함수의 극한

Limit of a Function

극한은 x를 어떤 값에 한없이 가까이 데려갈 때 함수가 어디로 향하는지 묻는 거예요. 신기하게도 그 지점에 실제로 도착할 필요도, 심지어 함수가 그 자리에서 정의될 필요도 없어요. 구멍이 뻥 뚫린 자리에서도 양쪽에서 다가가는 값이 같으면 극한은 분명히 존재하거든요. 접근 정도 슬라이더를 움직여 왼쪽 파란 점과 오른쪽 주황 점이 빈 구멍을 향해 똑같이 2로 모여드는 걸 확인해 봐요.

극한이란 무엇인가

🎯 극한의 핵심 아이디어

①"x가 a에 한없이 가까워질 때, f(x)는 어디로 가까워지는가?"

②실제로 x = a에 도달할 필요는 없습니다. 다가가는 "경향"이 중요합니다

③좌극한(왼쪽에서 접근)과 우극한(오른쪽에서 접근)이 같아야 극한값이 존재합니다

접근 정도 t20 %

💡 관찰 포인트

①파란 점(좌극한)과 주황 점(우극한)이 모두 y=2를 향해 다가갑니다

②f(1)은 정의되지 않지만(빈 원), 극한값은 분명히 2입니다

③(x²-1)/(x-1)을 인수분해하면 (x+1)(x-1)/(x-1) = x+1: x가 1에 가까우면 f(x)는 2에 가깝습니다

엡실론-델타 정의

ε (오차 범위)1.5

극한의 정의 (ε-δ)

lim_x→a f(x) = L

임의의 ε > 0에 대해 적절한 δ > 0이 존재하여, 0 < |x - a| < δ이면 |f(x) - L| < ε

🔑 ε-δ 이해법

①ε은 y축 방향의 허용 오차 범위(주황색 띠)

②δ는 x축 방향의 제한 범위(파란색 띠)

③ε을 아무리 작게 잡아도 그에 맞는 δ를 항상 찾을 수 있으면 → 극한이 존재!

극한의 기본 성질

상수 k2

극한의 사칙연산

lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x)

극한의 합/차/곱/몫은 각각의 극한값으로 계산 (분모 ≠ 0)

상수배 성질

lim k·f(x) = k · lim f(x)

상수는 극한 밖으로 꺼낼 수 있다

주요 극한값

삼각함수 기본 극한

lim_x→0 sin xx = 1

수능·모의고사 필수 공식: 라디안 기준

자연로그 밑 극한

lim_x→0 e^x - 1x = 1

자연상수 e의 정의에서 유도

자연로그 극한

lim_x→0 ln(1 + x)x = 1

위 공식에서 치환으로 유도 가능

총정리

극한의 정의

lim_x→a f(x) = L ⟺ 좌극한 = 우극한 = L

양쪽에서 같은 값에 수렴해야 극한이 존재

🎯 시험 포인트

①좌극한 ≠ 우극한이면 극한은 존재하지 않는다

②f(a)의 값과 극한값은 별개: f(a)가 정의되지 않아도 극한은 존재할 수 있다

③0/0 꼴은 인수분해, 유리화, 로피탈 등으로 해결

④sin x/x → 1, (e^x - 1)/x → 1은 반드시 암기

⑤극한의 사칙연산은 각 극한값이 존재할 때만 성립

예제와 기출

예제 1

lim_x→2 (x² − 4)/(x − 2) 의 값을 구하시오.

0/0 꼴이므로 분자를 인수분해하여 약분한다.

x² - 4x - 2 = (x+2)(x-2)x-2 = x + 2

x → 2 를 대입한다.

lim_x→2 (x + 2) = 4

▸ 4

0/0 부정형은 인수분해·약분으로 해소한 뒤 대입한다.

예제 2

lim_x→0 (sin 3x)/x 의 값을 구하시오.

sin x / x → 1 공식을 쓰기 위해 분모를 3x로 맞춘다.

sin 3xx = 3 × sin 3x3x

3x → 0 이므로 sin(3x)/(3x) → 1.

3 × 1 = 3

▸ 3

lim_x→0 sin(x)/x = 1 을 쓰려면 분모와 sin 안의 식을 같게 맞춘다.

2023 수능 수학 유형 변형

lim_x→1 (x² + 2x − 3)/(x − 1) 의 값은?

①4

②0

③2

④3

⑤극한값 없음

▸ ① 4

분자를 인수분해한다. x² + 2x − 3 = (x + 3)(x − 1).

x² + 2x - 3x - 1 = (x+3)(x-1)x-1 = x + 3

x → 1 을 대입한다.

lim_x→1 (x + 3) = 4

함수의 연속

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