독립시행의 확률

Independent Trials

동전을 여러 번 던지면 앞면이 몇 번 나올지는 매번 다르지만, 그 횟수별 확률에는 뚜렷한 규칙이 숨어 있어요. 독립시행은 성공확률이 p로 똑같은 시행을 n번 반복하는 것이고, n번 중 성공이 정확히 r번일 확률은 위치를 고르는 경우의 수와 성공·실패 확률의 곱으로 정해져요. 이 확률들을 성공 횟수별로 모아 보면 가운데가 봉긋한 이항분포 모양이 드러나요. 성공 횟수 r 슬라이더를 움직여 어느 막대가 강조되고 P(X=r)이 어떻게 커졌다 작아지는지 확인해 봐요.

같은 시행을 반복한다

성공 횟수 r2

👀 눈으로 보자

①독립시행은 같은 시행을 매번 독립적으로 반복하는 것

②n번 중 성공 r번의 확률은 막대 하나의 높이

③성공 횟수별 확률을 모으면 이항분포 모양이 된다

독립시행의 확률 공식

독립시행의 확률

P(X=r) = C(n,r) p^r (1−p)^n-r

n번 중 성공 r번: C(n,r)은 성공 위치를 고르는 경우의 수

세 조각의 곱

C(n,r) × p^r × (1−p)^n-r

①위치 선택 C(n,r) ②성공 r번 pʳ ③실패 (n−r)번 (1−p)ⁿ⁻ʳ

독립사건과 무엇이 다른가

🔁 반복 횟수가 핵심

①독립사건은 두 사건의 동시 발생 P(A∩B)=P(A)P(B)

②독립시행은 같은 시행을 n번 반복한 결과의 분포

③반복 횟수 n과 성공 횟수 r이 등장하면 독립시행

직접 구해 보자

예제 1

동전을 4번 던질 때 앞면이 정확히 2번 나올 확률을 구하시오.

n=4, p=1/2, r=2를 공식에 넣는다.

C(4,2) (1/2)² (1/2)²

계산한다.

= 6 × 116 = 38

▸ 3/8

p=1/2면 (1/2)ⁿ이 공통이라 계수 C(n,r)만 따지면 된다.

예제 2

주사위를 3번 던질 때 6의 눈이 정확히 1번 나올 확률을 구하시오.

n=3, p=1/6, r=1.

C(3,1) (1/6)¹ (5/6)²

계산한다.

= 3 × 16 × 2536 = 2572

▸ 25/72

실패확률 (1−p)=5/6의 거듭제곱을 빠뜨리지 말 것.

총정리

핵심 정리

P(X=r) = C(n,r) p^r (1−p)^n-r

반복 n번 중 성공 r번: 위치·성공·실패 세 조각의 곱

2020 수능 수학 유형 변형

한 발의 명중률이 1/3인 사격을 5번 할 때 정확히 2번 명중할 확률은?

①40/243

②80/243

③10/243

④40/81

⑤8/81

▸ ② 80/243

n=5, p=1/3, r=2를 공식에 넣는다.

C(5,2) (1/3)² (2/3)³

계산한다.

= 10 × 19 × 827 = 80243

🎯 시험 포인트

①P(X=r)=C(n,r)pʳ(1−p)ⁿ⁻ʳ

②C(n,r)은 성공 위치 선택

③실패확률 (1−p)의 거듭제곱 필수

④"정확히 r번"과 "적어도 r번"(여사건) 구분

⑤독립사건(P(A)P(B))과 독립시행(반복) 구별