수학II 도함수의 활용

Applications of Derivatives

도함수를 보면 함수의 그래프가 지금 오르막인지 내리막인지가 나침반처럼 보여요. 기울기가 양수면 올라가는 중, 음수면 내려가는 중이고, 부호가 바뀌는 바로 그 지점이 봉우리(극대)나 골짜기(극소)가 돼요. 이 원리만 알면 함수의 최댓값·최솟값은 물론 움직이는 물체의 속도와 가속도까지 미분 하나로 읽어낼 수 있어요. x 위치를 움직이면 접선이 눕는 방향과 초록(증가)·빨강(감소) 구간이 어떻게 뒤바뀌는지 보여요.

증가와 감소의 판별

📈 도함수의 부호가 알려주는 것

①f'(x) > 0인 구간 → f(x)는 증가 (오르막)

②f'(x) < 0인 구간 → f(x)는 감소 (내리막)

③f'(x) = 0인 점 → 극대 또는 극소의 후보

극값과 증감표

x 위치0

극값 판정법

f'(a) = 0이고 f'의 부호가 + → - 이면 극대, - → + 이면 극소

증감표를 그려서 도함수의 부호 변화를 확인

💡 증감표 작성법

①f'(x) = 0의 근을 구한다 (예: 3x² - 3 = 0 → x = ±1)

②각 구간에서 f'(x)의 부호를 판별한다

③부호가 바뀌는 점에서 극대/극소를 판정한다

④f'(x) = 0이어도 부호가 안 바뀌면 극값이 아님! (예: x³의 x=0)

최대와 최소

폐구간에서 최댓값·최솟값

[a, b]에서 후보: ①f'(x)=0인 점 ②양 끝점 f(a), f(b)

극값 후보와 양 끝점 중 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값

이계도함수 판정법

f'(a)=0, f''(a)<0 → 극대 / f'(a)=0, f''(a)>0 → 극소

이계도함수의 부호로 극대/극소를 판정한다. 변곡점은 미적분 이계도함수와 변곡점 장에서

🔑 최대·최소 전략

①폐구간이 주어지면: 극값 + 양 끝점 + 미분불가능점을 모두 비교

②열린 구간이면: 최댓값·최솟값이 없을 수 있다

③실생활 최적화 문제: 목적함수를 세우고 미분하여 극값 탐색

속도와 가속도

시각 t1 s

위치-속도-가속도 관계

v(t) = s'(t), a(t) = v'(t) = s''(t)

위치를 한 번 미분하면 속도, 두 번 미분하면 가속도

💡 물체의 운동 해석

①v(t) > 0: 양의 방향 이동 / v(t) < 0: 음의 방향 이동

②v(t) = 0이어도 부호가 안 바뀌면 방향은 그대로

③a(t) = 상수 → 등가속도 운동 (자유낙하 등)

총정리

극값 조건

f'(a) = 0 + 부호 변화 → 극대/극소

도함수의 부호 변화가 핵심

🎯 시험 포인트

①증감표: f'(x) = 0의 근을 구하고, 각 구간의 부호 확인

②극값 판정: f'의 부호가 + → -이면 극대, - → +이면 극소

③최대·최소: 폐구간에서는 극값 + 양 끝점 비교

④접선 방정식: y = f(a) + f'(a)(x - a)

⑤방정식/부등식의 풀이에 증감표 활용: 그래프 개형을 먼저 파악

예제와 기출

예제 1

f(x) = x³ − 3x 의 극댓값과 극솟값을 구하시오.

도함수를 구해 f'(x) = 0 의 근을 찾는다.

f'(x) = 3x² - 3 = 0 ⟹ x = ±1

증감을 조사하면 x = −1에서 극대, x = 1에서 극소이다.

극댓값 f(-1) = 2, 극솟값 f(1) = -2

▸ 극댓값 2, 극솟값 −2

f'(x) = 0인 점에서 도함수의 부호가 +→−이면 극대, −→+이면 극소.

예제 2

원점에서 출발한 점 P의 위치가 s(t) = t² − 4t 일 때, t = 1에서의 속도 v(1) 을 구하시오.

속도는 위치를 미분한 것이다. v(t) = s'(t).

v(t) = s'(t) = 2t - 4

t = 1 을 대입한다.

v(1) = 2(1) - 4 = -2

▸ v(1) = −2

위치를 한 번 미분하면 속도이고, 부호는 운동 방향을 나타낸다.

2022 평가원 모평 수학 유형 변형

곡선 y = x² + 1 위의 점 (1, 2)에서의 접선의 기울기는?

①2

②1

③3

④4

⑤0

▸ ① 2

접선의 기울기는 그 점에서의 미분계수이다. y' = 2x.

y' = (x² + 1)' = 2x

x = 1 을 대입한다.

y'(1) = 2(1) = 2