고등학교 2~3학년 (16-18세)

수학II 정적분

Definite Integral

곡선 아래의 넓이는 직사각형이나 삼각형처럼 한 번에 계산되는 공식이 없어요. 그래서 그 영역을 가는 직사각형으로 채워 넓이를 어림하고, 직사각형을 점점 더 가늘게 나누어 가요. 직사각형이 가늘어질수록 어림값은 실제 넓이에 다가가고, 그 극한이 정적분이에요. 역도함수 F 를 알면 이 극한을 F(b) − F(a) 하나로 계산할 수 있어요. 첫 그림에서 분할 수 n 을 키우면 직사각형 넓이의 합이 정확한 값 b³/3 에 다가가고, 둘째 그림에서는 x축 아래로 내려간 부분이 정적분에서 빼지는 것을 볼 수 있어요.

넓이를 직사각형으로 잘게 나누기

📐 정적분의 생각

①곡선 아래 넓이는 가는 직사각형을 여러 개 이어 붙여 어림한다

②직사각형을 점점 가늘게 나누면(n → ∞) 어림값이 실제 넓이에 다가간다

③그 극한값이 정적분이다

직사각형의 합에서 정적분으로

분할 수 n5 개

위끝 b2

정적분의 정의

∫_a^b f(x) dx = lim_n→∞ Σ_k=1ⁿ f(x_k) Δx

Δx = (b − a)/n 으로 나눈 직사각형 넓이의 합의 극한이 곡선 아래 넓이이다

🔑 그림에서 볼 것

①n 이 작으면 직사각형이 굵어 곡선과 어긋나는 부분이 크다

②n 을 20 이상으로 키우면 직사각형이 곡선 아래를 거의 그대로 채운다

③n 을 한없이 키우면 직사각형 넓이의 합은 정확한 값 b³/3 에 다가간다

④칸 가운데의 높이를 쓰면 넘치는 부분과 모자라는 부분이 서로 메워져 오차가 빨리 줄어든다

미적분의 기본정리

∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) (단, F'(x) = f(x))

역도함수를 알면 직사각형의 합을 계산하지 않고도 정적분을 바로 구할 수 있다

💡 기본정리가 하는 일

①직사각형 합의 극한을 직접 계산하기는 매우 번거롭다

②기본정리에 따라 F'(x) = f(x) 인 F 를 찾아 F(b) − F(a) 만 계산하면 된다

③기울기를 다루는 미분과 넓이를 다루는 적분이 서로 거꾸로의 관계라는 뜻이다

④a 에서 c 까지와 c 에서 b 까지의 정적분을 더하면 a 에서 b 까지의 정적분이 된다

⑤그래프가 y축에 대칭이면 −a 에서 a 까지의 정적분이 0 에서 a 까지의 두 배이고, 원점에 대칭이면 0 이다

계산 예시

∫₀² x² dx = [x³3]₀² = 83 - 0 = 83

F(x) = x³/3 을 구한 뒤 F(2) − F(0) 을 계산한다. 첫 그림에서 b = 2 일 때의 정확한 값과 같다

정적분과 넓이의 부호

위끝 b1.5

넓이와 정적분

넓이 S = ∫_a^b |f(x)| dx (절댓값!)

정적분은 부호가 있는 값이고, 실제 넓이는 |f(x)| 를 적분해 구한다

⚠ 주의할 점

①x축 아래 부분은 정적분에 음수로 들어가므로 정적분 값이 넓이와 다를 수 있다

②그림에서 b = 2 로 두면 위와 아래의 넓이가 같아 정적분은 0 이지만, 넓이는 0 이 아니다

③실제 넓이는 그래프가 x축과 만나는 점에서 구간을 나누어 각 부분의 절댓값을 더한다

정리

정적분 핵심

∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

미적분의 기본정리

🎯 시험 포인트

①정적분은 부호가 있는 넓이로, 넓이와 다를 수 있다

②기본정리: 역도함수의 차 F(b) − F(a)

③구간을 나누어 더해도 값이 같다

④그래프가 y축에 대칭인 함수는 −a 에서 a 까지의 정적분이 0 에서 a 까지의 두 배이다

⑤그래프가 원점에 대칭인 함수는 −a 에서 a 까지의 정적분이 0 이다

예제와 기출

예제 1

∫₀² 3x² dx 를 구하시오.

미분해서 3x² 이 되는 함수로 F(x) = x³ 을 잡는다.

∫ 3x² dx = x³

기본정리에 따라 F(2) − F(0) 을 계산한다.

[x³]₀² = 2³ - 0³ = 8

▸ 8

역도함수에 붙는 상수 C 는 F(b) − F(a) 에서 지워지므로 정적분을 계산할 때는 C 를 쓰지 않아도 된다.

예제 2

∫₁³ (2x − 1) dx 를 구하시오.

미분해서 2x − 1 이 되는 함수로 F(x) = x² − x 를 잡는다.

∫ (2x - 1) dx = x² - x

F(3) − F(1) 을 계산한다.

[x² - x]₁³ = (9 - 3) - (1 - 1) = 6

▸ 6

y = 2x − 1 아래는 x = 1 에서 높이 1, x = 3 에서 높이 5 인 사다리꼴이라 (1 + 5) × 2 ÷ 2 = 6 으로도 확인된다.

2022 평가원 모평 수학 유형 변형

∫₀¹ (3x² + 2) dx 의 값은?

①3

②1

③5

④2

⑤4

▸ ① 3

미분해서 3x² + 2 가 되는 함수로 F(x) = x³ + 2x 를 잡는다.

∫ (3x² + 2) dx = x³ + 2x

F(1) − F(0) 을 계산한다.

[x³ + 2x]₀¹ = (1 + 2) - 0 = 3

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부정적분

정적분의 활용

마지막 수정 2026-10-17

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