삼각함수의 그래프

Graphs of Trigonometric Functions

삼각함수의 그래프는 같은 모양이 끝없이 되풀이되는 물결 무늬예요. 원 위를 도는 점의 높이가 사인 곡선이 되어서, 진자나 파도, 소리처럼 주기적으로 반복되는 현상을 나타내기에 딱 맞아요. 식 앞의 계수는 물결의 높이(진폭)를, x에 곱한 수는 얼마나 촘촘한지(주기)를 정하고, 더하는 상수는 그래프를 위아래·좌우로 옮겨요. 이 페이지에서는 진폭과 주기, 이동량을 슬라이더로 바꿔 가며 곡선이 어떻게 변하는지 확인해 봐요.

sin, cos, tan 기본 그래프

💡 세 함수의 핵심 차이

①sin x: 원점 대칭(기함수), 주기 2π

②cos x: y축 대칭(우함수), 주기 2π

③tan x: 원점 대칭(기함수), 주기 π, 점근선 존재

진폭과 주기 조절

진폭 A1

주기6.28

위상이동 C0

수직이동 D0

주기와 진폭 공식

일반형

y = A sin(Bx + C) + D

A=진폭, 2π/B=주기, -C/B=위상이동, D=수직이동

주기 공식

주기 T = 2π|B|

B가 클수록 주기가 짧아진다 (빠른 진동)

📐 각 매개변수의 역할

①A (진폭): 그래프의 높이를 결정

②B (각진동수): 주기를 결정 (T = 2π/|B|)

③C (위상): 좌우 이동을 결정

④D (수직이동): 중심선 위치를 결정

총정리

삼각함수 그래프 핵심

y = A sin(Bx + C) + D → 진폭 |A|, 주기 2π|B|

네 가지 매개변수로 모든 정현파를 표현

🎯 시험 포인트

①sin, cos 주기 2π / tan 주기 π

②진폭 |A|, 주기 2π/|B| 공식 필수

③위상이동: C/B만큼 반대 방향으로 이동

④최댓값 A + D, 최솟값 -A + D

⑤sin과 cos의 관계: cos x = sin(x + π/2)

예제와 기출

예제 1

함수 y = 3 sin 2x 의 진폭과 주기를 구하시오.

일반형 y = A sin(Bx) 에서 진폭은 |A|이다.

진폭 = |A| = |3| = 3

주기는 2π/|B| 로 구한다.

주기 = 2π|2| = π

▸ 진폭 3, 주기 π

진폭은 |A|, 주기는 2π/|B|로 바로 읽는다.

예제 2

함수 y = 2 cos x + 1 의 최댓값과 최솟값을 구하시오.

cos x 의 값의 범위는 −1 ≤ cos x ≤ 1 이다.

-1 ≤ cos x ≤ 1

양 끝값을 대입해 최대·최소를 구한다.

최댓값 = 2(1)+1 = 3, 최솟값 = 2(-1)+1 = -1

▸ 최댓값 3, 최솟값 −1

최댓값 = |A| + D, 최솟값 = −|A| + D 로 바로 구한다.

2022 평가원 모평 수학 유형 변형

함수 y = 4 sin(2x − π) + 1 의 주기와 최댓값은?

①주기 π, 최댓값 5

②주기 2π, 최댓값 5

③주기 π, 최댓값 4

④주기 π/2, 최댓값 5

⑤주기 2π, 최댓값 4

▸ ① 주기 π, 최댓값 5

주기는 2π/|B|, 여기서 B = 2 이다.

주기 = 2π2 = π

최댓값 = |A| + D 이다.

최댓값 = |4| + 1 = 5