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고등학교 2~3학년 (16-18세)

확률과 통계 독립시행의 확률

Independent Trials

동전을 여러 번 던지면 앞면이 몇 번 나올지는 매번 달라지지만, 횟수마다의 확률에는 뚜렷한 규칙이 있어요. 성공확률이 p 로 같은 시행을 서로 영향 없이 n 번 되풀이하는 것을 독립시행이라 하고, 그중 성공이 정확히 r 번일 확률은 성공이 놓일 자리를 고르는 수 C(n, r) 에 성공 확률 pʳ 과 실패 확률 (1 − p)ⁿ⁻ʳ 을 곱한 값이에요. 이 확률을 성공 횟수별로 늘어놓으면 가운데가 봉긋한 이항분포 모양이 나와요. 성공 횟수 r 슬라이더를 움직이면 성공 자리 배치의 한 예와 해당 막대가 함께 바뀌고, 그림 아래에 세 조각을 곱하는 계산이 그대로 적혀요.

같은 시행을 되풀이한다

2
👀 그림 읽기
①독립시행은 한 번의 결과가 다음 결과에 영향을 주지 않는 같은 시행을 되풀이하는 것이다
②위의 동그라미 여섯 개가 6 번의 시행이고 채운 것이 성공이며, 성공 r 번이 놓이는 자리는 C(6, r) 가지다
③배치 하나의 확률이 (1/3)ʳ(2/3)⁶⁻ʳ 이므로 막대의 높이는 배치 수에 이 값을 곱한 것이다
④성공 횟수별 막대를 모으면 이항분포 모양이 되고, 이 그림에서는 r = 2 가 가장 높다

독립시행의 확률 공식

독립시행의 확률
P(X=r) = C(n,r) pr (1−p)n-r
n 번 가운데 성공이 r 번일 확률. C(n, r) 은 성공 자리를 고르는 경우의 수이고, 다음 장에서는 같은 식을 ₙCₖ 로 쓴다
세 조각의 곱
C(n,r) × pr × (1−p)n-r
①자리 고르기 C(n, r) ②성공 r 번 pʳ ③실패 n − r 번 (1 − p)ⁿ⁻ʳ

독립사건과 무엇이 다른가

🔁 되풀이하는 횟수가 핵심
①독립사건은 두 사건이 함께 일어날 확률이 P(A ∩ B) = P(A)P(B) 가 되는 관계다
②독립시행은 같은 시행을 n 번 되풀이했을 때 성공 횟수의 확률을 다룬다
③문제에 되풀이 횟수 n 과 성공 횟수 r 이 나오면 독립시행의 확률을 쓴다

예제

예제 1
동전을 4번 던질 때 앞면이 정확히 2번 나올 확률을 구하시오.
1
n = 4, p = 1/2, r = 2 를 공식에 넣는다.
C(4,2) (1/2)2 (1/2)2
2
세 조각을 곱한다.
= 6 × 116 = 38
▸ 3/8
p = 1/2 이면 pʳ(1 − p)ⁿ⁻ʳ 이 늘 (1/2)ⁿ 이라, 결국 C(n, r) 만 비교하면 된다.
예제 2
주사위를 3번 던질 때 6의 눈이 정확히 1번 나올 확률을 구하시오.
1
n = 3, p = 1/6, r = 1 이다.
C(3,1) (1/6)1 (5/6)2
2
세 조각을 곱한다.
= 3 × 16 × 2536 = 2572
▸ 25/72
6 이 아닌 눈이 나올 확률 5/6 의 제곱을 빠뜨리면 1/2 로 잘못 계산한다.

정리

핵심 정리
P(X=r) = C(n,r) pr (1−p)n-r
n 번 중 성공 r 번의 확률은 자리 · 성공 · 실패 세 조각의 곱이다
2020 수능 수학 유형 변형
한 발의 명중률이 1/3인 사격을 5번 할 때 정확히 2번 명중할 확률은?
①40/243
②80/243
③10/243
④40/81
⑤8/81
▸ ② 80/243
1
n = 5, p = 1/3, r = 2 를 공식에 넣는다.
C(5,2) (1/3)2 (2/3)3
2
세 조각을 곱한다.
= 10 × 19 × 827 = 80243
🎯 시험 포인트
①P(X = r) = C(n, r) pʳ(1 − p)ⁿ⁻ʳ
②C(n, r) 은 성공이 놓일 자리를 고르는 수다
③실패 확률 (1 − p) 의 거듭제곱을 빠뜨리지 않는다
④「정확히 r 번」 과 「적어도 r 번」 을 구분하고, 「적어도」 는 여사건으로 계산하면 빠를 때가 많다
⑤두 사건의 곱 P(A)P(B) 를 다루는 독립사건과, 되풀이를 다루는 독립시행을 구별한다
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확률분포

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