상용로그

Common Logarithm

상용로그는 밑이 10인 로그로, 어떤 양수의 상용로그든 정수 부분인 지표와 0 이상 1 미만의 소수 부분인 가수로 나뉘어요. 지표는 그 수가 몇 자리인지를, 가수는 숫자의 배열을 담기 때문에, 2의 30제곱처럼 아주 큰 수도 직접 계산하지 않고 자릿수를 바로 알 수 있어요. x가 10배가 될 때마다 로그값이 1씩 커진다는 규칙이 바로 이 자릿수 계산으로 이어져요. 이 페이지에서는 슬라이더로 x를 옮기며 로그값이 지표와 가수로 갈라지는 모습을 눈으로 확인해 봐요.

10을 밑으로 하는 로그

진수 x200

👀 눈으로 보자

①상용로그는 밑이 10인 로그, log x = log_{10} x

②어떤 양수의 상용로그는 정수 부분(지표)과 0 이상 1 미만의 소수 부분(가수)으로 갈린다

③x가 10배가 될 때마다 로그값은 1씩 커진다

지표와 가수

지표 + 가수 분해

log N = (지표) + (가수), 0 ≤ 가수 < 1

지표는 정수, 가수는 0 이상 1 미만: 자릿수와 숫자 배열을 따로 담는다

자릿수와 지표

정수 N이 d자리 ⇔ 지표 = d − 1 ⇔ 10^d-1 ≤ N < 10^d

지표가 d−1이면 N은 d자리 정수

가수가 같으면 숫자 배열이 같다

🔢 10의 거듭제곱만큼 이동

①가수가 같은 두 수는 숫자 배열이 같고 10의 거듭제곱만큼만 다르다

②예: log 2와 log 200은 가수가 같다

③지표는 소수점 위치(자릿수)를, 가수는 숫자 자체를 결정한다

직접 구해 보자

예제 1

log 2 = 0.3010일 때 log 200의 값을 구하시오.

200 = 2 × 100 = 2 × 10²으로 분해한다.

log 200 = log 2 + log 10²

log 10² = 2를 더한다.

= 0.3010 + 2 = 2.3010

▸ 2.3010 (지표 2, 가수 0.3010)

10의 거듭제곱은 지표만 바꾸고 가수(0.3010)는 그대로 둔다.

예제 2

2³⁰은 몇 자리 정수인가? (log 2 = 0.3010)

상용로그를 취한다.

log 2³⁰ = 30 log 2 = 30 × 0.3010 = 9.03

지표가 9이므로 자릿수는 9 + 1.

지표 9 ⇒ 10자리

▸ 10자리

거듭제곱의 자릿수는 로그의 지표 + 1로 바로 나온다.

총정리

핵심 정리

log N = 지표 + 가수, d자리 ⇔ 지표 = d − 1

지표는 자릿수, 가수는 숫자 배열: 둘을 나누어 다루는 것이 핵심

2021 수능 수학 유형 변형

3²⁰은 몇 자리 정수인가? (log 3 = 0.4771)

①9자리

②10자리

③11자리

④12자리

⑤13자리

▸ ② 10자리

상용로그를 취해 지표를 구한다.

log 3²⁰ = 20 × 0.4771 = 9.542

지표가 9이므로 자릿수 = 9 + 1.

지표 9 ⇒ 10자리

🎯 시험 포인트

①log N = 지표 + 가수 (0 ≤ 가수 < 1)

②d자리 정수 ⇔ 지표 = d − 1

③거듭제곱 자릿수 = 로그값의 지표 + 1

④가수가 같으면 숫자 배열 동일

⑤0<N<1이면 지표는 음수(소수 첫 0이 아닌 자리)