정적분

Definite Integral

곡선 아래의 넓이는 딱 떨어지는 공식이 없는데, 어떻게 구할 수 있을까요? 그 영역을 직사각형으로 촘촘하게 채워서 넓이를 어림한 다음, 직사각형을 점점 더 가늘게 쪼개 보는 거예요. 직사각형이 가늘어질수록 어림값은 진짜 넓이에 점점 가까워지고, 이 극한이 바로 정적분이에요. 분할 수 n 슬라이더를 키우면서 리만 합이 정적분(정확값)에 수렴하고 오차가 0으로 줄어드는 과정을 확인해 봐요.

넓이를 직사각형으로 잘게 쪼개기

📐 정적분의 핵심 아이디어

①곡선 아래 넓이를 구하고 싶다 → 직사각형으로 채워보자!

②직사각형을 점점 더 가늘게 쪼개면(n → ∞) → 정확한 넓이에 수렴

③이 극한이 바로 정적분!

리만 합에서 정적분으로

분할 수 n5 개

상한 b2

정적분의 정의

∫_a^b f(x) dx = lim_n→∞ Σ_k=1ⁿ f(x_k) Δx

구분구적법의 극한 = 곡선 아래 넓이

🔑 관찰 포인트

①n = 2~5: 직사각형이 크고 오차가 큼

②n = 20~50: 직사각형이 곡선을 거의 정확히 채움

③n → ∞: 리만 합 → 정적분 (정확한 넓이)

미적분의 기본정리

∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) (단, F'(x) = f(x))

역도함수를 알면 정적분을 바로 계산할 수 있다. 구분구적법 없이!

💡 기본정리의 위대함

①리만 합(극한)을 직접 계산하는 것은 매우 복잡

②기본정리 덕분에: 역도함수 F(x)를 찾고 F(b) - F(a)만 계산하면 끝!

③미분(접선 기울기)과 적분(넓이)이 역관계라는 놀라운 연결

계산 예시

∫₀² x² dx = [x³3]₀² = 83 - 0 = 83

F(x) = x³/3를 구한 뒤, F(2) - F(0) 계산

정적분과 넓이의 부호

상한 b1.5

넓이와 정적분의 관계

넓이 S = ∫_a^b |f(x)| dx (절댓값!)

정적분은 부호가 있지만, 실제 넓이는 절댓값을 적분

⚠ 주의사항

①정적분 값 ≠ 넓이 (x축 아래 부분은 음수로 계산됨)

②실제 넓이를 구하려면 |f(x)|를 적분해야 함

③구간을 나누어 양/음 부분을 따로 계산하는 것이 핵심

총정리

정적분 핵심

∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

미적분의 기본정리

🎯 시험 포인트

①정적분 = 부호가 있는 넓이: 넓이와는 다르다!

②기본정리: F(b) - F(a) 역도함수의 차이

③구간 분할: ∫_a^c + ∫_c^b = ∫_a^b

④짝수함수: ∫_{-a}^{a} f(x) dx = 2∫_0^a f(x) dx

⑤홀수함수: ∫_{-a}^{a} f(x) dx = 0

예제와 기출

예제 1

∫₀² 3x² dx 를 구하시오.

역도함수 F(x) = x³ 을 구한다.

∫ 3x² dx = x³

기본정리로 F(2) − F(0) 을 계산한다.

[x³]₀² = 2³ - 0³ = 8

▸ 8

정적분은 역도함수를 구해 F(b) − F(a)로 계산한다 (미적분의 기본정리).

예제 2

∫₁³ (2x − 1) dx 를 구하시오.

역도함수 F(x) = x² − x 를 구한다.

∫ (2x - 1) dx = x² - x

F(3) − F(1) 을 계산한다.

[x² - x]₁³ = (9 - 3) - (1 - 1) = 6

▸ 6

위끝값 대입에서 아래끝값 대입을 빼면 정적분 값이 된다.

2022 평가원 모평 수학 유형 변형

∫₀¹ (3x² + 2) dx 의 값은?

①3

②1

③5

④2

⑤4

▸ ① 3

역도함수 F(x) = x³ + 2x 를 구한다.

∫ (3x² + 2) dx = x³ + 2x

F(1) − F(0) 을 계산한다.

[x³ + 2x]₀¹ = (1 + 2) - 0 = 3