seegongsik
고등학교 2~3학년 (16-18세)

확률과 통계 조합

Combination

조합은 순서를 따지지 않고 무엇을 골랐는지만 보는 선택이에요. 순열은 A, B, C 를 고른 뒤 늘어놓는 순서까지 세기 때문에 같은 세 개가 3! = 6 번이나 다른 경우로 세어지고, 그래서 순열의 수를 r! 로 나누면 조합의 수가 나와요. 이 값을 줄마다 쌓으면 위 두 수의 합이 아래 수가 되는 파스칼의 삼각형이 되고, 좌우가 대칭인 모양에서 ₙCᵣ = ₙCₙ₋ᵣ 도 바로 읽혀요. 전체 개수 n 과 고르는 개수 r 슬라이더를 움직이면 고른 공들의 여러 순서가 조합 하나로 묶이는 과정과 그 개수가 보이고, 행 수 슬라이더로는 삼각형을 아래로 늘려 갈 수 있어요.

순서 없는 선택

🧩 조합이란
①서로 다른 n 개에서 순서를 생각하지 않고 r 개를 고르는 것을 조합이라 하고, 그 수를 ₙCᵣ 로 쓴다
②A, B, C 를 고르든 C, A, B 를 고르든 같은 조합이다
③대표 두 명을 뽑으면 조합이고, 회장과 부회장을 뽑으면 맡는 자리가 달라 순열이다

순열에서 조합으로

5
3
조합의 수
nCr = n!r!(n-r)! = nPrr!
n 개에서 순서 없이 r 개를 고르는 경우의 수
💡 왜 r! 로 나누는가
①순열 ₙPᵣ 은 고른 뒤 늘어놓는 것까지 센다
②고른 r 개를 늘어놓는 방법이 r! 가지라, 조합 하나가 순열에서는 r! 번 세어진다
③그래서 ₙPᵣ = ₙCᵣ × r! 이고 ₙCᵣ = ₙPᵣ ÷ r! 이다
④그림에서 고른 공의 순서 목록이 모두 괄호 안의 한 묶음으로 모인다

파스칼의 삼각형

6
파스칼의 삼각형의 성질
nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr
윗줄에서 이웃한 두 수의 합이 그 사이 아래의 수

조합의 성질

대칭성
nCr = nCn-r
r 개를 고르는 것은 남겨 둘 n − r 개를 고르는 것과 같다
조합의 합
nC0 + nC1 + ··· + nCn = 2n
원소가 n 개인 집합의 부분집합 수. 원소마다 넣거나 빼는 두 갈래라 2ⁿ 이다

예제

예제 1
서로 다른 6개에서 2개를 택하는 경우의 수 ₆C₂를 구하시오.
1
₆P₂ 를 2! 로 나눈다.
₆C₂ = (6 × 5)/(2 × 1)
2
분자와 분모를 계산한다.
= 30/2 = 15
▸ 15
6 × 5 = 30 은 순서까지 센 수이고, 두 개를 늘어놓는 순서 2 가지로 나누면 순서를 지운 15 가 된다.
예제 2
남학생 4명과 여학생 3명 중에서 3명을 뽑을 때, 여학생이 정확히 1명 포함되는 경우의 수를 구하시오.
1
여학생 1명은 ₃C₁ 가지, 남학생 2명은 ₄C₂ 가지로 고르고, 두 선택이 함께 일어나므로 곱한다.
₃C₁ × ₄C₂
2
각 조합의 수를 계산해 곱한다.
= 3 × 6 = 18
▸ 18
조건이 붙으면 무리마다 나눠 고른 뒤 곱의 법칙으로 곱한다.

정리

조합의 수
nCr = n!r!(n-r)!
순서 없이 r 개를 고르는 경우의 수
고2 내신 유형
8명 중에서 대표 2명을 뽑는 경우의 수는?
①16
②21
③28
④36
⑤56
▸ ③ 28
1
순서를 구별하지 않고 2명을 고르므로 ₈C₂ 이다.
₈C₂ = (8 × 7)/(2 × 1)
2
분자와 분모를 계산한다.
= 56/2 = 28
🎯 시험 포인트
①순열과 조합을 가르는 기준은 순서가 결과를 바꾸는지다
②ₙCᵣ = ₙPᵣ ÷ r! 이다
③파스칼의 삼각형에서는 윗줄 두 수의 합이 아래 수다
④ₙCᵣ = ₙCₙ₋ᵣ 이라 r 이 n 의 절반보다 크면 n − r 로 바꿔 계산하면 쉽다
⑤ₙC₀ 부터 ₙCₙ 까지 모두 더하면 2ⁿ 이다
← 이전
순열
다음 →
이항정리

마지막 수정

이 페이지가 도움 됐다면 후원하기