뜻이다.
예제 2
확률변수 X가 N(50, 10²)을 따를 때, P(50 ≤ X ≤ 70)을 구하시오. (단, P(0 ≤ Z ≤ 2) = 0.4772)
1
X = 50 은 Z = 0 으로, X = 70 은 Z = 2 로 바꾼다.
P(50 ≤ X ≤ 70) = P(0 ≤ Z ≤ 2)
2
표준정규분포표에서 값을 읽는다.
= 0.4772
▸ 0.4772
정규분포의 확률은 표준화한 뒤 표준정규분포표의 넓이로 읽는다.

정리

정규분포의 핵심
Z = X-μσ, X ∼ N(μ, σ2)
정규분포와 표준화
평가원 모의평가 수학(확률과 통계) 유형
확률변수 X가 정규분포 N(60, 8²)을 따를 때, P(X ≥ 60)의 값은?
①0.1587
②0.3413
③0.5
④0.6587
⑤0.8413
▸ ③ 0.5
1
정규분포는 평균 μ 에 대해 좌우 대칭이다.
P(X ≥ μ) = 0.5
2
μ = 60 이므로 P(X ≥ 60) 은 오른쪽 절반의 넓이 0.5 다.
P(X ≥ 60) = 0.5
🎯 시험 포인트
①Z = (X − μ)/σ 로 표준화한다
②표준정규분포표에서 P(0 ≤ Z ≤ z) 를 읽는다
③68 · 95 · 99.7 규칙을 기억해 둔다
④a > 0 일 때 대칭을 써서 P(Z ≥ a) = 0.5 − P(0 ≤ Z ≤ a) 로 바꾼다
⑤n 이 크면 이항분포를 정규분포로 근사한다
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확률분포
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통계적 추정

마지막 수정

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