극한은 x 를 어떤 값에 한없이 가까이 가져갈 때 함숫값이 어디로 다가가는지를 묻는 거예요.
그 자리에 실제로 도착하지 않아도 되고, 심지어 함수가 그 자리에서 정의되지 않아도 괜찮아요.
구멍이 뚫린 자리라도 양쪽에서 다가가는 값이 같으면 극한은 분명히 있어요.
첫 그림에서 접근 정도를 높이면 왼쪽 파란 점과 오른쪽 주황 점이 구멍이 난 x = 1 로 다가가고, 두 점의 함숫값이 모두 2 에 모여요.
극한이란
x = 1 에서 (x² − 1)/(x − 1) 은 분모가 0 이 되어 값을 계산할 수 없다. 그래도 x = 0.9 이면 1.9, x = 1.1 이면 2.1, x = 0.99 이면 1.99 처럼 둘레의 값은 하나같이 2 쪽으로 몰린다. 함수의 극한은 이렇게 그 점에 들어가지 않고, 둘레의 값이 어디로 모이는지를 묻는 개념이다.
🎯 극한의 생각
①x 가 a 에 한없이 가까워질 때 f(x) 가 어떤 값에 가까워지는지를 묻는다
②x 가 실제로 a 에 닿을 필요는 없고, 다가가는 동안의 값만 본다
③왼쪽에서 다가갈 때의 좌극한과 오른쪽에서 다가갈 때의 우극한이 같아야 극한값이 있다
④f(a) 가 정의되지 않아도 극한은 있을 수 있다
20 %
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x = 1 에 구멍이 난 f(x) = (x² − 1)/(x − 1). 양쪽에서 다가가는 두 점의 함숫값이 2 로 모인다
첫 그림의 초록 직선은 y = x + 1 과 같지만 x = 1 에 빨간 빈 원이 뚫려 있다. 접근 정도 t 를 키우면 파란 점은 왼쪽에서, 주황 점은 오른쪽에서 x = 1 로 다가가고, 위에 두 점의 x 와 f(x) 가 적힌다. t = 95 % 이면 두 점은 x = 0.9 와 1.1 에 있고 함숫값은 1.9 와 2.1 이다. 둘째 그림에서 ε 을 줄이면 주황 띠가 좁아지고, 그 안에 들어오도록 파란 띠 δ = ε/2 도 함께 좁아진다.
💡 그림에서 볼 것
①파란 점(왼쪽)과 주황 점(오른쪽)이 모두 높이 2 로 다가간다
②f(1) 은 정의되지 않지만(빈 원) 극한값은 2 이다
③분자를 인수분해하면 (x + 1)(x − 1)/(x − 1) 이고, x ≠ 1 이면 x + 1 과 같다
ε-δ 로 정확히 말하기(심화)
빨간 빈 원을 보고 극한이 없다고 생각하기 쉽지만, 빈 원은 x = 1 에서 함숫값이 없다는 표시일 뿐이다. 양쪽 점이 같은 높이 2 로 모이므로 극한은 2 이다. 반대로 함숫값 f(a) 가 있다고 해서 그것이 곧 극한값인 것도 아니다. 좌극한과 우극한이 다르면 f(a) 가 있어도 극한은 없다. 또 0/0 꼴에 값을 바로 넣으면 식이 성립하지 않으므로, 먼저 약분할 수 있는 인수가 있는지 본다.
1.5
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f(x) = 2x 에서 L = 4 둘레의 ε 띠(주황)와 a = 2 둘레의 δ 띠(파랑). ε 을 줄이면 δ = ε/2 도 함께 줄어든다
극한의 정의 (ε-δ)
limx→a f(x) = L
어떤 ε > 0 에 대해서도 알맞은 δ > 0 이 있어, 0 < |x − a| < δ 이면 |f(x) − L| < ε 이다
🔑 ε-δ 읽는 법
①ε 은 y 쪽에서 허락하는 오차의 폭(주황 띠)이다
②δ 는 x 를 그 안에 두면 f(x) 가 ε 띠에 들어가는 x 쪽의 폭(파란 띠)이다
③ε 을 아무리 작게 잡아도 알맞은 δ 를 늘 찾을 수 있으면 극한이 있다
④이 정의는 고등학교 교과 범위를 넘는 심화 내용이다
극한의 기본 성질
2
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f(x) = x²/3(초록)과 k · f(x)(주황). x → 3 에서 f(x) 는 3, k · f(x) 는 3k 로 다가간다
극한의 사칙연산
lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x)
극한값이 있을 때 합, 차, 곱, 몫의 극한은 각 극한값으로 계산한다(몫은 분모의 극한이 0 이 아닐 때)
상수배
lim k·f(x) = k · lim f(x)
상수는 극한 밖으로 꺼낼 수 있다
미리 보는 극한(미적분)
삼각함수 기본 극한
limx→0sin xx = 1
미적분에서 다룬다. x 는 라디안으로 잰다
지수함수의 극한
limx→0ex - 1x = 1
미적분에서 다룬다. e 는 자연로그의 밑이다
로그함수의 극한
limx→0ln(1 + x)x = 1
미적분에서 다룬다. 위 식에서 치환으로 얻는다
정리
극한의 정의
limx→a f(x) = L ⟺ 좌극한 = 우극한 = L
양쪽에서 같은 값에 다가가야 극한이 있다
🎯 시험 포인트
①좌극한과 우극한이 다르면 극한은 없다
②f(a) 와 극한값은 서로 다른 개념이고, f(a) 가 없어도 극한은 있을 수 있다
③0/0 꼴은 인수분해나 유리화로 약분한 뒤 값을 넣는다
④극한의 사칙연산은 각 극한값이 있을 때만 쓸 수 있다
⑤몫의 극한에서 분모의 극한이 0 이면 따로 따져야 한다
예제와 기출
예제 1
limx→2 (x² − 4)/(x − 2) 의 값을 구하시오.
1
x = 2 를 넣으면 0/0 이 되므로 분자를 인수분해해 약분한다.
x2 - 4x - 2 = (x+2)(x-2)x-2 = x + 2
2
약분한 x + 2 에 x = 2 를 넣는다.
limx→2 (x + 2) = 4
▸ 4
약분은 x ≠ 2 일 때만 할 수 있지만, 극한은 x = 2 가 아닌 둘레의 값만 보므로 문제가 없다.
예제 2
limx→0 (sin 3x)/x 의 값을 구하시오.
1
sin x / x → 1 을 쓰려면 분모를 sin 안의 3x 와 맞춰야 한다.
sin 3xx = 3 × sin 3x3x
2
x → 0 이면 3x → 0 이므로 sin 3x / 3x → 1 이다.
3 × 1 = 3
▸ 3
sin 안의 식과 분모가 같은 꼴일 때만 극한이 1 이다. 그래서 3 을 곱하고 나누어 꼴을 맞춘다.