seegongsik
내 단어장
고등학교 2~3학년 (16-18세)

정적분의 활용

Applications of Definite Integrals

정적분은 단순히 넓이만 구하는 도구가 아니에요. 잘게 쪼개서 더한다는 똑같은 아이디어 하나로 두 곡선 사이의 넓이, 회전체의 부피, 속도 그래프로부터 이동 거리까지 전부 구할 수 있어요. 겉보기엔 서로 다른 문제 같아도 결국 모두 정적분 하나로 이어진다는 게 이 단원의 핵심이에요. 하한 a와 상한 b 슬라이더를 움직여서 두 곡선 사이의 색칠된 영역과 그 넓이 값이 어떻게 달라지는지 확인해 봐요.

두 곡선 사이의 넓이
📐 곡선 사이 넓이의 핵심
①두 함수 f(x), g(x) 사이의 넓이 = ∫|f(x) - g(x)| dx
②위에 있는 함수 - 아래에 있는 함수를 적분
③교점을 먼저 구해서 적분 구간을 결정!
-1.5
1.5
두 곡선 사이의 넓이
S = ∫ab |f(x) - g(x)| dx
위쪽 함수에서 아래쪽 함수를 뺀 후 적분 (절댓값 주의!)
넓이 계산 전략
x축과 곡선 사이의 넓이
S = ∫ab |f(x)| dx
x축 아래 부분이 있으면 구간을 나누어 계산
y축과 곡선 사이의 넓이 (x = g(y))
S = ∫cd |g(y)| dy
x와 y의 역할을 바꾸어 y에 대해 적분하면 편리한 경우
💡 넓이 계산 순서
①교점 구하기: f(x) = g(x) 또는 f(x) = 0
②상하 관계 파악: 어떤 함수가 위에 있는지 판별
③구간 나누기: 상하 관계가 바뀌는 점에서 분할
④각 구간별 적분 → 합산
회전체의 부피
2
x축 둘레 회전체 부피 (원판법)
V = π ∫ab [f(x)]² dx
단면이 원 → 반지름 = f(x), 넓이 = π[f(x)]²
y축 둘레 회전체 부피
V = π ∫cd [g(y)]² dy
y축 회전 시, x = g(y)로 놓고 y에 대해 적분
🔑 회전체 부피 핵심
①"어떤 축 둘레로 회전하는가?"를 먼저 파악
②x축 회전: 반지름 = |f(x)|, 적분 변수 = x
③y축 회전: 반지름 = |g(y)|, 적분 변수 = y
속도와 거리
2 s
이동 거리
거리 = ∫ab |v(t)| dt
속도의 절댓값을 적분하면 실제 이동 거리
💡 변위 vs 거리
①변위(위치 변화) = ∫v(t)dt: 부호 포함 (음의 이동 상쇄)
②거리(실제 이동) = ∫|v(t)|dt: 항상 양수
③v(t) ≥ 0 구간에서는 변위 = 거리 (같음)
총정리
곡선 사이 넓이
∫|f - g| dx
교점으로 구간 분할
회전체 부피
π∫[f(x)]² dx
원판법
🎯 시험 포인트
①넓이 문제: 교점 → 상하 관계 → 구간별 적분 → 합산
②절댓값 처리: x축 위/아래 구간을 나누어 계산
③회전체: 어떤 축으로 회전하는지 + 반지름이 무엇인지 파악
④속도 → 거리: ∫|v(t)|dt (절댓값!), 변위: ∫v(t)dt
⑤y에 대한 적분: x = g(y)로 변환하면 더 쉬운 경우가 많다
예제와 기출
예제 1
곡선 y = x² 과 직선 y = x 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.
1
교점(x = 0, 1)을 구하고, 0 ≤ x ≤ 1에서 위쪽 함수(x)에서 아래쪽 함수(x²)를 뺀다.
S = ∫01 (x - x2) dx
2
적분하여 계산한다.
[x22 - x33]01 = 12 - 13 = 16
▸ 1/6
두 곡선 사이 넓이는 (위 함수 − 아래 함수)를 교점 사이에서 적분한다.
예제 2
곡선 y = √x (0 ≤ x ≤ 4)를 x축 둘레로 회전한 회전체의 부피를 구하시오.
1
원판법 V = π∫ab [f(x)]² dx 를 쓴다. [√x]² = x.
V = π ∫04 (√x)2 dx = π ∫04 x dx
2
적분하여 계산한다.
π [x22]04 = π × 8 = 8π
▸ 8π
x축 회전체의 부피는 단면 원의 넓이 π[f(x)]² 를 적분한다.
2023 수능 수학 유형 변형
곡선 y = x² 과 x축, 직선 x = 2 로 둘러싸인 부분의 넓이는?
①8/3
②4
③2
④8
⑤4/3
▸ ① 8/3
1
x축과 곡선 사이의 넓이는 S = ∫02 x² dx 이다.
S = ∫02 x2 dx
2
적분하여 계산한다.
[x33]02 = 83
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