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고등학교 2~3학년 (16-18세)

확률과 통계 이항정리

Binomial Theorem

(a + b)ⁿ 을 전개하면 aⁿ, aⁿ⁻¹b, … 같은 항마다 계수가 붙는데, 이 계수는 n 개의 괄호 가운데 어느 r 개에서 b 를 고르느냐를 세는 조합 C(n, r) 이에요. 그래서 계수를 차례로 늘어놓으면 파스칼의 삼각형 n 번째 줄이 되고, 줄 안의 각 수는 바로 위 두 수의 합이 돼요. 특정 항의 계수가 필요할 때는 전부 전개하지 않아도 되고, 일반항 C(n, r) aⁿ⁻ʳbʳ 에서 지수가 맞는 r 하나만 찾으면 돼요. 지수 n 슬라이더를 움직이면 삼각형의 n 번째 줄이 밝아지고, 그 줄의 수가 아래 전개식의 계수로 그대로 옮겨지는 모습이 함께 보여요.

계수는 조합에서 나온다

4
👀 삼각형과 전개식
①(a + b)ⁿ 은 (a + b) 를 n 번 곱한 것이라, 괄호마다 a 와 b 가운데 하나를 골라 곱한 항이 빠짐없이 나온다
②b 를 r 개 고르는 방법이 C(n, r) 가지이므로 aⁿ⁻ʳbʳ 의 계수는 C(n, r) 이다
③이 계수를 n = 0 부터 줄마다 늘어놓은 것이 파스칼의 삼각형이다
④그림의 두 선처럼 각 수는 바로 위 두 수의 합이며, 이것은 C(n, r) = C(n − 1, r − 1) + C(n − 1, r) 과 같은 말이다

이항정리

이항정리
(a+b)n = ∑r=0n C(n,r) an-r br
C(n, r) 은 n 개의 괄호에서 b 를 r 개 고르는 경우의 수
일반항
Tr+1 = C(n,r) an-r br
r = 0, 1, …, n 일 때 (r + 1) 번째 항이며, 특정 항의 계수를 바로 구할 때 쓴다

특정 항의 계수 찾기

🎯 지수부터 맞춘다
①구하려는 항의 지수가 나오도록 r 을 먼저 정한다
②그 r 을 일반항에 넣어 계수를 계산한다
③상수항은 문자의 지수가 0 이 되는 r 을 찾는다
④a, b 자리에 2x 나 −1 처럼 수가 붙은 식이 오면 그 수의 거듭제곱도 계수에 들어간다

예제

예제 1
(x + 2)⁴ 의 전개식에서 x² 의 계수를 구하시오.
1
일반항은 C(4, r) x⁴⁻ʳ 2ʳ 이다. x² 이 되려면 4 − r = 2 이므로 r = 2 이다.
2
r = 2 를 넣어 계수를 계산한다.
C(4,2)·22 = 6·4 = 24
▸ 24
문자의 지수를 원하는 차수와 같게 놓고 r 부터 정하면 나머지는 계산뿐이다.
예제 2
(2x − 1)⁵ 의 전개식에서 x³ 의 계수를 구하시오.
1
일반항은 C(5, r) (2x)⁵⁻ʳ (−1)ʳ 이다. x³ 이 되려면 5 − r = 3 이므로 r = 2 이다.
2
r = 2 를 넣으면 2 의 세제곱과 −1 의 제곱이 함께 곱해진다.
C(5,2)·23·(−1)2 = 10·8·1 = 80
▸ 80
괄호 안의 2 와 −1 의 거듭제곱을 빠뜨리면 답을 10 으로 잘못 낸다.

정리

핵심 정리
(a+b)n = ∑ C(n,r) an-r br, 일반항 C(n,r) an-r br
계수는 조합 C(n, r) 이고, 특정 항은 일반항에서 r 을 맞춰 구한다
2021 수능 수학 유형 변형
(x + 1/x)⁶ 의 전개식에서 상수항을 구하시오.
①6
②15
③20
④30
⑤45
▸ ③ 20
1
일반항은 C(6, r) x⁶⁻ʳ (1/x)ʳ = C(6, r) x⁶⁻²ʳ 이다.
2
상수항은 x 의 지수가 0 이므로 6 − 2r = 0 에서 r = 3 이다.
C(6,3) = 20
🎯 시험 포인트
①(a + b)ⁿ 의 계수는 조합 C(n, r) 이다
②특정 항은 일반항 C(n, r) aⁿ⁻ʳbʳ 에서 지수를 맞춰 r 을 정한다
③상수항은 문자의 지수가 0 인 r 이다
④괄호 안 상수의 거듭제곱과 부호를 계수에 함께 넣는다
⑤파스칼의 삼각형은 작은 n 의 계수를 빠르게 읽는 표다
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확률의 뜻과 활용

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