수학II 함수의 극한

극한이란 무엇인가

한 점에 숫자를 넣을 수 없어도, 그 점 근처에서 함숫값이 어디로 붙는지는 따로 물을 수 있다. 그 물음이 함수의 극한이고, 0/0 처럼 대입이 막히는 식에서도 근처 값을 정리하는 이유가 된다. 좌극한과 우극한이 같아야 극한값이 있다고 보는 것도, 한쪽만 보고 결론을 내면 반대쪽이 다른 높이에 있을 수 있기 때문이다. 연속은 그 극한값과 f(a) 를 나중에 비교하는 말이라서, 먼저 다가가는 쪽을 확인하는 순서가 필요하다. 극한의 합·차·곱·몫은 각 극한을 구한 뒤 계산하고, 몫에서는 분모 극한이 0 이 아니어야 해요.

접근 그림에는 f(x) = (x² − 1)/(x − 1) 이 초록 곡선으로 그려져 있고, x = 1 자리에는 빨간 빈 원이 높이 2 에 있다. 왼쪽에는 파란 점이, 오른쪽에는 주황 점이 곡선 위에 찍혀 있으며, 점선은 x = 1 과 y = 2 에 놓여 있다. 접근 정도 t 는 0 % 부터 95 % 까지이고, t 를 키우면 두 점이 구멍에 더 가까운 자리에 다시 찍힌다. 가운데 그림은 f(x) = 2x 이고 극한은 x → 2 에서 4 다. 주황 띠가 L = 4 둘레의 ε 이고 파란 띠가 a = 2 둘레의 δ 이며, 이 직선에서는 δ = ε/2 로 맞춰져 있다. ε 은 0.3 부터 3.0 까지이고, 아래 그림에는 초록 f(x) = x²/3 과 주황 k · f(x) 가 겹쳐 있으며 k 는 0.5 부터 3.0 까지예요.

엡실론-델타 정의 (심화)

빨간 빈 원만 보고 극한이 없다고 단정하기 쉽다. 그 빈 원은 x = 1 에서 함숫값이 비어 있다는 표시이고, 극한이 없다는 판정과는 다른 말이다. 이 그림의 파란 점과 주황 점은 같은 높이 2 쪽으로 자리를 옮기므로, 구멍이 있어도 극한 후보는 하나다. 반대로 f(a) 숫자가 있다고 해서 그 값이 곧 극한인 것도 아니다. 좌우가 다른 높이에 있으면 함숫값이 있어도 극한은 없고, 그때는 연속도 성립하지 않는다. 0/0 꼴에 목표 값을 바로 넣으면 식이 무너지므로, 먼저 약분할 수 있는 인수가 있는지를 봐요.

극한의 기본 성질

주요 극한값

총정리

예제와 기출