삼각함수

Trigonometric Functions

삼각함수는 반지름이 1인 단위원 위를 도는 점에서 출발하는데, 각도만큼 돌아간 점의 x좌표가 코사인, y좌표가 사인, 두 값의 비가 탄젠트가 돼요. 그래서 직각삼각형을 넘어 어떤 각도에서도 삼각비를 정의할 수 있고, 점이 어느 사분면에 있느냐에 따라 값의 부호가 정해져요. 반지름이 1이라는 사실 하나에서 sin²θ + cos²θ = 1 이라는 관계도 자연스럽게 나와요. 이 페이지에서는 각도 슬라이더로 점을 돌리며 사인과 코사인이 어떻게 변하는지, 특수각의 값과 사분면 부호까지 눈으로 익혀 봐요.

단위원 위의 점: sin, cos의 정의

각도 θ45°

💡 단위원이 삼각함수의 시작점이다

①반지름 1인 원 위의 점 P(cos θ, sin θ)

②cos θ = x좌표 (빨간색), sin θ = y좌표 (파란색)

③각도가 변하면 점이 원을 따라 회전

특수각의 삼각함수 값

30°-60°-90° 삼각비

sin 30° = 12, cos 30° = √32, tan 30° = 1√3

30° 삼각형에서 변의 비 1 : √3 : 2

45° 삼각비

sin 45° = √22, cos 45° = √22, tan 45° = 1

정사각형 대각선으로 만든 직각삼각형

삼각함수의 기본 관계

피타고라스 항등식

sin²θ + cos²θ = 1

단위원의 반지름이 1이므로 x² + y² = 1

탄젠트 정의

tan θ = sin θcos θ

기울기 = y/x

역수 관계

sec θ = 1cos θ, csc θ = 1sin θ, cot θ = 1tan θ

각 삼각함수의 역수

사분면별 부호

📐 사분면과 부호: ASTC 법칙

①제1사분면(0°~90°): sin+, cos+, tan+ (All)

②제2사분면(90°~180°): sin+, cos-, tan- (Sin)

③제3사분면(180°~270°): sin-, cos-, tan+ (Tan)

④제4사분면(270°~360°): sin-, cos+, tan- (Cos)

총정리

삼각함수 핵심

sin²θ + cos²θ = 1, tan θ = sin θcos θ

단위원에서 모든 삼각함수가 정의된다

🎯 시험 포인트

①단위원 정의: P(cos θ, sin θ)

②특수각 30°, 45°, 60°의 삼각비 암기

③피타고라스 항등식: sin²θ + cos²θ = 1

④사분면별 부호: ASTC 규칙

⑤tan θ = sin θ / cos θ (cos θ = 0일 때 정의 안 됨)

예제와 기출

예제 1

sin θ = 3/5 이고 θ가 제1사분면의 각일 때, cos θ 의 값을 구하시오.

피타고라스 항등식 sin²θ + cos²θ = 1 을 이용한다.

cos²θ = 1 - sin²θ = 1 - (3/5)² = 16/25

제1사분면에서 cos θ > 0 이므로 양의 제곱근을 택한다.

cos θ = √(16/25) = 4/5

▸ cos θ = 4/5

피타고라스 항등식으로 다른 값을 구하고, 사분면으로 부호를 정한다.

예제 2

tan θ = 1 이고 θ 가 제3사분면의 각일 때, sin θ 의 값을 구하시오.

tan θ = 1 이므로 기준각은 45°, 제3사분면의 각은 225°이다.

θ = 180° + 45° = 225°

제3사분면에서 sin θ < 0 이므로 sin 225° = −sin 45°.

sin θ = -√22

▸ sin θ = −√2/2

기준각의 삼각비를 구한 뒤 사분면 부호(ASTC)를 붙인다.

2023 수능 수학 유형 변형

cos θ = −1/2 이고 0° < θ < 180° 일 때, θ 의 값은?

①60°

②120°

③135°

④150°

⑤240°

▸ ② 120°

cos θ = −1/2 이므로 기준각은 60°이다.

cos 60° = 12

0°<θ<180°에서 cos θ < 0은 제2사분면이므로 θ = 180° − 60°.

θ = 180° - 60° = 120°