확률의 뜻과 활용

Meaning of Probability

주사위를 던지기 전엔 어떤 눈이 나올지 알 수 없지만, 그 가능성만큼은 숫자로 딱 잡아낼 수 있어요. 확률은 '일어날 법한 정도'를 0과 1 사이 숫자로 나타낸 것이고, 모든 경우가 똑같이 나올 때는 전체 중 원하는 결과가 차지하는 비율로 구해요. 여러 사건을 합치거나 겹칠 때 확률이 어떻게 더해지고 빠지는지도 같은 원리에서 자연스럽게 따라와요. 슬라이더로 사건 A의 원소 수를 늘려 P(A)가 커지는 걸 보고, 벤 다이어그램을 합사건·곱사건·여사건으로 바꿔가며 확인해 봐요.

확률의 직관

🎲 확률이란?

①어떤 실험을 했을 때 특정 결과가 나올 가능성

②모든 가능한 결과 중에서 원하는 결과의 비율

③0 ≤ P(A) ≤ 1, 반드시 일어나면 1, 절대 불가능하면 0

표본공간과 사건

사건 A의 원소 수3

수학적 확률

P(A) = n(A)n(S) = 사건 A의 원소 수표본공간 S의 원소 수

각 근원사건이 일어날 가능성이 같을 때 (고전적 확률)

사건의 연산

벤 다이어그램0합사건

확률의 덧셈정리

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

합사건의 확률 (중복 영역을 한 번 빼줌)

여사건의 확률

P(Aᶜ) = 1 − P(A)

A가 일어나지 않을 확률

배반사건과 독립사건

배반사건

A ∩ B = ∅ → P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

동시에 일어날 수 없는 두 사건 (교집합 없음)

독립사건

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

한 사건이 다른 사건에 영향을 주지 않을 때

⚠️ 배반 ≠ 독립

①배반: 동시에 못 일어남 (A∩B = ∅)

②독립: 서로 영향 없음 (P(A∩B) = P(A)P(B))

③배반이면 오히려 종속 (하나 일어나면 다른 건 불가)

④이 둘을 혼동하면 반드시 틀림!

직접 풀어보기

예제 1

한 개의 주사위를 던질 때, 3의 배수의 눈이 나올 확률을 구하시오.

수학적 확률은 (사건의 경우의 수)/(전체 경우의 수)이다. 3의 배수는 3, 6의 2가지.

P = 2/6

약분한다.

= 1/3

▸ 1/3

수학적 확률 = 사건의 경우의 수 ÷ 전체 경우의 수.

예제 2

1부터 10까지의 자연수 중 하나를 택할 때, 2의 배수 또는 3의 배수일 확률을 구하시오.

덧셈정리로 합사건의 확률을 구한다. 2의 배수 5개, 3의 배수 3개, 6의 배수 1개.

P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)

대입한다.

= 5/10 + 3/10 − 1/10 = 7/10

▸ 7/10

합사건은 덧셈정리로 교집합을 한 번 빼준다.

총정리

확률 핵심 공식

P(A) = n(A)n(S), P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

수학적 확률과 덧셈정리

고2 내신 유형

3개의 동전을 동시에 던질 때, 적어도 한 개는 앞면이 나올 확률은?

①1/2

②5/8

③3/4

④7/8

⑤1

▸ ④ 7/8

"적어도 하나"는 여사건(모두 뒷면)을 이용한다.

P(적어도 한 개 앞면) = 1 − P(모두 뒷면)

모두 뒷면일 확률은 (1/2)³이다.

= 1 − (1/2)³ = 1 − 1/8 = 7/8

🎯 시험 포인트

①P(A) = n(A)/n(S): 고전적 확률

②덧셈정리: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)

③여사건: P(Aᶜ) = 1 − P(A) (적어도 문제!)

④배반 ≠ 독립 구별

⑤독립: P(A∩B) = P(A)P(B)