순열은 고른 것을 어떤 순서로 늘어놓는지까지 따지는 선택이에요.
같은 세 사람을 뽑아도 1등 · 2등 · 3등 자리에 누가 서느냐가 바뀌면 다른 경우로 세요.
그래서 첫 자리에는 n 가지, 다음 자리에는 하나 줄어든 n − 1 가지가 남고, 이렇게 r 자리까지 곱한 값이 ₙPᵣ 이 돼요.
위의 n, r 슬라이더를 움직이면 자리마다 남은 선택 수와 그 곱이 바로 보이고, 원탁 슬라이더로는 돌리면 같아지는 원순열의 수를 셀 수 있어요.
순서가 있는 선택
같은 사람들을 고르더라도 자리를 매기면 경우가 늘어난다. 순열은 그 자리의 순서까지 구분해 센 수이고, ₙPᵣ 은 n 개 가운데 r 자리를 앞에서부터 채울 때 자리마다 남은 개수를 곱한 값이다. 첫 자리는 n, 다음은 n − 1 로 하나씩 줄어 r 번째 자리까지 가는 곱은 n! ÷ (n − r)! 과 같다. 모두 일렬로 세우는 경우는 r = n 이라 n! 이고, 같은 것이 섞여 있으면 구별되지 않는 자리 바꿈만큼 나눠야 한다. 원탁에서는 모두가 한 칸씩 옮겨 앉아도 같은 앉음이므로 n 가지 회전을 하나로 보아 (n − 1)! 이 된다. 0! = 1 로 정하는 것도 r = n 일 때 이 공식이 그대로 맞게 하려는 약속이다.
🎯 순열이란
①서로 다른 n 개에서 r 개를 골라 순서를 정해 늘어놓는 경우의 수를 ₙPᵣ 로 쓴다
②1등 · 2등 · 3등을 뽑을 때처럼 누가 어느 자리에 서는지가 결과를 바꾼다
③같은 세 사람이라도 늘어선 순서가 다르면 다른 경우다
④순서를 따지지 않는 조합은 다음 장에서 다룬다
자리마다 세기
5
3
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n 개에서 r 개를 골라 1번째 자리부터 채울 때 자리마다 남은 선택 수
위쪽에는 번호가 붙은 공 n 개가 놓여 있고, 앞의 r 개만 색이 칠해져 있다. 아래에는 1번째부터 r 번째까지의 칸이 이어지며, 칸마다 그 자리에서 고를 수 있는 남은 개수 n, n − 1, … 이 적혀 있다. 점선은 위의 공과 아래 칸을 잇고, 맨 아래 줄에는 ₙPᵣ 을 그 곱으로 풀어 쓴 식이 있다. n 은 2 부터 8, r 은 1 부터 n 까지 움직이며 처음 값은 n = 5, r = 3 이다. 원탁 그림에는 사람 수만큼 색 공이 둘러앉고, 자리를 고정한 1번 공에 「고정」 표시가 붙는다. 그림 아래에는 일렬로 세운 수 n! 을 회전 수 n 으로 나눠 (n − 1)! 이 되는 계산이 적히며, 원탁 인원은 3 부터 7 까지이고 처음 값은 4 다.
💡 곱의 법칙
①첫 번째 자리에는 n 가지를 고를 수 있다
②두 번째 자리에는 하나가 이미 쓰였으므로 n − 1 가지가 남는다
③이렇게 자리마다 하나씩 줄어 r 번째 자리에는 n − r + 1 가지가 남는다
④모두 곱하면 n × (n − 1) × … × (n − r + 1) 이다
순열의 수
nPr = n!(n-r)!
n 개에서 r 개를 골라 순서대로 늘어놓는 경우의 수
특별한 순열
원탁에 n 명을 앉히는 수를 일렬의 n! 로 쓰면, 한 칸씩 돌려 앉은 같은 앉음을 n 번씩 다른 경우로 센다. 회전으로 겹치는 앉음을 하나로 묶으려면 한 사람을 고정하고 나머지 n − 1 명만 늘어놓아야 하고, 그 값이 (n − 1)! 이다. 줄을 세우는 문제에 순서를 지우는 조합을 쓰면 앞뒤가 바뀐 줄이 빠져 값이 작게 나온다. 이웃해야 하는 두 사람은 먼저 한 덩어리로 묶어 늘어놓고, 덩어리 안에서 둘이 자리를 바꾸는 2! 까지 곱해야 한다. 같은 것이 있는 나열에서 분모를 빠뜨리면 구별되지 않는 자리 바꿈을 다른 경우로 세게 된다.
n 개를 모두 늘어놓기
nPn = n!
n 개를 모두 일렬로 세우는 경우의 수
같은 것이 있는 순열
n!p! q! r!
n 개 가운데 같은 것이 각각 p, q, r 개씩 있을 때. 같은 것끼리 자리를 바꿔도 달라지지 않으므로 그 수만큼 나눈다
원순열
4
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원탁에 n 명이 앉는 원순열과, 일렬의 수를 회전 수로 나누는 계산
🔄 원순열의 핵심
①원형으로 앉으면 모두가 한 칸씩 옮겨 앉아도 같은 앉음이다
②그래서 한 사람의 자리를 고정하고 나머지만 늘어놓는다
③n 명의 원순열의 수는 (n − 1)! 이다
④일렬로 세운 n! 가지가 회전 n 가지씩 같은 앉음으로 겹치므로 n! ÷ n = (n − 1)! 로 생각해도 된다
원순열의 수
(n-1)!
n 개를 원형으로 늘어놓는 경우의 수
예제
예제 1
서로 다른 5개에서 2개를 택해 일렬로 나열하는 경우의 수 ₅P₂를 구하시오.
1
첫 자리 5 가지와 둘째 자리 4 가지를 곱한다.
₅P₂ = 5 × 4
2
곱을 계산한다.
= 20
▸ 20
₅P₂ = 20 은 ₅C₂ = 10 의 2 배다. 고른 두 개를 늘어놓는 순서가 2! = 2 가지이기 때문이다.
예제 2
5명을 일렬로 세울 때, 특정한 2명이 이웃하도록 세우는 경우의 수를 구하시오.
1
이웃할 2명을 한 덩어리로 묶으면 4 개를 일렬로 세우는 4! 가지가 된다.
묶음 배열 4! × 내부 순서 2!
2
덩어리 안에서 두 사람이 자리를 바꾸는 2! 를 곱한다.
= 24 × 2 = 48
▸ 48
이웃 조건은 묶어서 늘어놓은 뒤, 묶음 안의 순서를 곱한다.
정리
순열의 수
nPr = n!(n-r)! = n(n-1)(n-2)···(n-r+1)
순서가 결과를 바꾸는 선택의 경우의 수
교육청 학력평가 유형
5개의 숫자 1, 2, 3, 4, 5에서 서로 다른 3개를 뽑아 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수는?