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고등학교 2학년 (16-17세)

수학I 삼각함수

Trigonometric Functions

삼각함수는 반지름이 1인 단위원 위를 도는 점에서 시작해요. 각 θ 만큼 돌아간 점의 x좌표가 코사인, y좌표가 사인이고, y좌표를 x좌표로 나눈 값이 탄젠트예요. 그래서 직각삼각형의 예각에서만 쓰던 삼각비를 어떤 각에서도 정의할 수 있고, 점이 어느 사분면에 있느냐에 따라 값의 부호가 정해져요. 반지름이 1이라는 사실 하나에서 sin²θ + cos²θ = 1 이라는 관계도 바로 나와요. 첫 그림에서 각을 바꾸면 점이 원을 따라 돌며 빨간 선(cos)과 파란 선(sin)의 길이가 바뀌고, 둘째 그림에는 특수각의 자리가 모여 있어요.

단위원 위의 점: sin, cos 의 정의

45°
💡 단위원이 삼각함수의 출발점이다
①반지름이 1인 원 위에서 각 θ 만큼 돌아간 점은 P(cos θ, sin θ) 이다
②cos θ 는 x좌표(빨간 선), sin θ 는 y좌표(파란 선)이다
③x좌표나 y좌표가 음수가 되는 사분면에서는 cos θ 나 sin θ 도 음수이다
④θ = 90°, 270° 에서는 cos θ = 0 이라 tan θ 가 정의되지 않는다

특수각의 삼각함수 값

30° 와 60° 의 삼각비
sin 30° = 12, cos 30° = √32, tan 30° = 1√3
30°, 60°, 90° 인 직각삼각형의 세 변의 비는 1 : √3 : 2 이다
45° 의 삼각비
sin 45° = √22, cos 45° = √22, tan 45° = 1
정사각형을 대각선으로 자른 직각삼각형으로, 세 변의 비는 1 : 1 : √2 이다

삼각함수 사이의 기본 관계

피타고라스 항등식
sin²θ + cos²θ = 1
점 P(cos θ, sin θ) 는 반지름 1 인 원 위에 있으므로 x² + y² = 1 이다
탄젠트의 정의
tan θ = sin θcos θ
원점과 점 P 를 잇는 반지름의 기울기 y/x 와 같다
역수 관계
sec θ = 1cos θ, csc θ = 1sin θ, cot θ = 1tan θ
세 삼각함수의 역수에도 이름이 붙어 있다

사분면에 따른 부호

📐 사분면과 부호
①제1사분면(0° < θ < 90°): sin, cos, tan 모두 양수
②제2사분면(90° < θ < 180°): sin 만 양수
③제3사분면(180° < θ < 270°): tan 만 양수
④제4사분면(270° < θ < 360°): cos 만 양수
⑤차례대로 「모두, sin, tan, cos」 이라 줄여 「올사탄코」 라고 외우기도 한다

정리

삼각함수 핵심
sin²θ + cos²θ = 1, tan θ = sin θcos θ
모든 삼각함수는 단위원 위의 점 하나로 정의된다
🎯 시험 포인트
①단위원에서 P(cos θ, sin θ)
②특수각 30°, 45°, 60° 의 삼각비
③sin²θ + cos²θ = 1
④사분면에 따른 부호: 모두, sin, tan, cos 순으로 양수
⑤tan θ = sin θ / cos θ 는 cos θ = 0 일 때 정의되지 않는다

예제와 기출

예제 1
sin θ = 3/5 이고 θ가 제1사분면의 각일 때, cos θ 의 값을 구하시오.
1
sin²θ + cos²θ = 1 에서 cos²θ 를 구한다.
cos²θ = 1 - sin²θ = 1 - (3/5)² = 16/25
2
제1사분면에서는 cos θ > 0 이므로 양의 제곱근을 고른다.
cos θ = √(16/25) = 4/5
▸ cos θ = 4/5
빗변 5, 높이 3 인 직각삼각형을 떠올리면 밑변은 4 이므로 cos θ = 4/5 이다. 항등식으로 크기를 구하고, 사분면으로 부호를 정한다.
예제 2
tan θ = 1 이고 θ 가 제3사분면의 각일 때, sin θ 의 값을 구하시오.
1
tan θ = 1 이므로 기준각은 45° 이고, 제3사분면의 각은 225° 이다.
θ = 180° + 45° = 225°
2
제3사분면에서는 sin θ < 0 이므로 sin 225° = −sin 45° 이다.
sin θ = -√22
▸ sin θ = −√2/2
제3사분면의 점은 x좌표와 y좌표가 모두 음수라서 그 비인 tan θ 는 양수가 된다. 그래서 tan θ = 1 이 제3사분면에서도 가능하다.
2023 수능 수학 유형 변형
cos θ = −1/2 이고 0° < θ < 180° 일 때, θ 의 값은?
①60°
②120°
③135°
④150°
⑤240°
▸ ② 120°
1
cos 60° = 1/2 이므로 기준각은 60° 이다.
cos 60° = 12
2
0° < θ < 180° 에서 cos θ < 0 인 곳은 제2사분면이므로 θ = 180° − 60° 이다.
θ = 180° - 60° = 120°
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