확률분포

Probability Distribution

주사위를 굴릴 때 나오는 눈처럼, 실험 결과를 숫자로 바꾼 것이 확률변수예요. 각 숫자가 나올 확률을 표로 정리하면 확률분포가 되고, 이 분포의 무게중심이 바로 기댓값이에요. 퍼진 정도는 분산과 표준편차로 재고, 여러 번 독립시행에서 성공 횟수를 세면 이항분포 B(n, p)가 나와요. 주사위 면 수를 움직여 기댓값(무게중심)이 어디 놓이는지 보고, 시행 횟수 n과 성공확률 p를 바꿔 막대그래프의 봉우리가 어떻게 옮겨가는지 확인해 봐요.

확률변수와 확률분포

📊 확률분포란?

①확률변수: 실험 결과를 수치로 대응시킨 것

②확률분포: 각 수치가 나올 확률을 표나 함수로 정리한 것

③확률분포표의 확률의 합은 항상 1

기댓값과 분산

주사위 면 수6

기댓값 (평균)

E(X) = Σ x_i × P(X = x_i)

확률변수의 평균값 (무게중심)

분산

V(X) = E(X²) − {E(X)}²

퍼진 정도의 제곱 평균

표준편차

σ(X) = √V(X)

분산의 양의 제곱근

이항분포 B(n, p)

시행 횟수 n6

성공확률 p ×105

이항분포 확률

P(X = k) = _nC_k p^k (1-p)^n-k

n번 독립시행에서 성공 k번의 확률

이항분포의 평균과 분산

E(X) = np, V(X) = np(1−p)

이항분포 B(n, p)의 기댓값과 분산

확률분포의 성질

기댓값의 선형성

E(aX + b) = aE(X) + b

상수배와 덧셈이 그대로 적용

분산의 성질

V(aX + b) = a²V(X)

상수 덧셈은 분산에 영향 없음

직접 풀어보기

예제 1

확률변수 X의 확률분포가 P(X=0)=1/4, P(X=1)=1/2, P(X=2)=1/4일 때, 기댓값 E(X)를 구하시오.

기댓값은 각 값에 확률을 곱해 더한다.

E(X) = Σ x · P(X = x)

대입한다.

= 0·(1/4) + 1·(1/2) + 2·(1/4) = 1

▸ E(X) = 1

기댓값은 각 값에 확률을 가중한 평균이다.

예제 2

위 확률변수 X에 대하여 분산 V(X)를 구하시오. (E(X) = 1)

V(X) = E(X²) − {E(X)}². 먼저 E(X²)를 구한다.

E(X²) = 0²·(1/4) + 1²·(1/2) + 2²·(1/4) = 3/2

대입한다.

V(X) = 3/2 − 1² = 1/2

▸ V(X) = 1/2

분산은 E(X²)에서 평균의 제곱을 뺀다.

총정리

확률분포 핵심

P(X=k) = _nC_k p^k(1-p)^n-k, E(X)=np

이항분포의 확률공식과 기댓값

평가원 모의평가 수학(확률과 통계) 유형

확률변수 X에 대하여 E(X) = 3일 때, E(2X + 1)의 값은?

①5

②6

③7

④8

⑤9

▸ ③ 7

기댓값의 선형성을 이용한다.

E(aX + b) = aE(X) + b

대입한다.

= 2·3 + 1 = 7

🎯 시험 포인트

①확률분포표: 모든 확률의 합 = 1

②E(X) = Σx·P(x), V(X) = E(X²) − {E(X)}²

③이항분포: B(n,p) → E=np, V=np(1−p)

④E(aX+b) = aE(X)+b

⑤V(aX+b) = a²V(X)