확률과 통계 조건부확률

Conditional Probability

이미 어떤 일이 일어났다는 걸 알게 되면, 같은 사건이라도 그 확률이 달라져요. 조건부확률은 B가 일어났다는 조건 아래에서 표본공간을 B로 좁힌 뒤 A를 다시 보는 것이고, 곱셈정리와 베이즈 정리도 여기서 이어져요. 베이즈 정리에 따르면 결과를 보고 원인을 거꾸로 추정할 수 있어서, 유병률이 낮으면 양성이 나와도 실제 확률은 생각보다 낮아질 수 있어요. P(A)·P(B)·P(A∩B) 슬라이더를 움직여 P(A|B)가 어떻게 변하는지 보고, 유병률 슬라이더로는 검사 양성이 실제로 무엇을 뜻하는지도 확인해 봐요.

조건이 바꾸는 확률

🔍 조건부확률이란?

①B가 이미 일어났다는 조건 아래 A의 확률

②표본공간이 S에서 B로 축소

③B라는 '새 안경'을 끼고 A를 다시 봄

P(A|B) 시각화

P(A)×104

P(B)×105

P(A∩B)×102

조건부확률 정의

P(A|B) = P(A ∩ B)P(B)

B가 일어났을 때 A가 일어날 확률 (P(B) > 0)

확률의 곱셈정리

P(A ∩ B) = P(B) × P(A|B) = P(A) × P(B|A)

두 사건이 동시에 일어날 확률

베이즈 정리

질병 유병률 (%)1%

🏥 의료 검사의 역설

①유병률이 낮을 때 양성이 나와도 실제 질병 확률은 낮을 수 있음

②검사 양성 → 진짜 양성? 이 질문이 베이즈 정리

③사전확률(유병률)이 낮으면 사후확률도 생각보다 낮다

④민감도 0.95, 특이도 0.90 고정. 유병률 슬라이더는 1~20

⑤전체확률 P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|Aᶜ)P(Aᶜ)

베이즈 정리

P(A|B) = P(B|A) × P(A)P(B)

원인의 확률을 결과로부터 역추정

직접 풀어보기

예제 1

P(A) = 1/2, P(A∩B) = 1/3일 때, 조건부확률 P(B|A)를 구하시오.

조건부확률의 정의를 쓴다.

P(B|A) = P(A∩B)/P(A)

대입한다.

= (1/3)/(1/2) = 2/3

▸ 2/3

조건부확률은 A가 일어났다는 조건에서의 B의 확률이다.

예제 2

어느 반 30명 중 안경을 쓴 학생이 18명, 그중 남학생이 12명이다. 안경 쓴 학생 한 명을 뽑을 때 남학생일 확률을 구하시오.

표본공간을 조건(안경 쓴 18명)으로 좁힌다.

P(남|안경) = (안경 쓴 남학생)/(안경 쓴 학생)

대입한다.

= 12/18 = 2/3

▸ 2/3

조건부확률은 표본공간을 조건으로 좁혀 계산한다.

총정리

조건부확률 핵심

P(A|B) = P(A ∩ B)P(B), P(A|B) = P(B|A)P(A)P(B)

조건부확률 정의와 베이즈 정리

교육청 학력평가 유형

두 사건 A, B에 대하여 P(A) = 0.4, P(B|A) = 0.5일 때, P(A∩B)의 값은?

①0.1

②0.2

③0.3

④0.4

⑤0.5

▸ ② 0.2

확률의 곱셈정리를 쓴다.

P(A∩B) = P(A) × P(B|A)

대입한다.

= 0.4 × 0.5 = 0.2

🎯 시험 포인트

①조건부확률: P(A|B) = P(A∩B)/P(B)

②곱셈정리: P(A∩B) = P(B)·P(A|B)

③독립이면 P(A|B) = P(A)

④베이즈: 결과→원인 역추적

⑤트리 다이어그램으로 전체확률 분해