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고등학교 2학년 (16-17세)

수학I 삼각함수의 그래프

Graphs of Trigonometric Functions

삼각함수의 그래프는 같은 모양이 일정한 간격으로 끝없이 되풀이되는 물결 모양이에요. 단위원 위를 도는 점의 높이를 따라가면 사인 곡선이 되므로, 진자나 파도, 소리처럼 주기적으로 되풀이되는 현상을 나타내기에 알맞아요. y = A sin(Bx + C) + D 에서 A 는 물결의 높이인 진폭을, B 는 한 번 되풀이되는 길이인 주기를 정하고, C 와 D 는 그래프를 좌우와 위아래로 옮겨요. 첫 그림에서는 sin, cos, tan 의 모양을 견주어 보고, 둘째 그림에서는 네 수를 바꾸며 곡선이 늘고 줄고 옮겨 가는 모습을 볼 수 있어요.

sin, cos, tan 의 기본 그래프

💡 세 함수의 차이
①y = sin x 는 원점에 대해 대칭이고 주기는 2π 이다
②y = cos x 는 y축에 대해 대칭이고 주기는 2π 이며, y = sin x 를 왼쪽으로 π/2 만큼 옮긴 모양이다
③y = tan x 는 원점에 대해 대칭이고 주기는 π 이며, x = π/2 + nπ 에서 점근선을 가진다
④sin 과 cos 의 값은 −1 과 1 사이에 있지만, tan 의 값은 모든 실수이다

진폭과 주기, 평행이동

1
6.28
0
0

주기와 진폭 공식

일반형
y = A sin(Bx + C) + D
진폭 |A|, 주기 2π/|B|, 좌우 이동 −C/B, 위아래 이동 D
주기 공식
주기 T = 2π|B|
|B| 가 클수록 주기가 짧아져 물결이 촘촘해진다
📐 네 수가 하는 일
①A: 물결의 높이(진폭 |A|)를 정하고, 음수이면 위아래가 뒤집힌다
②B: 주기 2π/|B| 를 정한다
③C: 그래프를 x축 방향으로 −C/B 만큼 옮긴다
④D: 가운데 선을 y = D 로 올리거나 내린다

정리

삼각함수 그래프 핵심
y = A sin(Bx + C) + D → 진폭 |A|, 주기 2π|B|
네 수 A, B, C, D 로 사인 곡선의 높이와 간격, 자리를 모두 정한다
🎯 시험 포인트
①sin, cos 의 주기는 2π, tan 의 주기는 π
②y = A sin(Bx + C) + D 의 진폭은 |A|, 주기는 2π/|B|
③Bx + C = B(x + C/B) 이므로 좌우 이동은 −C/B
④최댓값은 |A| + D, 최솟값은 −|A| + D
⑤cos x = sin(x + π/2)

예제와 기출

예제 1
함수 y = 3 sin 2x 의 진폭과 주기를 구하시오.
1
y = A sin Bx 꼴에서 진폭은 |A| 이므로 3 이다.
진폭 = |A| = |3| = 3
2
주기는 2π/|B| 이고, 여기서 B = 2 이다.
주기 = 2π|2| = π
▸ 진폭 3, 주기 π
x 에 2 를 곱하면 같은 물결이 두 배 빨리 지나가므로 주기가 절반인 π 가 된다. 진폭은 앞의 3 이 정한다.
예제 2
함수 y = 2 cos x + 1 의 최댓값과 최솟값을 구하시오.
1
cos x 는 −1 이상 1 이하의 값을 가진다.
-1 ≤ cos x ≤ 1
2
양 끝값 1 과 −1 을 넣어 최댓값과 최솟값을 구한다.
최댓값 = 2(1)+1 = 3, 최솟값 = 2(-1)+1 = -1
▸ 최댓값 3, 최솟값 −1
2 는 물결의 높이를 두 배로 늘리고, + 1 은 가운데 선을 1 만큼 올린다. 그래서 최댓값은 2 + 1, 최솟값은 −2 + 1 이다.
2022 평가원 모평 수학 유형 변형
함수 y = 4 sin(2x − π) + 1 의 주기와 최댓값은?
①주기 π, 최댓값 5
②주기 2π, 최댓값 5
③주기 π, 최댓값 4
④주기 π/2, 최댓값 5
⑤주기 2π, 최댓값 4
▸ ① 주기 π, 최댓값 5
1
주기는 2π/|B| 이고, 여기서 B = 2 이다.
주기 = 2π2 = π
2
최댓값은 |A| + D 이고, 여기서 A = 4, D = 1 이다.
최댓값 = |4| + 1 = 5
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삼각함수의 활용

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