수학I 삼각방정식과 부등식

Trigonometric Equations

삼각방정식 sin x = k는 물결처럼 오르내리는 곡선 y = sin x와 높이가 k인 수평선이 만나는 자리를 찾는 문제예요. 교점의 x좌표가 곧 해가 되고, 수평선을 올리거나 내리면 한 주기 안에서 해가 두 개, 한 개, 또는 없는 상태로 바뀌어요. 방정식은 기준각을 잡고 부호에 맞는 사분면을 고르면 풀리고, 부등식은 경계가 되는 해를 먼저 구한 뒤 곡선이 직선보다 위인지 아래인지 읽어 구간으로 답해요. 수평선 y = k를 움직이면 교점의 개수가 어떻게 달라지는지 보여요.

교점이 곧 해

수평선 y = k0.5

👀 눈으로 보자

①방정식 sin x = k의 해는 y=sin x와 y=k의 교점의 x좌표

②k를 올리고 내리면 한 주기에 해가 0개·1개·2개로 바뀐다

③부등식은 그래프가 직선보다 위(또는 아래)인 구간이다

④그림 끝의 숫자는 교점 개수. 부등식 구간은 글이지 그림이 아니다

기준각과 사분면

삼각방정식 해법

sin x = k ⇒ 기준각을 찾고 사분면별로 해를 모은다

[0,2π)에서 sin·cos는 보통 2개, 경계값(±1, 0)에서 1개

tan 방정식

tan x = k ⇒ 주기 π마다 해가 하나씩

tan은 주기가 π이므로 [0,2π)에 해가 2개

부등식은 구간으로

📐 위·아래를 읽는다

①sin x > k는 곡선이 직선 y=k보다 위에 있는 x 구간

②먼저 sin x = k의 해(경계)를 구한다

③경계 사이에서 위/아래를 확인해 구간을 정한다

직접 풀어 보자

예제 1

0 ≤ x < 2π에서 방정식 sin x = 1/2 의 해를 모두 구하시오.

기준각은 π/6 (sin(π/6)=1/2).

sin이 양수인 1·2사분면에서 해를 모은다.

x = π/6, 5π/6

▸ x = π/6, 5π/6

기준각을 먼저 잡고, 부호에 맞는 사분면만 고르면 빠르다.

예제 2

0 ≤ x < 2π에서 부등식 cos x < 1/2 의 해를 구하시오.

경계 cos x = 1/2의 해는 x = π/3, 5π/3.

그 사이에서 cos가 1/2보다 작다.

π/3 < x < 5π/3

▸ π/3 < x < 5π/3

부등식은 경계(등식 해)를 먼저 구하고 사이 구간의 부호를 확인한다.

총정리

핵심 전략

방정식: 기준각+사분면 / 부등식: 경계 후 구간

그래프와 단위원으로 해의 위치를 먼저 그려 보는 것이 가장 안전하다

2022 평가원 모평 수학 유형 변형

0 ≤ x < 2π에서 방정식 2 sin x = √3 의 모든 해의 합은?

①π/2

②2π/3

③π

④4π/3

⑤3π/2

▸ ③ π

sin x = √3/2이고 기준각은 π/3.

1·2사분면 해는 x = π/3, 2π/3이므로 합은

π/3 + 2π/3 = π

🎯 시험 포인트

①해는 그래프·단위원 교점으로 시각화

②sin·cos는 한 주기 보통 2해, tan은 주기 π

③부등식은 경계 해 먼저 → 사이 구간 판정

④구간 [0,2π) 등 정의역 꼭 확인

⑤√3/2, 1/2, √2/2 등 특수각 값 암기