표본평균의 분포

Distribution of Sample Mean

모집단에서 표본을 뽑아 평균을 내는 일을 계속 반복하면, 그 표본평균들도 하나의 분포를 이뤄요. 신기하게도 표본평균의 평균은 모평균 μ 그대로지만, 표준편차는 σ/√n으로 줄어들어서 표본을 키울수록 분포가 모평균 둘레로 좁게 모여요. 폭이 √n에 반비례하니 표본을 4배로 키우면 흩어짐은 절반으로 줄고, n이 충분히 크면 모양은 정규분포에 가까워져요. 표본크기 n 슬라이더를 키우며 표본평균의 분포가 모평균 주위로 홀쭉하게 모이는 모습을 확인해 봐요.

표본을 키우면 평균이 모인다

표본크기 n16

👀 눈으로 보자

①표본평균 X̄도 표본마다 달라지는 확률변수다

②n을 키우면 X̄의 분포가 모평균을 중심으로 점점 좁아진다

③폭은 σ/√n에 비례: n이 4배면 폭은 절반

표본평균의 평균과 표준편차

표본평균의 기댓값·표준편차

E(X̄) = m, σ(X̄) = σ/√n

모평균 m, 모표준편차 σ, 표본크기 n: 평균은 그대로, 표준편차는 1/√n배

정규근사

n이 충분히 크면 X̄ ~ N(m, σ²/n)

모집단이 정규분포가 아니어도 n이 크면 X̄는 정규분포에 가까워진다

√n의 효과

📏 폭은 √n에 반비례

①σ(X̄)=σ/√n이므로 표준편차는 √n에 반비례

②n을 4배로 하면 표준편차는 1/2배

③정밀도를 2배로 하려면 표본을 4배로 늘려야 한다

직접 구해 보자

예제 1

모평균 50, 모표준편차 8인 모집단에서 크기 16의 표본을 뽑을 때 표본평균의 평균과 표준편차를 구하시오.

E(X̄)=m, σ(X̄)=σ/√n에 대입한다.

E(X̄) = 50, σ(X̄) = 8/√16

√16=4로 계산한다.

σ(X̄) = 8/4 = 2

▸ 평균 50, 표준편차 2

평균은 모평균 그대로, 표준편차만 √n으로 나눈다.

예제 2

같은 모집단에서 표본크기를 64로 늘리면 표본평균의 표준편차는 어떻게 되는가?

σ(X̄)=8/√64이다.

√64=8로 계산한다.

σ(X̄) = 8/8 = 1

▸ 1 (n이 4배 → 표준편차 1/2배)

n을 16→64로 4배 하면 표준편차는 2→1로 절반이 된다.

총정리

핵심 정리

E(X̄)=m, σ(X̄)=σ/√n, (n 크면) X̄ ~ N(m, σ²/n)

표본평균은 평균 m, 표준편차 σ/√n인 분포: n 크면 정규분포

2021 수능 수학 유형 변형

모표준편차가 10인 모집단에서 크기 25의 표본을 뽑을 때 표본평균의 표준편차는?

①0.4

②2

③5

④10

⑤50

▸ ② 2

σ(X̄)=σ/√n에 σ=10, n=25를 넣는다.

σ(X̄) = 10/√25

√25=5로 계산한다.

σ(X̄) = 10/5 = 2

🎯 시험 포인트

①E(X̄)=m (모평균 그대로)

②σ(X̄)=σ/√n (√n으로 나눔)

③n 크면 X̄~N(m, σ²/n) 정규근사

④정밀도 2배엔 표본 4배

⑤분산은 V(X̄)=σ²/n임을 혼동 말 것

← 이전

통계적 추정

이 페이지가 도움 됐다면 후원하기