조합

Combination

조합은 순서를 따지지 않고 그냥 뽑기만 하는 선택이에요. 순열에서 1등·2등·3등을 구분했다면, 조합은 누가 뽑혔는지만 보기 때문에 순서로 겹치는 경우(r!가지)를 나눠서 nCr = nPr / r!이 돼요. 이 값들을 삼각형으로 쌓으면 위 두 수를 더해 아래가 되는 파스칼의 삼각형이 나오고, 좌우 대칭(nCr = nC(n-r))도 한눈에 보여요. 전체 개수 n과 선택 개수 r 슬라이더로 뽑은 것들이 순서 없이 한 덩어리로 묶이는 과정을 보고, 행 수 슬라이더로 파스칼의 삼각형을 키워 규칙을 확인해 봐요.

순서 없는 선택

🧩 조합이란?

①n개 중에서 r개를 고르되, 순서를 따지지 않는 경우

②A, B, C를 뽑든 C, A, B를 뽑든 같은 조합

③순열에서 r개의 배열 순서(r!)를 나눠주면 조합

nCr 시각화

전체 개수 n5

선택 개수 r3

조합 공식

_nC_r = n!r!(n-r)! = _nP_rr!

n개에서 r개를 순서 없이 뽑는 경우의 수

💡 순열 → 조합 관계

①순열(nPr)은 뽑고 + 나열

②조합(nCr)은 뽑기만

③nPr = nCr × r! → nCr = nPr ÷ r!

④순열에서 중복된 순서를 제거하면 조합

파스칼의 삼각형

삼각형 행 수6

파스칼의 성질

_nC_r = _n-1C_r-1 + _n-1C_r

윗줄 두 수의 합 = 아랫줄 가운데 수

조합의 성질

대칭성

_nC_r = _nC_n-r

r개를 뽑는 것 = (n-r)개를 남기는 것

조합의 합

_nC₀ + _nC₁ + ··· + _nC_n = 2ⁿ

n개 원소의 모든 부분집합의 수

직접 풀어보기

예제 1

서로 다른 6개에서 2개를 택하는 경우의 수 ₆C₂를 구하시오.

조합은 순열을 뽑는 개수의 계승으로 나눈다.

₆C₂ = (6 × 5)/(2 × 1)

계산한다.

= 30/2 = 15

▸ 15

조합은 순서를 구별하지 않으므로 순열을 r!로 나눈다.

예제 2

남학생 4명과 여학생 3명 중에서 3명을 뽑을 때, 여학생이 정확히 1명 포함되는 경우의 수를 구하시오.

여학생 1명을 ₃C₁로, 남학생 2명을 ₄C₂로 뽑아 곱한다.

₃C₁ × ₄C₂

계산한다.

= 3 × 6 = 18

▸ 18

조건이 있으면 그룹별로 나눠 뽑고 곱의 법칙으로 곱한다.

총정리

조합 핵심 공식

_nC_r = n!r!(n-r)!

순서 없이 r개를 고르는 경우의 수

고2 내신 유형

8명 중에서 대표 2명을 뽑는 경우의 수는?

①16

②21

③28

④36

⑤56

▸ ③ 28

순서를 구별하지 않고 2명을 택하므로 ₈C₂이다.

₈C₂ = (8 × 7)/(2 × 1)

계산한다.

= 56/2 = 28

🎯 시험 포인트

①순열 vs 조합: 순서 유무가 핵심

②nCr = nPr ÷ r!

③파스칼 삼각형: 윗줄 두 수의 합

④nCr = nC(n-r) 대칭성

⑤모든 nCk의 합 = 2^n