확률과 통계 이항정리

Binomial Theorem

(a+b)ⁿ을 전개하면 각 항의 계수가 어디서 오는지 궁금하죠? 놀랍게도 그 계수는 전부 조합 C(n, r)이고, 파스칼의 삼각형의 n번째 줄과 똑같아요. 그래서 aⁿ⁻ʳbʳ 항의 계수는 C(n, r)이라는 일반항 하나로 정리되고, 원하는 특정 항의 계수도 지수만 맞추면 바로 찾을 수 있어요. 지수 n 슬라이더를 움직이면 파스칼의 삼각형에서 n번째 줄이 밝게 켜지고, 그 줄이 곧 전개식의 계수가 되는 게 보여요.

계수는 조합에서 나온다

지수 n4

👀 눈으로 보자

①(a+b)ⁿ을 전개하면 각 항의 계수가 조합 C(n,r)이다

②이 계수들을 줄 세우면 파스칼의 삼각형이다

③각 수는 바로 위 두 수의 합: 조합의 성질과 같다

이항정리

(a+b)ⁿ = ∑_r=0ⁿ C(n,r) a^n-r b^r

C(n,r)은 조합: n개 중 b를 r번 고르는 경우의 수

일반항

T_r+1 = C(n,r) a^n-r b^r

r=0,1,…,n에서 r+1번째 항: 특정 항을 콕 집어 계산할 때 쓴다

특정 항의 계수 찾기

🎯 지수를 맞춘다

①원하는 문자의 지수가 되도록 r을 정한다

②일반항에 그 r을 넣어 계수를 계산한다

③상수항은 문자의 지수가 0이 되는 r을 찾는다

직접 구해 보자

예제 1

(x+2)⁴의 전개식에서 x²의 계수를 구하시오.

일반항은 C(4,r) x^4-r 2^r. x²이려면 4−r=2, 즉 r=2.

r=2를 넣어 계수를 계산한다.

C(4,2)·2² = 6·4 = 24

▸ 24

"문자의 지수 = 원하는 차수"로 r을 먼저 정하는 것이 핵심.

예제 2

(2x−1)⁵의 전개식에서 x³의 계수를 구하시오.

일반항은 C(5,r) (2x)^5-r (−1)^r. x³이려면 5−r=3, 즉 r=2.

r=2를 넣는다.

C(5,2)·2³·(−1)² = 10·8·1 = 80

▸ 80

계수 안의 상수(2, −1)의 거듭제곱까지 빠뜨리지 말 것.

총정리

핵심 정리

(a+b)ⁿ = ∑ C(n,r) a^n-r b^r, 일반항 C(n,r) a^n-r b^r

계수는 조합 C(n,r): 특정 항은 일반항에서 r을 맞춰 계산

2021 수능 수학 유형 변형

(x + 1/x)⁶의 전개식에서 상수항을 구하시오.

①6

②15

③20

④30

⑤45

▸ ③ 20

일반항은 C(6,r) x^6-r (1/x)^r = C(6,r) x^6-2r.

상수항은 지수가 0, 즉 6−2r=0에서 r=3.

C(6,3) = 20

🎯 시험 포인트

①(a+b)ⁿ 계수는 조합 C(n,r)

②일반항 C(n,r)aⁿ⁻ʳbʳ로 특정 항 계산

③상수항은 문자 지수가 0인 r

④계수 속 상수의 거듭제곱 주의

⑤파스칼 삼각형은 계수의 빠른 표. nCr 정의는 조합 장에서