seegongsik
고등학교 2~3학년 (16-18세)

표본평균의 분포

Distribution of Sample Mean

표본을 키우면 평균이 모인다
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👀 눈으로 보자
①표본평균 X̄도 표본마다 달라지는 확률변수다
②n을 키우면 X̄의 분포가 모평균을 중심으로 점점 좁아진다
③폭은 σ/√n에 비례 — n이 4배면 폭은 절반
표본평균의 평균과 표준편차
표본평균의 기댓값·표준편차
E(X̄) = m, σ(X̄) = σ/√n
모평균 m, 모표준편차 σ, 표본크기 n — 평균은 그대로, 표준편차는 1/√n배
정규근사
n이 충분히 크면 X̄ ~ N(m, σ²/n)
모집단이 정규분포가 아니어도 n이 크면 X̄는 정규분포에 가까워진다
√n의 효과
📏 폭은 √n에 반비례
①σ(X̄)=σ/√n이므로 표준편차는 √n에 반비례
②n을 4배로 하면 표준편차는 1/2배
③정밀도를 2배로 하려면 표본을 4배로 늘려야 한다
직접 구해 보자
예제 1
모평균 50, 모표준편차 8인 모집단에서 크기 16의 표본을 뽑을 때 표본평균의 평균과 표준편차를 구하시오.
1
E(X̄)=m, σ(X̄)=σ/√n에 대입한다.
E(X̄) = 50, σ(X̄) = 8/√16
2
√16=4로 계산한다.
σ(X̄) = 8/4 = 2
▸ 평균 50, 표준편차 2
평균은 모평균 그대로, 표준편차만 √n으로 나눈다.
예제 2
같은 모집단에서 표본크기를 64로 늘리면 표본평균의 표준편차는 어떻게 되는가?
1
σ(X̄)=8/√64이다.
2
√64=8로 계산한다.
σ(X̄) = 8/8 = 1
▸ 1 (n이 4배 → 표준편차 1/2배)
n을 16→64로 4배 하면 표준편차는 2→1로 절반이 된다.
총정리
핵심 정리
E(X̄)=m, σ(X̄)=σ/√n, (n 크면) X̄ ~ N(m, σ²/n)
표본평균은 평균 m, 표준편차 σ/√n인 분포 — n 크면 정규분포
2021 수능 수학 유형 변형
모표준편차가 10인 모집단에서 크기 25의 표본을 뽑을 때 표본평균의 표준편차는?
①0.4
②2
③5
④10
⑤50
▸ ② 2
1
σ(X̄)=σ/√n에 σ=10, n=25를 넣는다.
σ(X̄) = 10/√25
2
√25=5로 계산한다.
σ(X̄) = 10/5 = 2
🎯 시험 포인트
①E(X̄)=m (모평균 그대로)
②σ(X̄)=σ/√n (√n으로 나눔)
③n 크면 X̄~N(m, σ²/n) 정규근사
④정밀도 2배엔 표본 4배
⑤분산은 V(X̄)=σ²/n임을 혼동 말 것
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