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고등학교 2~3학년 (16-18세)

수학II 미분계수와 도함수

Derivative and Differentiation

미분은 함수가 바로 그 순간 얼마나 빠르게 변하는지를 재는 방법이에요. 두 점을 잇는 할선의 기울기인 평균변화율에서 출발해 두 점 사이 간격을 0 으로 좁혀 가면, 곡선에 한 점에서 닿는 접선의 기울기인 순간변화율이 돼요. 이렇게 얻은 접선의 기울기가 그 점에서의 미분계수이고, x 마다 미분계수를 짝지은 함수가 도함수예요. 첫 그림에서 Δx 를 줄이면 파란 할선이 주황 접선에 겹쳐 가고, 둘째 그림에서는 위의 f(x) 와 아래의 도함수 f'(x) 를 같은 x 에서 견줄 수 있어요.

미분의 생각

💡 미분이란
①한 순간의 변화율을 구하는 일이다
②평균변화율(할선의 기울기)에서 Δx → 0 으로 보내면 순간변화율(접선의 기울기)이 된다
③그래서 곡선 위의 한 점에서 기울기를 정확히 구할 수 있다
④미분 가능하면 연속이지만 그 역은 성립하지 않는다. y = |x| 는 x = 0 에서 연속이지만 뾰족해서 미분할 수 없다

할선에서 접선으로

1
1.5
미분계수의 정의
f'(a) = limΔx→0 f(a + Δx) - f(a)Δx
x = a 에서의 순간변화율, 곧 접선의 기울기이다
🔑 할선이 접선이 되는 과정
①할선은 곡선 위의 두 점을 지나는 직선이고, 기울기는 평균변화율이다
②f(x) = x² 이면 할선의 기울기는 2a + Δx 이다
③Δx 를 0 으로 보내면 할선의 기울기는 2a 로 다가가고, 이것이 접선의 기울기 f'(a) 이다

기본 미분 공식

거듭제곱의 미분
(xn)' = nxn-1
수학Ⅱ 에서는 n 이 자연수일 때를 다룬다. 실수 지수는 미적분에서 다룬다
상수배, 합, 차의 미분
(cf)' = cf', (f ± g)' = f' ± g'
상수배는 밖으로 꺼내고, 합과 차는 각각 미분한다
곱의 미분법
(fg)' = f'g + fg'
앞을 미분하고 뒤는 그대로, 더하기 앞은 그대로 두고 뒤를 미분
몫의 미분법
(fg)' = f'g - fg'g²
(분자를 미분 × 분모 − 분자 × 분모를 미분) ÷ 분모의 제곱. 미적분에서 다룬다

도함수의 뜻

0
💡 f(x) 와 f'(x) 의 관계
①f'(x) > 0 이면 f(x) 는 증가하는 구간에 있다
②f'(x) < 0 이면 f(x) 는 감소하는 구간에 있다
③f'(x) = 0 인 점은 극대나 극소의 후보이다. 그림에서 x = ±1 이 그 자리이다

정리

미분계수
f'(a) = limh→0 f(a+h) - f(a)h
점 a 에서의 접선의 기울기
🎯 시험 포인트
①미분 가능하면 연속이지만 역은 성립하지 않는다(y = |x| 는 x = 0 에서 미분할 수 없다)
②(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ 이 다항함수 미분의 기초이다
③곱의 미분은 f'g + fg'
④f'(a) = 0 인 점이 극값인지는 부호가 바뀌는지로 가린다
⑤접선의 방정식은 y − f(a) = f'(a)(x − a)

예제와 기출

예제 1
f(x) = x² 일 때, 미분계수의 정의를 이용하여 f'(2) 를 구하시오.
1
미분계수의 정의에 a = 2 를 넣는다.
f'(2) = limh→0 (2+h)2 - 22h
2
(2 + h)² − 4 = 4h + h² 이므로 h 로 약분한 뒤 h → 0 으로 보낸다.
= limh→0 4h + h2h = limh→0 (4 + h) = 4
▸ f'(2) = 4
약분하기 전에는 분모가 0 이 되어 h = 0 을 바로 넣을 수 없다. 약분해 4 + h 로 만든 뒤 극한을 구하는 것이 정의로 미분계수를 구하는 길이다.
예제 2
f(x) = x³ − 2x² + 5 의 도함수 f'(x) 를 구하시오.
1
각 항에 (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ 을 적용한다.
(x3)' = 3x2, (2x2)' = 4x, (5)' = 0
2
항마다 미분한 결과를 더한다. 상수 5 의 미분은 0 이다.
f'(x) = 3x2 - 4x
▸ f'(x) = 3x² − 4x
상수항은 그래프를 위아래로만 옮기고 기울기를 바꾸지 않으므로 미분하면 사라진다.
2023 수능 수학 유형 변형
f(x) = x² + 3x 의 x = 1에서의 미분계수 f'(1) 의 값은?
①5
②4
③2
④3
⑤8
▸ ① 5
1
도함수를 구하면 f'(x) = 2x + 3 이다.
f'(x) = (x2)' + (3x)' = 2x + 3
2
x = 1 을 넣는다.
f'(1) = 2(1) + 3 = 5
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함수의 연속
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도함수의 활용

마지막 수정

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