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내 단어장
고등학교 2학년 (16-17세)

점화식

Recurrence Relations

점화식은 첫째항 하나와 앞 항에서 다음 항을 만드는 규칙만으로 수열 전체를 정하는 방법이에요. 시작점 하나와 규칙만 있으면 그 규칙을 계속 반복해서 둘째항, 셋째항, 넷째항을 끝없이 만들어 갈 수 있어요. 일정한 값을 더하면 등차수열, 일정한 비를 곱하면 등비수열이 되고, 더하는 양이 점점 바뀌면 그 변화들을 시그마로 모아 일반항을 구해요. 이 페이지에서는 슬라이더로 항을 하나씩 늘려 가며 점화식이 수열을 실제로 그려 나가는 과정을 눈으로 따라가 봐요.

앞 항으로 다음 항을 만든다
5
👀 눈으로 보자
①점화식은 첫째항과 "다음 항 = 앞 항으로 만드는 규칙"으로 수열을 정의한다
②a₁을 시작으로 규칙을 반복 적용하면 모든 항이 정해진다
③이를 수열의 귀납적 정의라 한다
등차형과 등비형
등차형 점화식
an+1 = an + d ⇒ 등차수열, an = a1 + (n−1)d
일정한 값 d를 더하면 등차수열
등비형 점화식
an+1 = r·an ⇒ 등비수열, an = a1·rn-1
일정한 비 r을 곱하면 등비수열
계차형: 더하는 양이 변할 때
계차형 점화식
an+1 = an + f(n) ⇒ an = a1 + ∑k=1n-1 f(k)
더하는 양이 n에 따라 변하면 그 합(시그마)으로 일반항을 구한다
직접 구해 보자
예제 1
a1=3, an+1=an+2 일 때 a5를 구하시오.
1
일정한 값 2를 더하므로 공차 2인 등차수열.
an = 3 + (n−1)·2
2
n=5를 대입한다.
a5 = 3 + 4·2 = 11
▸ 11
"앞 항 + 상수" 꼴이면 곧바로 등차수열 일반항을 쓰면 된다.
예제 2
a1=1, an+1=2an+1 일 때 a4를 구하시오.
1
규칙을 차례로 적용한다.
a2=3, a3=7, a4=15
2
항을 직접 계산해 a4를 얻는다.
a4 = 2·7 + 1 = 15
▸ 15
규칙이 등차·등비가 아니면, 작은 항부터 직접 만들어 보는 것이 빠르다.
총정리
핵심 정리
an+1=an+d (등차), an+1=r an (등비), an+1=an+f(n) (계차)
점화식의 꼴을 보고 등차·등비·계차 중 무엇인지 먼저 판별
2020 수능 수학 유형 변형
a1=2, an+1=an+3 으로 정의된 수열에서 a10의 값은?
①26
②29
③32
④35
⑤38
▸ ② 29
1
공차 3인 등차수열이다.
an = 2 + (n−1)·3
2
n=10을 대입한다.
a10 = 2 + 9·3 = 29
🎯 시험 포인트
①점화식 꼴부터 판별: +d면 등차, ×r이면 등비
②계차형 a_{n+1}=a_n+f(n)은 시그마로
③안 풀리면 a_1부터 몇 항 직접 만들어 규칙 추측
④첫째항과 규칙 두 가지가 수열을 완전히 결정
⑤일반항을 구한 뒤 항 번호를 정확히 대입
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수학적 귀납법
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