seegongsik
고등학교 2~3학년 (16-18세)

확률과 통계 조건부확률

Conditional Probability

어떤 일이 이미 일어났다는 것을 알면, 같은 사건이라도 확률이 달라져요. 조건부확률 P(A|B) 는 B 가 일어났다는 조건 아래에서 표본공간을 B 로 좁힌 뒤 그 안에서 A 가 차지하는 비율을 다시 재는 것이고, 확률의 곱셈정리와 베이즈 정리가 여기서 이어져요. 베이즈 정리는 결과를 보고 원인의 확률을 거꾸로 따지는 식이라, 드문 병이라면 검사에서 양성이 나와도 실제로 병이 있을 확률은 생각보다 낮게 나와요. 첫 그림에서는 A · B · A∩B 의 칸 수 슬라이더로 표본공간 10 칸을 나누고 B 만 떼어 크게 보여 주며, 둘째 그림에서는 유병률 슬라이더를 움직이면 양성인 사람 가운데 실제 환자의 비율이 함께 바뀌어요.

조건이 바꾸는 확률

🔍 조건부확률이란
①사건 B 가 일어났다는 조건 아래에서 사건 A 가 일어날 확률을 P(A|B) 로 쓴다
②조건을 알면 표본공간이 S 전체에서 B 로 줄어든다
③그래서 분모는 P(B) 가 되고, 분자에는 B 안에 있는 A 의 부분 P(A ∩ B) 가 온다

표본공간을 B 로 좁히기

4
5
2
조건부확률의 정의
P(A|B) = P(A ∩ B)P(B)
B 가 일어났을 때 A 가 일어날 확률 (P(B) > 0)
확률의 곱셈정리
P(A ∩ B) = P(B) × P(A|B) = P(A) × P(B|A)
두 사건이 함께 일어날 확률은 한 사건의 확률에 조건부확률을 곱해 구한다

베이즈 정리

1%
🏥 양성이 나와도 확률이 낮은 이유
①이 검사는 환자의 95% 를 양성으로, 건강한 사람의 90% 를 음성으로 판정한다
②유병률이 1% 이면 1000 명 가운데 환자 10 명에서 양성 9.5 명, 건강한 990 명에서 잘못된 양성 99 명이 나온다
③양성 108.5 명 가운데 실제 환자는 9.5 명뿐이라 P(D|+) 는 약 8.8% 다
④이처럼 사전확률(유병률)이 낮으면 양성 판정 뒤의 확률(사후확률)도 낮게 나온다
⑤분모 P(+) 는 두 갈래를 더한 전체 확률 P(+|D)P(D) + P(+|Dᶜ)P(Dᶜ) 다
베이즈 정리
P(A|B) = P(B|A) × P(A)P(B)
결과 B 를 보고 원인 A 의 확률을 거꾸로 구한다

예제

예제 1
P(A) = 1/2, P(A∩B) = 1/3일 때, 조건부확률 P(B|A)를 구하시오.
1
조건이 A 이므로 분모에 P(A) 를 둔다.
P(B|A) = P(A∩B)/P(A)
2
주어진 값을 넣어 계산한다.
= (1/3)/(1/2) = 2/3
▸ 2/3
구하는 것이 P(B|A) 이므로 조건은 A 다. 분모를 P(B) 로 두면 틀린다.
예제 2
어느 반 30명 중 안경을 쓴 학생이 18명, 그중 남학생이 12명이다. 안경 쓴 학생 한 명을 뽑을 때 남학생일 확률을 구하시오.
1
조건이 안경을 쓴 학생이므로 표본공간을 그 18 명으로 좁힌다.
P(남|안경) = (안경 쓴 남학생)/(안경 쓴 학생)
2
18 명 가운데 남학생 12 명이 차지하는 비율을 구한다.
= 12/18 = 2/3
▸ 2/3
반 전체 30 명은 이 문제에서 쓰이지 않는다. 조건이 표본공간을 18 명으로 바꾸기 때문이다.

정리

조건부확률의 핵심
P(A|B) = P(A ∩ B)P(B), P(A|B) = P(B|A)P(A)P(B)
조건부확률의 정의와 베이즈 정리
교육청 학력평가 유형
두 사건 A, B에 대하여 P(A) = 0.4, P(B|A) = 0.5일 때, P(A∩B)의 값은?
①0.1
②0.2
③0.3
④0.4
⑤0.5
▸ ② 0.2
1
두 사건이 함께 일어날 확률이므로 곱셈정리를 쓴다.
P(A∩B) = P(A) × P(B|A)
2
값을 넣어 곱한다.
= 0.4 × 0.5 = 0.2
🎯 시험 포인트
①P(A|B) = P(A ∩ B) ÷ P(B) 이고, 분모에는 조건이 된 사건이 온다
②곱셈정리 P(A ∩ B) = P(B) P(A|B) 로 두 사건이 함께 일어날 확률을 구한다
③A 와 B 가 독립이면 P(A|B) = P(A) 다
④P(A|B) 와 P(B|A) 는 일반적으로 다르다
⑤나무그림에서는 갈래를 따라 곱하고, 같은 결과에 이르는 갈래끼리는 더한다
← 이전
확률의 뜻과 활용
다음 →
독립시행의 확률

마지막 수정

이 페이지가 도움 됐다면 후원하기