미분계수와 도함수

Derivative and Differentiation

미분은 지금 이 순간 함수가 얼마나 빠르게 변하는지를 콕 집어내는 도구예요. 두 점을 잇는 할선의 기울기(평균 변화율)에서 출발해 두 점 사이 간격을 0으로 좁혀 가면, 곡선에 살짝 닿는 접선의 기울기(순간 변화율)가 돼요. 이렇게 얻은 접선의 기울기가 바로 그 점에서의 미분계수랍니다. Δx 슬라이더를 줄여서 파란 할선이 주황 접선으로 스르륵 겹쳐지는 순간을 확인해 봐요.

미분의 핵심 아이디어

💡 미분이란?

①"순간적인 변화율"을 구하는 것

②평균 변화율(할선의 기울기)에서 Δx → 0으로 보내면 → 순간 변화율(접선의 기울기)

③곡선 위의 한 점에서의 기울기를 정확히 구할 수 있습니다

할선에서 접선으로

점 a의 위치1

Δx (간격)1.5

미분계수의 정의

f'(a) = lim_Δx→0 f(a + Δx) - f(a)Δx

점 x = a에서의 순간 변화율 = 접선의 기울기

🔑 할선 → 접선 과정

①할선(secant): 두 점을 지나는 직선 → 평균 변화율

②Δx를 줄여가면 두 번째 점이 첫 번째 점에 가까워짐

③Δx → 0 극한: 할선이 접선으로 수렴 → 순간 변화율!

기본 미분공식

거듭제곱의 미분

(xⁿ)' = nx^n-1

n이 실수일 때 성립: 가장 기본이 되는 미분공식

상수배, 합, 차의 미분

(cf)' = cf', (f ± g)' = f' ± g'

상수배는 밖으로, 합/차는 각각 미분

곱의 미분법

(fg)' = f'g + fg'

앞 미분 뒤 그대로 + 앞 그대로 뒤 미분

몫의 미분법

(fg)' = f'g - fg'g²

(분자 미분 × 분모 - 분자 × 분모 미분) / 분모의 제곱

도함수의 의미

x 위치0

💡 f(x)와 f'(x)의 관계

①f'(x) > 0 → f(x)는 증가 구간

②f'(x) < 0 → f(x)는 감소 구간

③f'(x) = 0 → f(x)의 극대 또는 극소 후보

총정리

미분계수

f'(a) = lim_h→0 f(a+h) - f(a)h

점 a에서의 접선의 기울기

🎯 시험 포인트

①미분 가능 → 연속 (역은 성립하지 않음! |x|는 x=0에서 연속이나 미분 불가)

②(x^n)' = nx^{n-1}이 모든 미분의 기초

③곱의 미분: f'g + fg'. 교차해서 미분

④f'(a) = 0인 점에서 극값 판별: 부호 변화 확인

⑤접선의 방정식: y - f(a) = f'(a)(x - a)

예제와 기출

예제 1

f(x) = x² 일 때, 미분계수의 정의를 이용하여 f'(2) 를 구하시오.

정의에 대입한다. f'(2) = lim_h→0 [f(2+h) − f(2)]/h.

f'(2) = lim_h→0 (2+h)² - 2²h

전개하고 약분한 뒤 h → 0 으로 보낸다.

= lim_h→0 4h + h²h = lim_h→0 (4 + h) = 4

▸ f'(2) = 4

미분계수는 접선의 기울기이며, 정의는 평균변화율의 극한이다.

예제 2

f(x) = x³ − 2x² + 5 의 도함수 f'(x) 를 구하시오.

거듭제곱의 미분 (xⁿ)' = nx^n-1 을 각 항에 적용한다.

(x³)' = 3x², (2x²)' = 4x, (5)' = 0

항별로 합쳐 도함수를 완성한다.

f'(x) = 3x² - 4x

▸ f'(x) = 3x² − 4x

다항함수는 각 항에 거듭제곱 미분을 적용한다 (상수의 미분은 0).

2023 수능 수학 유형 변형

f(x) = x² + 3x 의 x = 1에서의 미분계수 f'(1) 의 값은?

①5

②4

③2

④3

⑤8

▸ ① 5

도함수를 구한다. f'(x) = 2x + 3.

f'(x) = (x²)' + (3x)' = 2x + 3

x = 1 을 대입한다.

f'(1) = 2(1) + 3 = 5