seegongsik
고등학교 2~3학년 (16-18세)

수학II 정적분의 활용

Applications of Definite Integrals

정적분은 곡선 아래 넓이만 구하는 도구가 아니에요. 잘게 나누어 더한다는 같은 생각 하나로 두 곡선 사이의 넓이, 회전체의 부피, 속도 그래프로부터 움직인 거리까지 구할 수 있어요. 겉보기에는 다른 문제 같아도, 작은 조각의 양을 정한 뒤 정적분으로 모은다는 점에서 모두 같아요. 첫 그림에서는 a 와 b 를 옮기며 두 곡선 사이 넓이를, 둘째 그림에서는 b 를 바꾸며 회전체의 부피를, 셋째 그림에서는 시각 t 까지 움직인 거리를 볼 수 있어요.

두 곡선 사이의 넓이

📐 두 곡선 사이 넓이의 요령
①두 함수 f(x), g(x) 사이의 넓이는 |f(x) − g(x)| 를 적분해 구한다
②위에 있는 함수에서 아래에 있는 함수를 뺀다
③교점을 먼저 구해 적분 구간을 정한다
④그림에서 b 를 1.56 너머로 옮기면 두 그래프의 위아래가 바뀌는데, 이때도 넓이는 차의 절댓값으로 더해진다
-1.5
1.5
두 곡선 사이의 넓이
S = ∫ab |f(x) - g(x)| dx
위쪽 함수에서 아래쪽 함수를 빼서 적분한다. 위아래가 바뀌는 곳이 있으면 절댓값을 쓴다

넓이를 구하는 순서

x축과 곡선 사이의 넓이
S = ∫ab |f(x)| dx
곡선이 x축 아래로 내려가는 부분이 있으면 구간을 나누어 계산한다
y축과 곡선 사이의 넓이(x = g(y))
S = ∫cd |g(y)| dy
x 와 y 의 자리를 바꾸어 y 에 대해 적분하는 편이 쉬운 경우에 쓴다
💡 넓이를 구하는 순서
①교점을 구한다: f(x) = g(x) 또는 f(x) = 0
②어느 함수가 위에 있는지 가린다
③위아래가 바뀌는 점에서 구간을 나눈다
④구간마다 적분해 더한다

회전체의 부피

2
x축 둘레로 돌린 회전체의 부피
V = π ∫ab [f(x)]² dx
단면이 반지름 f(x) 인 원이므로 단면의 넓이는 π[f(x)]² 이다
y축 둘레로 돌린 회전체의 부피
V = π ∫cd [g(y)]² dy
y축 둘레로 돌릴 때는 x = g(y) 로 놓고 y 에 대해 적분한다
🔑 회전체 부피의 요령
①어느 축 둘레로 돌리는지부터 확인한다
②x축 둘레: 반지름은 |f(x)|, x 에 대해 적분한다
③y축 둘레: 반지름은 |g(y)|, y 에 대해 적분한다
④회전체의 부피는 미적분에서 자세히 다루며, 여기서는 그 맛보기이다

속도와 움직인 거리

2 s
움직인 거리
거리 = ∫ab |v(t)| dt
속도의 절댓값을 적분하면 실제로 움직인 거리가 나온다
💡 위치의 변화와 움직인 거리
①위치의 변화량은 v(t) 를 그대로 적분한 값이라 반대 방향으로 간 만큼 줄어든다
②움직인 거리는 |v(t)| 를 적분한 값이라 늘 0 이상이다
③v(t) ≥ 0 인 구간에서는 두 값이 같다

정리

두 곡선 사이의 넓이
∫|f - g| dx
교점에서 구간을 나눈다
회전체의 부피
π∫[f(x)]² dx
단면 원판의 넓이를 적분한다
🎯 시험 포인트
①넓이 문제: 교점 → 위아래 관계 → 구간마다 적분 → 더하기
②절댓값은 x축 위와 아래로 구간을 나누어 처리한다
③회전체: 어느 축 둘레로 도는지와 반지름이 무엇인지 먼저 정한다
④움직인 거리는 |v(t)| 의 적분, 위치의 변화량은 v(t) 의 적분이다
⑤x = g(y) 로 바꾸어 y 에 대해 적분하면 쉬워지는 경우가 많다

예제와 기출

예제 1
곡선 y = x² 과 직선 y = x 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.
1
x² = x 에서 교점은 x = 0, 1 이고, 그 사이에서는 직선 y = x 가 곡선 y = x² 보다 위에 있다.
S = ∫01 (x - x2) dx
2
위 함수에서 아래 함수를 뺀 x − x² 을 0 부터 1 까지 적분한다.
[x22 - x33]01 = 12 - 13 = 16
▸ 1/6
순서를 바꿔 x² − x 를 적분하면 −1/6 이 나온다. 넓이는 늘 위에서 아래를 빼서 구한다.
예제 2
곡선 y = √x (0 ≤ x ≤ 4)를 x축 둘레로 회전한 회전체의 부피를 구하시오.
1
x축 둘레로 돌리면 x 에서 자른 단면은 반지름 √x 인 원이므로 넓이는 π(√x)² = πx 이다.
V = π ∫04 (√x)2 dx = π ∫04 x dx
2
단면의 넓이 πx 를 0 부터 4 까지 적분한다.
π [x22]04 = π × 8 = 8π
▸ 8π
둘째 그림에서 b = 4 로 두지는 못하지만, 그림의 식 πb²/2 에 b = 4 를 넣으면 8π 와 같다.
2023 수능 수학 유형 변형
곡선 y = x² 과 x축, 직선 x = 2 로 둘러싸인 부분의 넓이는?
①8/3
②4
③2
④8
⑤4/3
▸ ① 8/3
1
0 ≤ x ≤ 2 에서 y = x² 은 x축 위에 있으므로 넓이는 x² 을 0 부터 2 까지 적분한 값이다.
S = ∫02 x2 dx
2
x³/3 에 2 와 0 을 넣어 뺀다.
[x33]02 = 83
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정적분
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순열

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