고등학교 2~3학년 (16-18세)

확률과 통계 표본평균의 분포

Distribution of Sample Mean

모집단에서 크기 n 인 표본을 뽑아 평균을 내는 일을 여러 번 되풀이하면, 그 표본평균들도 하나의 분포를 이뤄요. 표본평균의 평균은 모평균 μ 와 같지만 표준편차는 σ/√n 으로 줄어서, 표본이 클수록 표본평균은 모평균 가까이에 모여요. 폭이 √n 에 반비례하므로 표본을 4 배로 늘리면 흩어진 정도는 절반이 되고, n 이 충분히 크면 모집단의 모양과 상관없이 분포가 정규분포에 가까워져요. 표본크기 n 슬라이더를 키우면 흐린 점선의 모집단 분포에 비해 파란 표본평균의 분포가 μ 둘레로 홀쭉하게 모이고, 그 표준편차가 σ 의 몇 배인지 그림 아래에 적혀요.

표본을 키우면 평균이 모인다

표본크기 n16

👀 그림 읽기

①표본평균 X̄ 도 표본마다 값이 달라지는 확률변수다

②흐린 점선은 모집단의 분포이고, 파란 곡선은 크기 n 인 표본의 평균 X̄ 의 분포다

③n 이 커지면 X̄ 의 분포는 μ 를 중심으로 좁고 높아지며, 색칠한 띠 μ ± σ/√n 안에 X̄ 의 약 68% 가 들어간다

④그림은 모집단을 정규분포로 그렸지만, 중심극한정리에 따르면 모집단이 정규분포가 아니어도 n 이 크면 X̄ 는 정규분포에 가까워진다

표본평균의 평균과 표준편차

표본평균의 기댓값과 표준편차

E(X̄) = μ, σ(X̄) = σ/√n

모평균 μ, 모표준편차 σ, 표본크기 n. 평균은 그대로이고 표준편차는 1/√n 배가 된다

정규분포 근사

n이 충분히 크면 X̄ ~ N(μ, σ²/n)

모집단이 정규분포가 아니어도 n 이 크면 X̄ 는 정규분포에 가까워진다

√n 의 효과

📏 폭은 √n 에 반비례한다

①σ(X̄) = σ/√n 이므로 표준편차는 √n 에 반비례한다

②n 을 4 배로 하면 표준편차는 1/2 배가 된다

③흩어짐을 절반으로 줄이려면 표본을 4 배로 늘려야 하고, 10 분의 1 로 줄이려면 100 배가 필요하다

예제

예제 1

모평균 50, 모표준편차 8인 모집단에서 크기 16의 표본을 뽑을 때 표본평균의 평균과 표준편차를 구하시오.

E(X̄) = μ, σ(X̄) = σ/√n 에 넣는다.

E(X̄) = 50, σ(X̄) = 8/√16

√16 = 4 로 나눈다.

σ(X̄) = 8/4 = 2

▸ 평균 50, 표준편차 2

평균은 모평균 그대로이고, 표준편차만 √n 으로 나눈다.

예제 2

같은 모집단에서 표본크기를 64로 늘리면 표본평균의 표준편차는 어떻게 되는가?

σ(X̄) = 8/√64 이다.

√64 = 8 로 나눈다.

σ(X̄) = 8/8 = 1

▸ 1 (n 이 4 배가 되어 표준편차는 1/2 배)

n 을 16 에서 64 로 4 배 늘리면 표준편차는 2 에서 1 로 절반이 된다.

정리

핵심 정리

E(X̄)=μ, σ(X̄)=σ/√n, (n 크면) X̄ ~ N(μ, σ²/n)

표본평균은 평균 μ, 표준편차 σ/√n 인 분포를 따르고, n 이 크면 정규분포에 가깝다

2021 수능 수학 유형 변형

모표준편차가 10인 모집단에서 크기 25의 표본을 뽑을 때 표본평균의 표준편차는?

①0.4

②2

③5

④10

⑤50

▸ ② 2

σ(X̄) = σ/√n 에 σ = 10, n = 25 를 넣는다.

σ(X̄) = 10/√25

√25 = 5 로 나눈다.

σ(X̄) = 10/5 = 2

🎯 시험 포인트

①E(X̄) = μ 로 모평균과 같다

②σ(X̄) = σ/√n 이므로 √n 으로 나눈다

③n 이 크면 X̄ 는 N(μ, σ²/n) 에 가깝다

④흩어짐을 절반으로 줄이려면 표본을 4 배로 늘린다

⑤분산 V(X̄) = σ²/n 과 표준편차 σ/√n 을 헷갈리지 않는다

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통계적 추정

수열의 극한

마지막 수정 2026-10-17

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