조건부확률

Conditional Probability

이미 어떤 일이 일어났다는 걸 알게 되면, 같은 사건이라도 확률이 달라져요. 조건부확률은 B가 일어났다는 조건 아래에서 표본공간을 B로 좁혀 A를 다시 보는 것이고, 여기서 곱셈정리와 베이즈 정리까지 자연스럽게 이어져요. 특히 베이즈 정리는 결과를 보고 원인을 거꾸로 추정하게 해줘서, 유병률이 낮으면 양성이 나와도 실제 확률은 생각보다 낮다는 반전을 설명해요. P(A)·P(B)·P(A∩B) 슬라이더를 움직여 P(A|B)가 어떻게 변하는지 보고, 유병률 슬라이더로 검사 양성의 진짜 의미를 확인해 봐요.

조건이 바꾸는 확률

🔍 조건부확률이란?

①B가 이미 일어났다는 조건 아래 A의 확률

②표본공간이 S에서 B로 축소

③B라는 '새 안경'을 끼고 A를 다시 봄

P(A|B) 시각화

P(A)×104

P(B)×105

P(A∩B)×102

조건부확률 정의

P(A|B) = P(A ∩ B)P(B)

B가 일어났을 때 A가 일어날 확률 (P(B) > 0)

확률의 곱셈정리

P(A ∩ B) = P(B) × P(A|B) = P(A) × P(B|A)

두 사건이 동시에 일어날 확률

베이즈 정리

질병 유병률 (%)1%

🏥 의료 검사의 역설

①유병률 1%에서 양성이 나와도 실제 질병 확률은 낮을 수 있음

②검사 양성 → 진짜 양성? 이 질문이 베이즈 정리

③사전확률(유병률)이 낮으면 사후확률도 생각보다 낮다

베이즈 정리

P(A|B) = P(B|A) × P(A)P(B)

원인의 확률을 결과로부터 역추정

직접 풀어보기

예제 1

P(A) = 1/2, P(A∩B) = 1/3일 때, 조건부확률 P(B|A)를 구하시오.

조건부확률의 정의를 쓴다.

P(B|A) = P(A∩B)/P(A)

대입한다.

= (1/3)/(1/2) = 2/3

▸ 2/3

조건부확률은 A가 일어났다는 조건에서의 B의 확률이다.

예제 2

어느 반 30명 중 안경을 쓴 학생이 18명, 그중 남학생이 12명이다. 안경 쓴 학생 한 명을 뽑을 때 남학생일 확률을 구하시오.

표본공간을 조건(안경 쓴 18명)으로 좁힌다.

P(남|안경) = (안경 쓴 남학생)/(안경 쓴 학생)

대입한다.

= 12/18 = 2/3

▸ 2/3

조건부확률은 표본공간을 조건으로 좁혀 계산한다.

총정리

조건부확률 핵심

P(A|B) = P(A ∩ B)P(B), P(A|B) = P(B|A)P(A)P(B)

조건부확률 정의와 베이즈 정리

교육청 학력평가 유형

두 사건 A, B에 대하여 P(A) = 0.4, P(B|A) = 0.5일 때, P(A∩B)의 값은?

①0.1

②0.2

③0.3

④0.4

⑤0.5

▸ ② 0.2

확률의 곱셈정리를 쓴다.

P(A∩B) = P(A) × P(B|A)

대입한다.

= 0.4 × 0.5 = 0.2

🎯 시험 포인트

①조건부확률: P(A|B) = P(A∩B)/P(B)

②곱셈정리: P(A∩B) = P(B)·P(A|B)

③독립이면 P(A|B) = P(A)

④베이즈: 결과→원인 역추적

⑤트리 다이어그램으로 전체확률 분해