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고등학교 2학년 (16-17세)

수학I 삼각함수의 활용

Applications of Trigonometry

삼각형의 세 변과 세 각은 서로 얽혀 있어서, 그중 몇 개만 알면 나머지를 계산할 수 있어요. 사인법칙은 각 변을 마주 보는 각의 사인으로 나눈 값이 모두 외접원의 지름 2R 과 같다는 관계이고, 코사인법칙 c² = a² + b² − 2ab cos C 는 끼인각이 직각이면 피타고라스 정리가 되는 식이에요. 넓이 공식 S = (1/2)ab sin C 까지 더하면 측량이나 항해처럼 직접 잴 수 없는 거리와 각도도 구할 수 있어요. 첫 그림에서는 지름 BA′ 을 그어 a = 2R sin A 가 되는 까닭을 볼 수 있고, 둘째 그림에서는 두 변과 끼인각을 바꿀 때마다 셋째 변 c 가 다시 계산돼요.

사인법칙: 외접원의 지름

50°
사인법칙
asin A = bsin B = csin C = 2R
각 변을 마주 보는 각의 사인으로 나누면 모두 외접원의 지름과 같다
💡 a = 2R sin A 가 되는 까닭
①B 에서 중심을 지나는 지름 BA′ 을 그으면, 반원에 대한 원주각이므로 ∠BCA′ = 90° 이다
②같은 호 BC 에 대한 원주각이므로 ∠A′ = ∠A 이다
③직각삼각형 A′BC 에서 BC = BA′ × sin A′ 이므로 a = 2R sin A 이다
④각 A 가 둔각이면 ∠A′ = 180° − A 가 되지만 사인값은 같아서 같은 식이 성립한다

코사인법칙: 넓혀 쓰는 피타고라스 정리

4
3
60°
코사인법칙
c² = a² + b² − 2ab cos C
C = 90° 이면 cos C = 0 이라 피타고라스 정리가 된다

삼각형의 넓이

두 변과 끼인각으로 구하는 넓이
S = 12 ab sin C
변 a 를 밑변으로 보면 높이가 b sin C 이므로 넓이는 (1/2) × a × b sin C 이다
헤론의 공식
S = √(s(s-a)(s-b)(s-c)), s = a+b+c2
세 변의 길이만 알 때 쓴다
📐 어떤 공식을 쓸까
①두 변과 끼인각을 알면 S = (1/2)ab sin C
②세 변만 알면 코사인법칙으로 한 각의 코사인을 구한 뒤 넓이를 구하거나, 헤론의 공식을 쓴다
③한 변과 양 끝의 두 각을 알면 사인법칙으로 다른 변을 구한 뒤 넓이를 구한다

생활 속 쓰임

🌍 삼각함수가 쓰이는 곳
①측량: 올라갈 수 없는 건물이나 산의 높이를 각과 거리로 잰다
②항해: 두 지점에서 잰 방향으로 배의 위치와 거리를 구한다
③물리: 힘을 두 방향으로 나누거나 하나로 합친다
④건축: 지붕의 기울기와 부재의 길이를 정한다

정리

사인법칙
asin A = bsin B = csin C = 2R
변 ÷ 마주 보는 각의 사인 = 외접원의 지름
코사인법칙
c² = a² + b² − 2ab cos C
피타고라스 정리를 모든 삼각형으로 넓힌 식
🎯 시험 포인트
①사인법칙: 두 각과 한 변을 알 때, 또는 외접원의 반지름을 구할 때
②코사인법칙: 두 변과 끼인각을 알 때, 또는 세 변을 알 때
③넓이 S = (1/2)ab sin C
④C = 90° 이면 cos C = 0 이라 피타고라스 정리가 된다
⑤a/sin A = 2R 에서 외접원의 반지름 R 을 구한다

예제와 기출

예제 1
삼각형 ABC에서 a = 8, sin A = 1/2 일 때, 외접원의 반지름 R 을 구하시오.
1
사인법칙에 따르면 a/sin A 는 외접원의 지름 2R 과 같다.
2R = asin A = 81/2
2
8 을 1/2 로 나누면 16 이므로 2R = 16 이다.
2R = 16, R = 8
▸ R = 8
sin A = 1/2 이면 A 는 30° 또는 150° 인데, 어느 쪽이든 외접원의 반지름은 8 로 같다. 사인법칙은 각이 예각이든 둔각이든 성립한다.
예제 2
두 변 a = 5, b = 3 과 끼인각 C = 60° 일 때, 코사인법칙으로 변 c 를 구하시오.
1
두 변과 끼인각을 알므로 코사인법칙을 쓴다.
c² = 5² + 3² - 2(5)(3) cos 60°
2
cos 60° = 1/2 이므로 2 × 5 × 3 × 1/2 = 15 를 뺀다.
c² = 25 + 9 - 30 × 12 = 19, c = √19
▸ c = √19
C 가 90° 보다 작으면 c² 은 a² + b² 보다 작고, 90° 보다 크면 a² + b² 보다 크다. cos C 의 부호가 그 차이를 만든다.
2023 수능 수학 유형 변형
두 변의 길이가 a = 4, b = 6 이고 끼인각 C = 30° 인 삼각형의 넓이는?
①6
②12
③6√3
④3
⑤12√3
▸ ① 6
1
두 변 4, 6 과 끼인각 30° 를 넓이 공식 S = (1/2)ab sin C 에 넣는다.
S = 12 × 4 × 6 × sin 30°
2
sin 30° = 1/2 이므로 12 × 1/2 = 6 이다.
S = 12 × 12 = 6
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