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고등학교 수학
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수학Ⅰ
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수열
고등학교 2학년 (16-17세)
점화식
Recurrence Relations
앞 항으로 다음 항을 만든다
a₁=1, aₙ₊₁=aₙ+2 의 점화식이 항을 차례로 만들어 가는 모습
만든 항의 수 n
5
👀 눈으로 보자
①점화식은 첫째항과 "다음 항 = 앞 항으로 만드는 규칙"으로 수열을 정의한다
②a₁을 시작으로 규칙을 반복 적용하면 모든 항이 정해진다
③이를 수열의 귀납적 정의라 한다
등차형과 등비형
등차형 점화식
a
n+1
= a
n
+ d ⇒ 등차수열, a
n
= a
1
+ (n−1)d
일정한 값 d를 더하면 등차수열
등비형 점화식
a
n+1
= r·a
n
⇒ 등비수열, a
n
= a
1
·r
n-1
일정한 비 r을 곱하면 등비수열
계차형 — 더하는 양이 변할 때
계차형 점화식
a
n+1
= a
n
+ f(n) ⇒ a
n
= a
1
+ ∑
k=1
n-1
f(k)
더하는 양이 n에 따라 변하면 그 합(시그마)으로 일반항을 구한다
직접 구해 보자
예제 1
a
1
=3, a
n+1
=a
n
+2 일 때 a
5
를 구하시오.
1
일정한 값 2를 더하므로 공차 2인 등차수열.
a
n
= 3 + (n−1)·2
2
n=5를 대입한다.
a
5
= 3 + 4·2 = 11
▸
11
"앞 항 + 상수" 꼴이면 곧바로 등차수열 일반항을 쓰면 된다.
예제 2
a
1
=1, a
n+1
=2a
n
+1 일 때 a
4
를 구하시오.
1
규칙을 차례로 적용한다.
a
2
=3, a
3
=7, a
4
=15
2
항을 직접 계산해 a
4
를 얻는다.
a
4
= 2·7 + 1 = 15
▸
15
규칙이 등차·등비가 아니면, 작은 항부터 직접 만들어 보는 것이 빠르다.
총정리
핵심 정리
a
n+1
=a
n
+d (등차), a
n+1
=r a
n
(등비), a
n+1
=a
n
+f(n) (계차)
점화식의 꼴을 보고 등차·등비·계차 중 무엇인지 먼저 판별
2020 수능 수학 유형 변형
a
1
=2, a
n+1
=a
n
+3 으로 정의된 수열에서 a
10
의 값은?
①
26
②
29
③
32
④
35
⑤
38
▸
② 29
1
공차 3인 등차수열이다.
a
n
= 2 + (n−1)·3
2
n=10을 대입한다.
a
10
= 2 + 9·3 = 29
🎯 시험 포인트
①점화식 꼴부터 판별: +d면 등차, ×r이면 등비
②계차형 a_{n+1}=a_n+f(n)은 시그마로
③안 풀리면 a_1부터 몇 항 직접 만들어 규칙 추측
④첫째항과 규칙 두 가지가 수열을 완전히 결정
⑤일반항을 구한 뒤 항 번호를 정확히 대입
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수학적 귀납법