seegongsik
고등학교 2~3학년 (16-18세)

수학II 부정적분

Indefinite Integral

부정적분은 미분을 거꾸로 거슬러 올라가, 미분해서 주어진 함수가 되는 원래 함수를 찾는 일이에요. 상수는 미분하면 0 이 되어 사라지므로, 그런 원래 함수는 하나가 아니라 상수만큼씩 다른 것이 끝없이 많아요. 그래서 부정적분의 결과에는 사라진 상수 자리를 채우는 적분상수 C 를 늘 붙여요. 첫 그림에서 C 를 바꾸면 x² + C 곡선이 모양은 그대로 위아래로만 옮겨 가고, x = 1 에서 접선의 기울기는 모두 2 로 같아요.

적분은 미분을 거꾸로 하는 일

🔄 부정적분의 생각
①미분해서 f(x) 가 되는 함수 F(x) 를 찾는다
②곧 F'(x) = f(x) 인 F(x) 가 f(x) 의 부정적분이다
③F(x) 에 어떤 상수를 더해도 미분한 결과는 같으므로 답은 끝없이 많다

부정적분은 곡선의 무리

0
부정적분의 정의
∫ f(x) dx = F(x) + C (단, F'(x) = f(x))
f(x) 의 부정적분 전체를 나타내며, C 는 적분상수이다
💡 적분상수 C 의 뜻
①C 는 처음 값 같은 조건이 주어져야 정해진다
②예를 들어 속도 v(t) = 2t 를 적분하면 위치 s(t) = t² + C 이고, C = s(0) 이다
③부정적분을 구할 때는 + C 를 빠뜨리지 않는다

미분과 적분은 서로 거꾸로

2
거듭제곱의 적분
∫ xn dx = xn+1n+1 + C (n ≠ -1)
미분 공식 (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ 을 거꾸로 쓴 것이다

기본 적분 공식

상수배와 합 · 차
∫ kf(x) dx = k∫ f(x) dx, ∫ [f ± g] dx = ∫ f dx ± ∫ g dx
상수배는 적분 밖으로 꺼내고, 합과 차는 각각 적분한다
상수
∫ k dx = kx + C
일차
∫ x dx = x²/2 + C
이차
∫ x² dx = x³/3 + C
n차
∫ xn dx = xn+1n+1 + C (n ≠ -1)

정리

부정적분 핵심
∫ xn dx = xn+1n+1 + C (n ≠ -1)
미분을 거꾸로 하고 적분상수 C 를 붙인다
🎯 시험 포인트
①부정적분은 미분의 역연산이며, + C 를 반드시 붙인다
②xⁿ 을 적분하면 지수는 n + 1 이 되고 앞에 1/(n + 1) 이 붙는다
③다항함수는 항마다 적분한 뒤 더한다
④처음 값 같은 조건이 주어지면 C 를 정할 수 있다
⑤검산: 구한 부정적분을 미분해 원래 함수가 나오는지 확인한다

예제와 기출

예제 1
∫ (3x² + 2x) dx 를 구하시오.
1
각 항에 ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) 을 적용한다.
∫ 3x2 dx = x3, ∫ 2x dx = x2
2
마지막에 적분상수 C 를 붙인다.
∫ (3x2 + 2x) dx = x3 + x2 + C
▸ x³ + x² + C
x³ + x² + C 를 미분하면 3x² + 2x 가 되므로 맞게 구했음을 확인할 수 있다.
예제 2
F'(x) = 2x + 1 이고 F(0) = 3 일 때, F(x) 를 구하시오.
1
2x + 1 을 적분하면 F(x) = x² + x + C 이다.
F(x) = x2 + x + C
2
F(0) = 3 을 넣어 C 를 정한다.
F(0) = C = 3 ⟹ F(x) = x2 + x + 3
▸ F(x) = x² + x + 3
곡선 무리 가운데 점 (0, 3) 을 지나는 곡선 하나를 고르는 일이다. 조건 하나가 C 하나를 정한다.
2023 수능 수학 유형 변형
∫ (6x² − 4x) dx 를 구하면? (C는 적분상수)
①2x³ − 2x² + C
②2x³ − 4x² + C
③6x³ − 4x² + C
④x³ − x² + C
⑤12x − 4 + C
▸ ① 2x³ − 2x² + C
1
항마다 적분하면 6x² 은 2x³, 4x 는 2x² 이 된다.
∫ 6x2 dx = 2x3, ∫ 4x dx = 2x2
2
빼기 부호를 그대로 두고 적분상수 C 를 붙인다.
2x3 - 2x2 + C
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정적분

마지막 수정

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