Permutation
순열은 순서까지 따지는 선택이에요. 똑같은 세 사람을 뽑아도 1등, 2등, 3등 어느 자리에 놓느냐가 달라지면 서로 다른 경우로 세는 게 핵심이에요. 그래서 첫 자리는 n가지, 그다음은 한 개 뺀 (n-1)가지처럼 선택지가 하나씩 줄어들고, 이걸 r번 곱하면 nPr이 돼요. 위쪽 슬라이더로 n과 r을 움직이면 자리마다 선택지가 줄어들고 nPr 값이 보이며, 원탁 슬라이더로는 회전하면 같아지는 원순열이 보여요.
같은 사람들을 고르더라도 자리를 매기면 경우가 늘어난다. 순열은 그 자리 순서까지 구분해 세는 이름이고, 기호 nPr 은 n 개 중에서 r 자리를 앞에서부터 채울 때 남는 개수를 곱한 값이다. 첫 자리는 n, 다음은 n − 1, r 번째까지 이렇게 줄어드는 곱이 공식 n! / (n − r)! 과 같다. 원탁에서는 전체를 돌려도 같은 앉음이 되므로, n 가지 회전을 하나로 보아 (n − 1)! 이 된다. 모두 일렬로 세우면 r = n 이라 n! 이고, 같은 것이 섞여 있으면 전체를 그 반복의 계승으로 나눈다. 0! = 1 인 것도 이 공식들이 빈 곱을 1 로 두기 때문이에요.
위쪽 그림에는 전체 n 개의 공이 번호와 함께 놓여 있고, 앞에서 r 개만 색이 칠해져 있다. 아래에는 r 개의 칸이 1번째부터 이어지고, 칸마다 남은 선택 수 n, n − 1, … 가 적혀 있다. 점선은 위 공과 아래 칸을 잇고, 맨 아래에는 nPr 을 그 곱으로 풀어 쓴 식이 있다. n 은 2 부터 8, r 은 1 부터 n 까지이며, 처음 값은 n = 5, r = 3 이다. 원탁 그림에는 고른 인원만큼 색 공이 원에 놓이고, 맨 위 자리 곁에 「고정」이라고 적혀 있다. 아래 식에는 (n − 1)! 의 값이 적혀 있고, 원탁 인원은 3 부터 7 까지이며 처음 값은 4 예요.
원탁에 n 명을 앉히는 일을 일렬의 n! 과 같다고 쓰면, 한 바퀴 돌린 앉음을 다른 경우로 중복해서 센다. 회전이 같아 보이는 자리를 하나로 묶으려면 한 사람을 고정한 뒤 나머지만 나열해야 하고, 그때 값이 (n − 1)! 이다. 줄을 세우는 문제에서 순서만 다른 묶음을 하나로 보는 기호를 쓰면, 앞뒤가 바뀐 줄을 빼 버려 값이 작아진다. 이웃해야 하는 두 사람은 먼저 한 덩어리로 본 다음, 덩어리 안의 앞뒤까지 곱에 넣는다. 같은 것이 있는 나열에서 분모를 빼먹으면 구별되지 않는 자리를 다른 경우로 세게 돼요.