seegongsik
고등학교 2~3학년 (16-18세)

확률과 통계 확률의 뜻과 활용

Meaning of Probability

주사위를 던지기 전에는 어떤 눈이 나올지 알 수 없지만, 그 가능성은 수 하나로 정확히 나타낼 수 있어요. 일어날 가능성의 정도를 0 부터 1 사이의 수로 쓴 것이 확률이고, 모든 결과가 똑같은 정도로 일어날 때는 전체 경우의 수 가운데 원하는 경우의 수가 차지하는 비율로 구해요. 사건을 합치거나 겹치거나 뒤집을 때 확률이 어떻게 더해지고 빠지는지도 같은 생각에서 이어져요. 사건 A 의 원소 수 슬라이더를 움직이면 A 를 감싼 칸과 P(A) 가 함께 커지고, 벤 다이어그램 슬라이더로 합사건 · 곱사건 · 여사건을 바꾸면 각각의 식이 그림 아래에 적혀요.

확률의 직관

🎲 확률이란
①어떤 시행에서 한 사건이 일어날 가능성의 정도를 수로 나타낸 것이다
②모든 결과가 같은 정도로 일어나면, 전체 경우의 수 가운데 그 사건의 경우의 수가 차지하는 비율이다
③0 ≤ P(A) ≤ 1 이고, 반드시 일어나는 사건은 1, 절대 일어나지 않는 사건은 0 이다

표본공간과 사건

3
수학적 확률
P(A) = n(A)n(S) = 사건 A의 원소 수표본공간 S의 원소 수
각 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같을 때

사건의 연산

합사건
확률의 덧셈정리
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
합사건의 확률. A 와 B 를 더하면 겹친 부분이 두 번 세어지므로 한 번 뺀다
여사건의 확률
P(Aᶜ) = 1 − P(A)
A 가 일어나지 않을 확률

배반사건과 독립사건

배반사건
A ∩ B = ∅ → P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
함께 일어날 수 없는 두 사건. 겹친 부분이 없어 확률을 그냥 더한다
독립사건
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
한 사건이 일어나는지가 다른 사건의 확률을 바꾸지 않을 때
⚠️ 배반과 독립은 다르다
①배반은 함께 일어날 수 없다는 뜻이다 (A ∩ B = ∅)
②독립은 서로의 확률에 영향을 주지 않는다는 뜻이다 (P(A ∩ B) = P(A)P(B))
③확률이 0 이 아닌 두 사건이 배반이면, 하나가 일어나는 순간 다른 하나는 일어날 수 없으므로 오히려 독립이 아니다
④「적어도 하나」 를 묻는 문제는 여사건 「하나도 없음」 을 1 에서 빼서 푼다

예제

예제 1
주사위 한 개를 던질 때, 3 의 배수의 눈이 나올 확률을 구하시오.
1
전체 6 가지 가운데 3 의 배수는 3 과 6 의 2 가지다.
P = 2/6
2
약분한다.
= 1/3
▸ 1/3
근원사건 6 개가 모두 같은 정도로 일어나므로, 경우의 수의 비로 확률을 구할 수 있다.
예제 2
1 부터 10 까지의 자연수 가운데 하나를 고를 때, 2 의 배수 또는 3 의 배수일 확률을 구하시오.
1
2 의 배수 5 개와 3 의 배수 3 개를 더하면, 둘 다인 6 의 배수 1 개가 두 번 세어진다.
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
2
덧셈정리에 넣어 겹친 1 개를 뺀다.
= 5/10 + 3/10 − 1/10 = 7/10
▸ 7/10
5 + 3 = 8 로 답하면 6 을 두 번 센 것이다. 겹친 부분을 한 번 빼야 7 이 된다.

정리

확률의 핵심 식
P(A) = n(A)n(S), P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
수학적 확률과 확률의 덧셈정리
고2 내신 유형
동전 3 개를 동시에 던질 때, 적어도 한 개는 앞면이 나올 확률은?
①1/2
②5/8
③3/4
④7/8
⑤1
▸ ④ 7/8
1
「적어도 한 개」 는 여사건 「모두 뒷면」 을 이용한다.
P(적어도 한 개 앞면) = 1 − P(모두 뒷면)
2
모두 뒷면일 확률은 (1/2)³ = 1/8 이다.
= 1 − (1/2)³ = 1 − 1/8 = 7/8
🎯 시험 포인트
①P(A) = n(A)/n(S) 는 근원사건이 모두 같은 정도로 일어날 때 쓴다
②덧셈정리 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) 로 겹친 부분을 한 번 뺀다
③「적어도」 문제는 여사건 P(Aᶜ) = 1 − P(A) 로 푼다
④배반과 독립을 구별한다
⑤독립이면 P(A ∩ B) = P(A)P(B) 다
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