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고등학교 2학년 (16-17세)

수학I 점화식

Recurrence Relations

점화식은 첫째항 하나와, 앞 항에서 다음 항을 만드는 규칙 하나로 수열 전체를 정하는 방법이에요. 시작하는 수와 규칙만 있으면 규칙을 되풀이해 둘째 항, 셋째 항, 넷째 항을 끝없이 만들어 갈 수 있어요. 늘 같은 수를 더하면 등차수열, 늘 같은 수를 곱하면 등비수열이 되고, 더하는 양이 n 에 따라 바뀌면 그 양들을 시그마로 모아 일반항을 구해요. 그림에서 만든 항의 수를 늘리면 a₁ = 1 에서 출발해 2씩 더해 가는 점이 하나씩 이어져요.

앞 항으로 다음 항을 만든다

5
👀 점화식이 수열을 정하는 방식
①점화식은 첫째항과 「앞 항으로 다음 항을 만드는 규칙」으로 수열을 정한다
②a₁ 에서 시작해 규칙을 되풀이하면 모든 항이 하나씩 정해진다
③이렇게 수열을 정하는 것을 수열의 귀납적 정의라고 한다
④그림의 점들은 한 칸마다 2씩 올라가므로 한 직선 위에 놓인다

등차형과 등비형

등차형 점화식
an+1 = an + d ⇒ 등차수열, an = a1 + (n−1)d
늘 같은 값 d 를 더하면 공차가 d 인 등차수열이다
등비형 점화식
an+1 = r·an ⇒ 등비수열, an = a1·rn-1
늘 같은 수 r 을 곱하면 공비가 r 인 등비수열이다

계차형: 더하는 양이 바뀔 때

계차형 점화식
an+1 = an + f(n) ⇒ an = a1 + ∑k=1n-1 f(k)
더하는 양 f(n) 이 n 에 따라 바뀌면, 첫째항에 f(1) 부터 f(n − 1) 까지의 합을 더해 일반항을 구한다

예제로 확인하기

예제 1
a1=3, an+1=an+2 일 때 a5를 구하시오.
1
앞 항에 늘 2 를 더하므로 첫째항 3, 공차 2 인 등차수열이다.
an = 3 + (n−1)·2
2
일반항에 n = 5 를 넣는다.
a5 = 3 + 4·2 = 11
▸ 11
「앞 항 + 상수」 꼴이면 항을 하나씩 만들 필요 없이 등차수열의 일반항을 바로 쓸 수 있다. 3, 5, 7, 9, 11 로 차례로 적어도 같다.
예제 2
a1=1, an+1=2an+1 일 때 a4를 구하시오.
1
규칙을 a₁ = 1 부터 차례로 적용한다.
a2=3, a3=7, a4=15
2
a₄ 는 a₃ = 7 을 두 배 해서 1 을 더한 값이다.
a4 = 2·7 + 1 = 15
▸ 15
2aₙ + 1 꼴은 등차도 등비도 아니라서 작은 항부터 직접 만드는 편이 빠르다. 1, 3, 7, 15 는 각각 2¹ − 1, 2² − 1, 2³ − 1, 2⁴ − 1 이므로 aₙ = 2ⁿ − 1 로 짐작할 수 있다.

정리

핵심 정리
an+1=an+d (등차), an+1=r an (등비), an+1=an+f(n) (계차)
점화식의 꼴을 보고 등차형, 등비형, 계차형 가운데 무엇인지 먼저 가린다
2020 수능 수학 유형 변형
a1=2, an+1=an+3 으로 정의된 수열에서 a10의 값은?
①26
②29
③32
④35
⑤38
▸ ② 29
1
앞 항에 늘 3 을 더하므로 첫째항 2, 공차 3 인 등차수열이다.
an = 2 + (n−1)·3
2
일반항에 n = 10 을 넣으면 2 에 3 을 아홉 번 더한 값이 된다.
a10 = 2 + 9·3 = 29
🎯 시험 포인트
①점화식의 꼴부터 가린다: 늘 d 를 더하면 등차, 늘 r 을 곱하면 등비
②계차형 aₙ₊₁ = aₙ + f(n) 은 시그마로 푼다
③꼴이 낯설면 a₁ 부터 몇 항을 직접 만들어 규칙을 짐작한다
④첫째항과 규칙, 두 가지가 수열을 완전히 정한다
⑤일반항을 구한 뒤에는 항 번호를 정확히 넣는다
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