고등학교 2~3학년 (16-18세)

수학II 함수의 연속

Continuity of Functions

함수가 연속이라는 것은 그래프를 펜을 종이에서 떼지 않고 한 번에 그릴 수 있다는 뜻이에요. 중간에 끊기거나, 계단처럼 뛰어오르거나, 구멍이 뚫린 곳이 없어야 해요. 엄밀하게는 x = a 에서 함숫값 f(a) 와 극한값이 모두 있고 그 둘이 같을 때 x = a 에서 연속이라고 해요. 둘째 그림의 세 버튼으로 연속, 점프 불연속, 제거 가능 불연속을 견주고, 넷째 그림에서 높이 k 를 바꾸면 중간값 정리가 말하는 점 c 를 찾을 수 있어요.

연속의 직관

✏ 연속이란

①펜을 종이에서 떼지 않고 그릴 수 있는 그래프이다

②끊기거나 뛰어오르거나 구멍이 난 곳이 없다

③이 느낌을 식으로 옮긴 것이 아래의 세 조건이다

연속과 불연속 견주기

연속의 세 조건

x = a에서 연속 ⟺ ①f(a) 존재 ②lim_x→a f(x) 존재 ③lim_x→a f(x) = f(a)

세 조건 가운데 하나라도 어긋나면 불연속이다

🔍 불연속의 종류

①점프 불연속: 좌극한과 우극한이 달라 그래프가 뛰어오른다

②제거 가능 불연속: 극한값은 있지만 f(a) 가 없거나 극한값과 달라 구멍이 난다

③무한 불연속: 극한이 양 또는 음의 무한대로 발산해 수직 점근선이 생긴다(그림에는 없다)

④제거 가능 불연속은 f(a) 를 극한값으로 다시 정하면 연속이 된다

연속함수의 성질

연속함수의 사칙연산

f, g가 연속이면 f ± g, f · g, f/g (g ≠ 0) 모두 연속

연속함수끼리 더하고 빼고 곱한 함수도 연속이고, 나눈 함수는 분모가 0 이 아닌 곳에서 연속이다

합성함수의 연속

f가 a에서 연속, g가 f(a)에서 연속 → g ∘ f가 a에서 연속

연속함수를 합성한 함수도 연속이다

중간값 정리

높이 k0.5

중간값 정리

f(a) < k < f(b) 이면 f(c) = k인 c ∈ (a, b) 존재

f 가 [a, b] 에서 연속일 때 성립한다. f(a) > f(b) 여도 k 가 두 값 사이에 있으면 같다

💡 중간값 정리 쓰기

①f(a) < 0 < f(b) 이면 f(c) = 0 인 c 가 (a, b) 에 적어도 하나 있다

②그래서 방정식의 실근이 어느 구간에 있는지 보일 때 쓴다

③f 가 [a, b] 에서 연속이 아니면 쓸 수 없다

④정리는 c 가 있다는 것만 말할 뿐 몇 개인지는 말하지 않는다. 그림에서 k 가 −1 과 3 사이이면 c 가 세 개 찍힌다

정리

연속의 정의

lim_x→a f(x) = f(a)

극한값과 함숫값이 같으면 연속이다

🎯 시험 포인트

①연속의 세 조건: f(a) 가 있다, 극한값이 있다, 둘이 같다

②다항함수는 모든 실수에서 연속이고, 유리함수는 분모가 0 이 아닌 곳에서 연속이다

③불연속인지 가릴 때는 좌극한과 우극한부터 견준다

④중간값 정리: 연속함수의 부호가 바뀌면 그 사이에 근이 있다

⑤미정계수 문제는 좌극한 = 우극한 = f(a) 로 상수를 정한다

예제와 기출

예제 1

함수 f(x) = (x² − 1)/(x − 1) (x ≠ 1), f(1) = k 가 x = 1에서 연속이 되도록 상수 k를 정하시오.

x = 1 에서 연속이려면 극한값과 f(1) = k 가 같아야 한다.

x² - 1x - 1 = x + 1 (x ≠ 1)

x ≠ 1 에서는 약분하면 x + 1 이므로 극한값은 2 이다.

lim_x→1 (x + 1) = 2 = k

▸ k = 2

원래 함수는 x = 1 에 구멍이 난 직선 y = x + 1 이다. 그 구멍을 k = 2 로 메우면 연속이 된다.

예제 2

함수 f(x) = x² − 3 에 대하여 방정식 f(x) = 0 이 구간 (1, 2)에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 설명하시오.

f 는 다항함수라서 [1, 2] 에서 연속이므로 양 끝 함숫값의 부호를 본다.

f(1) = -2 < 0, f(2) = 1 > 0

부호가 다르므로 중간값 정리에 따라 f(c) = 0 인 c 가 (1, 2) 에 있다.

f(1) < 0 < f(2) ⟹ f(c) = 0, c ∈ (1, 2)

▸ 구간 (1, 2)에 실근이 존재한다.

실제 근은 √3 ≈ 1.73 이다. 중간값 정리만으로 근의 값은 알 수 없지만 근이 있는 구간은 알 수 있다.

2022 평가원 모평 수학 유형 변형

함수 f(x) = { 2x + a (x ≤ 1), x² + 2 (x > 1) } 가 x = 1에서 연속일 때, 상수 a의 값은?

①1

②3

③2

④-1

⑤0

▸ ① 1

x = 1 에서 연속이려면 좌극한, 우극한, f(1) 이 모두 같아야 한다.

좌극한 = 2(1) + a = 2 + a, 우극한 = 1² + 2 = 3

좌극한 2 + a 와 우극한 3 을 같게 둔다.

2 + a = 3 ⟹ a = 1

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함수의 극한

미분계수와 도함수

마지막 수정 2026-10-17

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