부정적분

Indefinite Integral

미분을 거꾸로 되돌리면 어떤 함수가 나올지 찾는 게 부정적분이에요. 미분해서 지금 함수가 되는 원래 함수를 찾는 건데, 상수는 미분하면 0이 되어 사라지기 때문에 답이 딱 하나가 아니라 무수히 많아요. 그래서 부정적분 결과 뒤에는 사라진 상수 자리를 채우는 적분상수 C를 항상 붙여 줘요. 적분상수 C 슬라이더를 움직여서 x² + C 곡선들이 모양은 그대로인 채 위아래로 나란히 평행이동하는 모습을 확인해 봐요.

적분이란 미분의 역과정

🔄 부정적분의 핵심 아이디어

①"이 함수를 미분하면 원래 함수가 나오는 것은 무엇인가?"

②미분의 역연산: F'(x) = f(x)인 F(x)를 찾는 것

③상수 C를 더해도 미분하면 사라지므로 → 답이 무한히 많다!

역도함수 패밀리

적분상수 C0

부정적분의 정의

∫ f(x) dx = F(x) + C (단, F'(x) = f(x))

f(x)의 모든 역도함수를 나타냄: C는 적분상수

💡 적분상수 C의 의미

①C는 초기 조건(시작점)에 의해 결정됩니다

②예: 속도 v(t) = 2t를 적분 → 위치 s(t) = t² + C, C = s(0)

③C를 빠뜨리면 감점! 부정적분에서는 반드시 + C를 붙여야 합니다

미분-적분의 역관계

거듭제곱 n2

거듭제곱의 적분

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n+1 + C (n ≠ -1)

미분 공식 (xⁿ)' = nx^n-1의 역과정

기본 적분 공식

상수배와 합·차

∫ kf(x) dx = k∫ f(x) dx, ∫ [f ± g] dx = ∫ f dx ± ∫ g dx

상수는 적분 밖으로, 합/차는 각각 적분

상수

∫ k dx = kx + C

1차

∫ x dx = x²/2 + C

2차

∫ x² dx = x³/3 + C

n차

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n+1 + C

총정리

부정적분 핵심

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n+1 + C

미분의 역연산 + 적분상수 C

🎯 시험 포인트

①부정적분 = 미분의 역연산, 반드시 + C를 붙인다

②∫x^n dx에서 n ≠ -1 조건 주의

③다항함수의 적분: 각 항별로 적분 후 합산

④초기 조건이 주어지면 C를 결정할 수 있다 (예: f(0) = 3)

⑤검산: 부정적분 결과를 미분하면 원래 피적분함수가 나와야 한다

예제와 기출

예제 1

∫ (3x² + 2x) dx 를 구하시오.

각 항에 ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) 을 적용한다.

∫ 3x² dx = x³, ∫ 2x dx = x²

적분상수 C를 붙인다.

∫ (3x² + 2x) dx = x³ + x² + C

▸ x³ + x² + C

부정적분은 미분의 역연산이며, 반드시 적분상수 + C 를 붙인다.

예제 2

F'(x) = 2x + 1 이고 F(0) = 3 일 때, F(x) 를 구하시오.

F(x) = ∫ (2x + 1) dx = x² + x + C 이다.

F(x) = x² + x + C

F(0) = 3 을 이용해 C를 정한다.

F(0) = C = 3 ⟹ F(x) = x² + x + 3

▸ F(x) = x² + x + 3

초기 조건이 주어지면 적분상수 C를 구체적으로 정할 수 있다.

2023 수능 수학 유형 변형

∫ (6x² − 4x) dx 를 구하면? (C는 적분상수)

①2x³ − 2x² + C

②2x³ − 4x² + C

③6x³ − 4x² + C

④x³ − x² + C

⑤12x − 4 + C

▸ ① 2x³ − 2x² + C

각 항을 적분한다. ∫ 6x² dx = 2x³, ∫ 4x dx = 2x².

∫ 6x² dx = 2x³, ∫ 4x dx = 2x²

부호와 적분상수를 붙인다.

2x³ - 2x² + C