삼각함수의 활용

Applications of Trigonometry

삼각형은 변과 각이 서로 얽혀 있어서, 몇 개만 알아도 나머지를 알아낼 수 있어요. 사인법칙은 각 변을 마주 보는 각의 사인으로 나눈 값이 모두 외접원의 지름 2R과 같다는 관계이고, 코사인법칙 c² = a² + b² − 2ab cos C는 끼인각이 직각일 때 피타고라스 정리로 돌아가는 일반화된 공식이에요. 여기에 넓이 공식 S = (1/2)ab sin C까지 더하면 측량이나 항해처럼 직접 잴 수 없는 거리와 각도 계산할 수 있어요. 이 페이지에서는 꼭짓점과 변, 끼인각을 슬라이더로 바꿔 가며 두 법칙이 삼각형을 어떻게 완성하는지 살펴봐요.

사인법칙: 외접원과의 관계

꼭짓점 A 위치50°

사인법칙

asin A = bsin B = csin C = 2R

각 변을 대각의 사인으로 나누면 모두 외접원 지름

💡 사인법칙의 핵심

①'변/대각의 사인'은 항상 외접원 지름(2R)과 같다

②2개의 각과 1개의 변을 알면 나머지를 구할 수 있다

③삼각형 넓이에도 활용: S = (1/2)ab sin C

코사인법칙: 일반화된 피타고라스

변 a4

변 b3

끼인각 C60°

코사인법칙

c² = a² + b² - 2ab cos C

C = 90°이면 피타고라스 정리로 환원

삼각형의 넓이

넓이 공식 (두 변 + 끼인각)

S = 12 ab sin C

두 변의 길이와 끼인각으로 넓이 계산

헤론의 공식

S = √(s(s-a)(s-b)(s-c)), s = a+b+c2

세 변의 길이만으로 넓이 계산

📐 어떤 공식을 쓸까?

①두 변 + 끼인각 → S = (1/2)ab sin C

②세 변만 알 때 → 헤론의 공식

③한 변 + 양 끝 각 → 사인법칙으로 변 구한 후 넓이

실생활 응용

🌍 삼각함수가 쓰이는 곳

①측량: 건물 높이, 산의 높이 측정

②항해: 두 지점 사이의 거리 계산

③물리: 힘의 분해, 벡터 합성

④건축: 지붕 경사각, 구조물 설계

총정리

사인법칙

asin A = bsin B = csin C = 2R

변/대각사인 = 외접원 지름

코사인법칙

c² = a² + b² - 2ab cos C

피타고라스 정리의 일반화

🎯 시험 포인트

①사인법칙: 각-변 대응 관계 (ASA, AAS)

②코사인법칙: 두 변+끼인각 또는 세 변 (SAS, SSS)

③넓이: S = (1/2)ab sin C

④C = 90°이면 cos C = 0 → 피타고라스

⑤사인법칙으로 외접원 반지름 R 구하기

예제와 기출

예제 1

삼각형 ABC에서 a = 8, sin A = 1/2 일 때, 외접원의 반지름 R 을 구하시오.

사인법칙에서 a/sin A = 2R 이다.

2R = asin A = 81/2

계산하여 R 을 구한다.

2R = 16, R = 8

▸ R = 8

사인법칙 a/sin A = 2R 로 외접원의 반지름을 구한다.

예제 2

두 변 a = 5, b = 3 과 끼인각 C = 60° 일 때, 코사인법칙으로 변 c 를 구하시오.

코사인법칙 c² = a² + b² − 2ab cos C 에 대입한다.

c² = 5² + 3² - 2(5)(3) cos 60°

cos 60° = 1/2 을 대입해 계산한다.

c² = 25 + 9 - 30 × 12 = 19, c = √19

▸ c = √19

두 변과 끼인각을 알면 코사인법칙으로 나머지 변을 구한다.

2023 수능 수학 유형 변형

두 변의 길이가 a = 4, b = 6 이고 끼인각 C = 30° 인 삼각형의 넓이는?

①6

②12

③6√3

④3

⑤12√3

▸ ① 6

넓이 공식 S = (1/2)ab sin C 에 대입한다.

S = 12 × 4 × 6 × sin 30°

sin 30° = 1/2 을 대입한다.

S = 12 × 12 = 6