고등학교 2~3학년 (16-18세)

수학II 도함수의 활용

Applications of Derivatives

도함수의 부호를 보면 그래프가 지금 오르막인지 내리막인지 알 수 있어요. 기울기가 양수이면 올라가는 중이고 음수이면 내려가는 중이라, 부호가 바뀌는 자리가 봉우리인 극대나 골짜기인 극소가 돼요. 이 원리 하나로 함수의 최댓값과 최솟값은 물론, 움직이는 물체의 속도와 가속도까지 미분으로 읽어 낼 수 있어요. 첫 그림에서 x 위치를 옮기면 접선의 기울기와 초록(증가) · 빨강(감소) 구간이 맞물리고, 둘째 그림에서는 시각 t 마다 위치, 속도, 가속도의 값이 함께 나와요.

증가와 감소 가리기

📈 도함수의 부호로 아는 것

①f'(x) > 0 인 구간에서 f(x) 는 증가한다(오르막)

②f'(x) < 0 인 구간에서 f(x) 는 감소한다(내리막)

③f'(x) = 0 인 점은 극대나 극소가 될 수 있는 후보이다

극값과 증감표

x 위치0

극값 판정

f'(a) = 0 이고 f' 의 부호가 + → − 이면 극대, − → + 이면 극소

증감표를 그려 도함수의 부호가 바뀌는지 확인한다

💡 증감표 그리기

①f'(x) = 0 의 근을 구한다(예: 3x² − 3 = 0 에서 x = ±1)

②근으로 나뉜 구간마다 f'(x) 의 부호를 정한다

③부호가 바뀌는 점에서 극대인지 극소인지 판정한다

④f'(x) = 0 이어도 부호가 바뀌지 않으면 극값이 아니다. 예를 들어 y = x³ 은 x = 0 에서 극값을 갖지 않는다

최댓값과 최솟값

닫힌구간에서의 최댓값과 최솟값

[a, b] 에서의 후보: ①f'(x) = 0 인 점 ②양 끝점 f(a), f(b)

후보들의 함숫값 가운데 가장 큰 것이 최댓값, 가장 작은 것이 최솟값이다

이계도함수로 판정하기

f'(a)=0, f''(a)<0 → 극대 / f'(a)=0, f''(a)>0 → 극소

이계도함수의 부호로 극대와 극소를 가린다. 변곡점은 미적분의 이계도함수 단원에서 다룬다

🔑 최댓값 · 최솟값 구하기

①닫힌구간이 주어지면 극값, 양 끝점, 미분할 수 없는 점의 함숫값을 모두 비교한다

②열린구간에서는 최댓값이나 최솟값이 없을 수 있다

③실생활의 최적화 문제는 구하려는 양을 함수로 세운 뒤 미분해 극값을 찾는다

속도와 가속도

시각 t1 s

위치, 속도, 가속도의 관계

v(t) = s'(t), a(t) = v'(t) = s''(t)

위치를 한 번 미분하면 속도, 두 번 미분하면 가속도이다

💡 물체의 운동 읽기

①v(t) > 0 이면 양의 방향, v(t) < 0 이면 음의 방향으로 움직인다

②그림에서 t = 2 일 때 v = 0 이고, 이때 위치 s 가 가장 크다

③v(t) = 0 이어도 부호가 바뀌지 않으면 방향은 그대로이다

④a(t) 가 상수이면 등가속도 운동이다

정리

극값의 조건

f'(a) = 0 이고 부호가 바뀜 → 극대 또는 극소

도함수의 부호가 바뀌는지가 핵심이다

🎯 시험 포인트

①증감표: f'(x) = 0 의 근을 구하고 구간마다 부호를 확인한다

②f' 의 부호가 + 에서 − 로 바뀌면 극대, − 에서 + 로 바뀌면 극소

③닫힌구간의 최댓값 · 최솟값은 극값과 양 끝점을 비교해 구한다

④접선의 방정식은 y = f'(a)(x − a) + f(a)

⑤방정식과 부등식 문제는 증감표로 그래프의 모양부터 그린다

예제와 기출

예제 1

f(x) = x³ − 3x 의 극댓값과 극솟값을 구하시오.

도함수를 구해 f'(x) = 0 의 근을 찾는다.

f'(x) = 3x² - 3 = 0 ⟹ x = ±1

x < −1 에서 f' > 0, −1 < x < 1 에서 f' < 0, x > 1 에서 f' > 0 이므로 x = −1 에서 극대, x = 1 에서 극소이다.

극댓값 f(-1) = 2, 극솟값 f(1) = -2

▸ 극댓값 2, 극솟값 −2

첫 그림의 초록 · 빨강 구간이 바로 이 증감표이다. 부호가 + 에서 − 로 바뀌는 곳이 봉우리, − 에서 + 로 바뀌는 곳이 골짜기가 된다.

예제 2

원점에서 출발한 점 P의 위치가 s(t) = t² − 4t 일 때, t = 1에서의 속도 v(1) 을 구하시오.

속도는 위치를 시간에 대해 미분한 값이다.

v(t) = s'(t) = 2t - 4

t = 1 을 넣는다.

v(1) = 2(1) - 4 = -2

▸ v(1) = −2

v(1) 이 음수이므로 t = 1 에서 점 P 는 음의 방향으로 움직이고 있다. t = 2 에서 v = 0 이 되고, 그 뒤로 방향이 바뀐다.

2022 평가원 모평 수학 유형 변형

곡선 y = x² + 1 위의 점 (1, 2)에서의 접선의 기울기는?

①2

②1

③3

④4

⑤0

▸ ① 2

접선의 기울기는 그 점에서의 미분계수이고, y' = 2x 이다.

y' = (x² + 1)' = 2x

x = 1 을 넣는다.

y'(1) = 2(1) = 2

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미분계수와 도함수

부정적분

마지막 수정 2026-10-17

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