수학II 함수의 연속

Continuity of Functions

함수가 연속이라는 건 펜을 종이에서 떼지 않고 단숨에 그릴 수 있다는 뜻이에요. 중간에 뚝 끊기거나, 계단처럼 점프하거나, 콕 구멍이 뚫린 곳이 하나도 없는 매끄러운 곡선인 거죠. 엄밀하게는 그 점에서 극한값과 함숫값이 딱 맞아떨어질 때 비로소 연속이라고 불러요. 연속·점프·제거 가능 버튼을 누르면 매끄럽던 그래프가 어디서 어떻게 끊기는지 보여요.

연속의 직관

✏ 연속이란?

①"펜을 떼지 않고 그릴 수 있는 그래프"

②끊기지 않고, 점프하지 않고, 구멍이 없는 매끄러운 곡선

③수학적으로는 세 가지 조건을 동시에 만족해야 합니다

연속과 불연속의 비교

연속의 세 가지 조건

x = a에서 연속 ⟺ ①f(a) 존재 ②lim_x→a f(x) 존재 ③lim_x→a f(x) = f(a)

세 조건 중 하나라도 불만족 → 불연속

🔍 불연속의 유형

①점프 불연속: 좌극한 ≠ 우극한 (계단 함수)

②제거 가능 불연속: 극한은 존재하지만 f(a) ≠ 극한값 (구멍)

③무한 불연속: 극한 자체가 ±∞ (수직 점근선)

④그림 버튼은 연속·점프·제거 가능만. 무한 불연속은 글

연속함수의 성질

연속함수의 사칙연산

f, g가 연속이면 f ± g, f · g, f/g (g ≠ 0) 모두 연속

연속함수끼리 더하고 빼고 곱해도 연속

합성함수의 연속

f가 a에서 연속, g가 f(a)에서 연속 → g ∘ f가 a에서 연속

연속함수의 합성은 연속

중간값 정리

목표값 k0.5

중간값 정리

f(a) < k < f(b) 이면 f(c) = k인 c ∈ (a, b) 존재

[a, b]에서 연속이 가설이다. f(a) > f(b)여도 사이값이면 성립. 방정식의 근의 존재성 증명에 활용

💡 중간값 정리 활용

①"f(a) < 0이고 f(b) > 0이면, (a, b) 사이에 f(c) = 0인 근이 존재한다"

②방정식의 실근 존재성 증명에 필수

③반드시 f가 [a, b]에서 연속이어야 적용 가능

총정리

연속의 정의

lim_x→a f(x) = f(a)

극한값과 함수값이 같으면 연속

🎯 시험 포인트

①연속 3조건: f(a) 존재 + 극한 존재 + 둘이 같다

②다항함수, 삼각함수, 지수/로그함수는 정의역 내에서 항상 연속

③불연속 판별: 좌극한과 우극한 비교가 핵심

④중간값 정리: 연속함수의 근 존재성 증명 → "부호가 바뀌면 근이 있다"

⑤미정계수 문제: 연속 조건(좌극한=우극한=f(a))으로 상수 결정

예제와 기출

예제 1

함수 f(x) = (x² − 1)/(x − 1) (x ≠ 1), f(1) = k 가 x = 1에서 연속이 되도록 상수 k를 정하시오.

x=1에서 연속이려면 lim_x→1 f(x) = f(1) = k 이어야 한다.

x² - 1x - 1 = x + 1 (x ≠ 1)

극한값을 구해 k와 같게 둔다.

lim_x→1 (x + 1) = 2 = k

▸ k = 2

제거 가능 불연속은 함수값을 극한값과 같게 정의하면 연속이 된다.

예제 2

함수 f(x) = x² − 3 에 대하여 방정식 f(x) = 0 이 구간 (1, 2)에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 설명하시오.

f는 다항함수이므로 [1, 2]에서 연속이고, 양 끝 함숫값의 부호를 본다.

f(1) = -2 < 0, f(2) = 1 > 0

부호가 다르므로 중간값 정리에 의해 f(c) = 0 인 c가 (1, 2)에 존재한다.

f(1) < 0 < f(2) ⟹ f(c) = 0, c ∈ (1, 2)

▸ 구간 (1, 2)에 실근이 존재한다.

연속함수가 양 끝에서 부호가 바뀌면 그 사이에 근이 존재한다 (중간값 정리).

2022 평가원 모평 수학 유형 변형

함수 f(x) = { 2x + a (x ≤ 1), x² + 2 (x > 1) } 가 x = 1에서 연속일 때, 상수 a의 값은?

①1

②3

③2

④-1

⑤0

▸ ① 1

x=1에서 연속이려면 좌극한 = 우극한 = f(1) 이어야 한다.

좌극한 = 2(1) + a = 2 + a, 우극한 = 1² + 2 = 3

두 값을 같게 둔다.

2 + a = 3 ⟹ a = 1