고등학교 2학년 (16-17세)

수학I 삼각방정식과 부등식

Trigonometric Equations

삼각방정식 sin x = k 는 오르내리는 곡선 y = sin x 와 높이가 k 인 수평선이 만나는 자리를 찾는 문제예요. 교점의 x좌표가 곧 해이고, 0 ≤ x < 2π 에서 수평선을 올리고 내리면 해가 두 개에서 한 개로, 다시 하나도 없는 상태로 바뀌어요. 방정식은 기준각을 먼저 잡고 부호가 맞는 사분면을 골라 풀고, 부등식은 경계가 되는 해를 먼저 구한 뒤 곡선이 직선보다 위인 구간을 읽어 답해요. 그림에서 수평선 y = k 를 움직이면 교점마다 해의 값이 적히고, 맨 위에 해의 개수가 나와요.

교점이 곧 해

수평선 높이 k0.5

👀 그래프로 읽는 해

①sin x = k 의 해는 y = sin x 와 y = k 의 교점의 x좌표이다

②−1 < k < 1 이면 해가 두 개, k = ±1 이면 꼭대기나 바닥에 닿아 한 개, |k| > 1 이면 없다

③k 가 0, ±1/2, ±1 이면 해가 π 의 분수로 깔끔하게 나오고, 그 밖에는 그림에 근삿값만 적힌다

④부등식 sin x > k 의 해는 곡선이 수평선보다 위에 있는 구간이다

기준각과 사분면

삼각방정식 푸는 법

sin x = k ⇒ 기준각을 잡고 부호가 맞는 사분면에서 해를 모은다

0 ≤ x < 2π 에서 sin x = k 의 해는 −1 < k < 1 이면 두 개, k = ±1 이면 한 개이다

tan 방정식

tan x = k ⇒ 주기 π 마다 해가 하나씩

tan 은 주기가 π 이므로 0 ≤ x < 2π 에서 해가 늘 두 개이다

부등식은 구간으로

📐 곡선이 위인지 아래인지 읽는다

①sin x > k 의 해는 곡선이 직선 y = k 보다 위에 있는 x 의 구간이다

②먼저 sin x = k 의 해를 구해 구간의 경계로 삼는다

③경계 사이의 한 점을 넣어 곡선이 위인지 아래인지 확인한다

예제로 확인하기

예제 1

0 ≤ x < 2π에서 방정식 sin x = 1/2 의 해를 모두 구하시오.

sin(π/6) = 1/2 이므로 기준각은 π/6 이다.

sin 이 양수인 제1사분면과 제2사분면에서 해를 모은다.

x = π/6, 5π/6

▸ x = π/6, 5π/6

제2사분면의 해는 π − π/6 = 5π/6 이다. 기준각을 먼저 잡고 부호가 맞는 사분면만 고르면 빠르다.

예제 2

0 ≤ x < 2π에서 부등식 cos x < 1/2 의 해를 구하시오.

경계가 되는 cos x = 1/2 의 해는 x = π/3, 5π/3 이다.

두 경계 사이에서는 cos x 가 1/2 보다 작다.

π/3 < x < 5π/3

▸ π/3 < x < 5π/3

사이의 한 점 x = π 를 넣으면 cos π = −1 < 1/2 이므로 두 경계 사이가 답이다. 부등식은 경계를 먼저 구하고 사이 구간의 한 점으로 확인한다.

정리

풀이 전략

방정식: 기준각 + 사분면 / 부등식: 경계를 구한 뒤 구간

그래프나 단위원에 해의 자리를 먼저 그려 두면 가장 안전하다

2022 평가원 모평 수학 유형 변형

0 ≤ x < 2π에서 방정식 2 sin x = √3 의 모든 해의 합은?

①π/2

②2π/3

③π

④4π/3

⑤3π/2

▸ ③ π

양변을 2 로 나누면 sin x = √3/2 이고, 기준각은 π/3 이다.

제1사분면과 제2사분면의 해는 x = π/3, 2π/3 이므로 합은 다음과 같다.

π/3 + 2π/3 = π

🎯 시험 포인트

①해는 그래프나 단위원의 교점으로 찾는다

②0 ≤ x < 2π 에서 sin, cos 방정식은 해가 보통 두 개이고, tan 은 주기가 π 이다

③부등식은 경계의 해를 먼저 구한 뒤 사이 구간을 판정한다

④x 의 범위가 어디까지인지 먼저 확인한다

⑤특수각의 값 1/2, √2/2, √3/2 를 바로 떠올릴 수 있어야 한다

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등차수열

마지막 수정 2026-10-17

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