정규분포

Normal Distribution

키나 몸무게처럼 자연에서 아주 흔한 데이터는 가운데가 볼록한 종 모양으로 쌓이는데, 이게 정규분포예요. 평균 μ는 종의 중심 위치를, 표준편차 σ는 종의 폭을 정하고, 중심에서 ±1σ·2σ·3σ 안에 약 68·95·99.7%가 들어간다는 규칙이 늘 성립해요. 서로 다른 정규분포도 표준화를 거치면 평균 0, 표준편차 1인 표준정규분포 Z 하나로 합쳐져 비교할 수 있어요. 평균 μ와 표준편차 σ 슬라이더로 종 모양이 좌우로 옮겨가고 홀쭉해지거나 퍼지는 모습을 보고, z값을 움직여 넓이(확률)가 어떻게 변하는지 확인해 봐요.

종 모양의 곡선

🔔 정규분포란?

①자연·사회 현상의 대부분이 따르는 종 모양 분포

②평균(μ)을 중심으로 좌우 대칭

③표준편차(σ)가 작으면 뾰족, 크면 납작

④전체 면적 = 1 (확률의 합)

N(μ, σ²) 곡선

평균 μ50

표준편차 σ10

정규분포 확률밀도함수

f(x) = 1σ√(2π) e^{-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}}

N(μ, σ²)의 확률밀도함수

📏 68-95-99.7 법칙

①μ ± 1σ 구간: 전체의 약 68.3%

②μ ± 2σ 구간: 전체의 약 95.4%

③μ ± 3σ 구간: 전체의 약 99.7%

④σ가 클수록 넓게 퍼짐

표준정규분포 Z

z값 ×1015

표준화 변환

Z = X - μσ

N(μ,σ²) → N(0,1)로 변환하는 공식

💡 표준화의 핵심

①어떤 정규분포든 Z변환으로 N(0,1)로 통일

②표준정규분포표 하나로 모든 정규분포 확률 계산

③P(a ≤ X ≤ b) = P(z₁ ≤ Z ≤ z₂)

이항분포와 정규분포

이항분포의 정규근사

B(n, p) ≈ N(np, np(1−p)) (n이 충분히 클 때)

n이 크면 이항분포는 정규분포에 가까워짐

직접 풀어보기

예제 1

확률변수 X가 정규분포 N(50, 10²)을 따를 때, X = 70을 표준화한 Z값을 구하시오.

표준화 공식을 쓴다.

Z = (X − m)/σ

m = 50, σ = 10을 대입한다.

Z = (70 − 50)/10 = 2

▸ Z = 2

표준화는 평균을 빼고 표준편차로 나눠 N(0, 1)로 바꾼다.

예제 2

확률변수 X가 N(50, 10²)을 따를 때, P(50 ≤ X ≤ 70)을 구하시오. (단, P(0 ≤ Z ≤ 2) = 0.4772)

X = 50은 Z = 0, X = 70은 Z = 2로 표준화한다.

P(50 ≤ X ≤ 70) = P(0 ≤ Z ≤ 2)

표준정규분포 표의 값을 읽는다.

= 0.4772

▸ 0.4772

정규분포 확률은 표준화한 뒤 표준정규분포 표(넓이)를 읽는다.

총정리

정규분포 핵심

Z = X-μσ, X ∼ N(μ, σ²)

정규분포와 표준화 변환

평가원 모의평가 수학(확률과 통계) 유형

확률변수 X가 정규분포 N(60, 8²)을 따를 때, P(X ≥ 60)의 값은?

①0.1587

②0.3413

③0.5

④0.6587

⑤0.8413

▸ ③ 0.5

정규분포는 평균 m에 대하여 좌우 대칭이다.

P(X ≥ m) = 0.5

m = 60이므로 그대로 0.5이다.

P(X ≥ 60) = 0.5

🎯 시험 포인트

①Z = (X−μ)/σ 로 표준화

②표준정규분포표에서 P(0≤Z≤z) 읽기

③68-95-99.7 법칙

④P(Z≥a) = 0.5 − P(0≤Z≤a)

⑤이항분포 → n 크면 정규근사