seegongsik
고등학교 2~3학년 (16-18세)

확률과 통계 확률분포

Probability Distribution

주사위를 던져 나온 눈처럼, 시행의 결과를 수로 나타낸 것을 확률변수라고 해요. 확률변수가 가질 수 있는 값마다 그 확률을 짝지어 놓은 것이 확률분포이고, 값에 확률을 곱해 모두 더한 기댓값은 막대들이 수평으로 균형을 이루는 받침점 자리예요. 값들이 기댓값에서 얼마나 퍼져 있는지는 분산과 표준편차로 재고, 독립시행을 n 번 할 때의 성공 횟수는 이항분포 B(n, p) 를 따라요. 주사위 면 수 슬라이더를 움직이면 받침점과 계산식이 함께 바뀌고, 시행 횟수 n 과 성공확률 p 를 바꾸면 이항분포의 봉우리가 np 근처로 옮겨 가요.

확률변수와 확률분포

📊 확률분포란
①확률변수는 시행의 결과마다 수 하나를 대응시킨 것이다
②확률분포는 확률변수가 가질 수 있는 값과 그 값이 나올 확률을 짝지은 것으로, 표나 식으로 나타낸다
③모든 값의 확률을 더하면 항상 1 이다

기댓값과 분산

6
기댓값 (평균)
E(X) = Σ xi × P(X = xi)
값에 확률을 곱해 모두 더한 값. 막대그래프의 무게중심이다
분산
V(X) = E(X2) − {E(X)}2
기댓값에서 떨어진 거리의 제곱을 확률로 평균한 값
표준편차
σ(X) = √V(X)
분산의 양의 제곱근. 값과 같은 단위로 퍼진 정도를 나타낸다

이항분포 B(n, p)

6
0.5
이항분포의 확률
P(X = k) = nCk pk (1-p)n-k
n 번의 독립시행에서 성공이 k 번일 확률. 앞 장의 식과 같고, 여기의 k 가 그곳의 r 이다
이항분포의 평균과 분산
E(X) = np, V(X) = np(1−p)
B(n, p) 의 기댓값은 np, 분산은 np(1 − p) 다. n = 1 이면 V = p(1 − p) 다

기댓값과 분산의 성질

기댓값의 선형성
E(aX + b) = aE(X) + b
모든 값을 a 배 하고 b 를 더하면 기댓값도 똑같이 a 배 하고 b 를 더한다
분산의 성질
V(aX + b) = a²V(X)
모든 값에 b 를 더하면 함께 옮겨 갈 뿐 퍼진 정도는 그대로이고, a 배 하면 거리가 a 배라 분산은 a² 배가 된다

예제

예제 1
확률변수 X 의 확률분포가 P(X = 0) = 1/4, P(X = 1) = 1/2, P(X = 2) = 1/4 일 때, 기댓값 E(X) 를 구하시오.
1
각 값에 그 확률을 곱해 모두 더한다.
E(X) = Σ x · P(X = x)
2
값을 넣어 계산한다.
= 0·(1/4) + 1·(1/2) + 2·(1/4) = 1
▸ E(X) = 1
분포가 1 을 중심으로 좌우 대칭이라, 계산하기 전에도 기댓값이 1 임을 알 수 있다.
예제 2
위의 확률변수 X 에 대하여 분산 V(X) 를 구하시오. (E(X) = 1)
1
V(X) = E(X²) − {E(X)}² 이므로 먼저 E(X²) 를 구한다.
E(X²) = 0²·(1/4) + 1²·(1/2) + 2²·(1/4) = 3/2
2
구한 값을 넣는다.
V(X) = 3/2 − 1² = 1/2
▸ V(X) = 1/2
E(X²) 은 값을 제곱한 뒤 확률을 곱해 더한 것이다. {E(X)}² 과 헷갈리지 않는다.

정리

확률분포의 핵심
P(X=k) = nCk pk(1-p)n-k, E(X)=np
이항분포의 확률과 기댓값
평가원 모의평가 수학(확률과 통계) 유형
확률변수 X 에 대하여 E(X) = 3 일 때, E(2X + 1) 의 값은?
①5
②6
③7
④8
⑤9
▸ ③ 7
1
기댓값의 선형성을 쓴다.
E(aX + b) = aE(X) + b
2
E(X) = 3 을 넣는다.
= 2·3 + 1 = 7
🎯 시험 포인트
①확률분포에서 모든 확률의 합은 1 이다
②E(X) = Σ x P(X = x), V(X) = E(X²) − {E(X)}² 이다
③B(n, p) 의 기댓값은 np, 분산은 np(1 − p) 다
④E(aX + b) = aE(X) + b 다
⑤V(aX + b) = a²V(X) 이고 b 는 분산에 영향을 주지 않는다
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