seegongsik
고등학교 2학년 (16-17세)

삼각방정식과 부등식

Trigonometric Equations

교점이 곧 해
0.5
👀 눈으로 보자
①방정식 sin x = k의 해는 y=sin x와 y=k의 교점의 x좌표
②k를 올리고 내리면 한 주기에 해가 0개·1개·2개로 바뀐다
③부등식은 그래프가 직선보다 위(또는 아래)인 구간이다
기준각과 사분면
삼각방정식 해법
sin x = k ⇒ 기준각을 찾고 사분면별로 해를 모은다
[0,2π)에서 sin·cos는 보통 2개, 경계값(±1, 0)에서 1개
tan 방정식
tan x = k ⇒ 주기 π마다 해가 하나씩
tan은 주기가 π이므로 [0,2π)에 해가 2개
부등식은 구간으로
📐 위·아래를 읽는다
①sin x > k는 곡선이 직선 y=k보다 위에 있는 x 구간
②먼저 sin x = k의 해(경계)를 구한다
③경계 사이에서 위/아래를 확인해 구간을 정한다
직접 풀어 보자
예제 1
0 ≤ x < 2π에서 방정식 sin x = 1/2 의 해를 모두 구하시오.
1
기준각은 π/6 (sin(π/6)=1/2).
2
sin이 양수인 1·2사분면에서 해를 모은다.
x = π/6, 5π/6
▸ x = π/6, 5π/6
기준각을 먼저 잡고, 부호에 맞는 사분면만 고르면 빠르다.
예제 2
0 ≤ x < 2π에서 부등식 cos x < 1/2 의 해를 구하시오.
1
경계 cos x = 1/2의 해는 x = π/3, 5π/3.
2
그 사이에서 cos가 1/2보다 작다.
π/3 < x < 5π/3
▸ π/3 < x < 5π/3
부등식은 경계(등식 해)를 먼저 구하고 사이 구간의 부호를 확인한다.
총정리
핵심 전략
방정식: 기준각+사분면 / 부등식: 경계 후 구간
그래프와 단위원으로 해의 위치를 먼저 그려 보는 것이 가장 안전하다
2022 평가원 모평 수학 유형 변형
0 ≤ x < 2π에서 방정식 2 sin x = √3 의 모든 해의 합은?
①π/2
②2π/3
③π
④4π/3
⑤3π/2
▸ ③ π
1
sin x = √3/2이고 기준각은 π/3.
2
1·2사분면 해는 x = π/3, 2π/3이므로 합은
π/3 + 2π/3 = π
🎯 시험 포인트
①해는 그래프·단위원 교점으로 시각화
②sin·cos는 한 주기 보통 2해, tan은 주기 π
③부등식은 경계 해 먼저 → 사이 구간 판정
④구간 [0,2π) 등 정의역 꼭 확인
⑤√3/2, 1/2, √2/2 등 특수각 값 암기
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