로그함수

Logarithmic Function

로그함수 y = log_a x 는 지수함수 y = a^x 를 거울에 비춘 짝꿍이에요. 지수함수가 몇 번 곱하면 얼마가 되는지 알려준다면, 로그함수는 거꾸로 얼마가 되려면 몇 번 곱해야 하는지 알려줘서, 두 그래프는 직선 y = x 를 사이에 두고 포개져요. 그래서 로그함수는 항상 점 (1, 0)을 지나고, x가 0에 다가갈수록 아래로 끝없이 떨어지며 y축을 점근선으로 삼아요. 이 페이지에서는 밑을 조절해 곡선이 어떻게 눕는지 살펴보고, 지수함수와 로그함수가 y = x 에 대해 대칭인 모습을 나란히 확인해 봐요.

로그함수의 모양: 밑에 따른 변화

밑 a2

💡 모든 로그함수는 (1, 0)을 지난다

①log_a(1) = 0이므로 밑이 무엇이든 x=1에서 y=0

②밑이 클수록 곡선이 아래로 눌린다

③x → 0⁺ 일 때 y → -∞ (y축이 점근선)

지수함수와의 대칭

🔗 역함수 관계

①y = a^x의 역함수가 y = log_a(x)

②그래프는 y = x 직선에 대해 대칭

③정의역과 치역이 서로 뒤바뀐다

④(0, 1) ↔ (1, 0) 대칭

로그함수의 성질

로그함수 정의

y = log_a x (a > 0, a ≠ 1, x > 0)

정의역: x > 0, 치역: 모든 실수

로그함수 성질

log_a 1 = 0, log_a a = 1

(1, 0)을 지나고, (a, 1)을 지난다

📐 증감과 점근선

①a > 1: x가 커질수록 y 증가 (증가함수)

②0 < a < 1: x가 커질수록 y 감소 (감소함수)

③점근선: y축 (x = 0)

④x < 0에서는 정의되지 않음

로그방정식과 부등식

로그방정식

log_a f(x) = log_a g(x) ⟹ f(x) = g(x)

밑이 같으면 진수끼리 비교 (단, 진수 > 0 확인)

⚠️ 로그부등식의 핵심

①a > 1일 때: log_a M > log_a N ⟺ M > N (부등호 유지)

②0 < a < 1일 때: log_a M > log_a N ⟺ M < N (부등호 반전)

③반드시 진수 조건 (> 0) 확인!

총정리

로그함수 핵심

y = log_a x: 정의역 = (0, ∞), 치역 = ℝ, 점근선: x = 0

지수함수의 역함수, y = x 대칭

🎯 시험 포인트

①(1, 0) 통과: log_a 1 = 0

②a > 1이면 증가, 0 < a < 1이면 감소

③역함수 관계: y = a^x ↔ y = log_a x

④로그방정식: 밑 통일 → 진수 비교

⑤진수 > 0 조건을 반드시 검증

예제와 기출

예제 1

로그방정식 log₂ (x − 1) = 3 을 푸시오.

로그의 정의로 지수 꼴로 바꾼다. (진수 = 밑^값)

x - 1 = 2³ = 8

x를 구하고 진수 조건 x − 1 > 0 을 확인한다.

x = 9 (x - 1 = 8 > 0)

▸ x = 9

로그방정식은 정의로 지수 꼴로 바꾸고, 진수 조건을 반드시 확인한다.

예제 2

함수 y = log₂ x 와 y = 2^x 의 그래프는 어떤 직선에 대하여 대칭인가?

y = log₂ x 는 y = 2^x 의 역함수이다.

y = 2^x ⟺ x = log₂ y

역함수 관계인 두 그래프는 직선 y = x 에 대해 대칭이다.

대칭축: y = x

▸ 직선 y = x 에 대하여 대칭

지수함수와 로그함수는 서로 역함수이므로 y = x 에 대해 대칭이다.

2023 수능 수학 유형 변형

로그부등식 log₃ (x − 2) < 2 의 해는? (진수 조건 포함)

①2 < x < 11

②x < 11

③x > 2

④0 < x < 11

⑤2 < x < 9

▸ ① 2 < x < 11

밑 3 > 1 이므로 증가함수, 부등호는 유지하고 진수 조건도 함께 본다.

log₃ (x-2) < 2 ⟺ 0 < x - 2 < 3²

부등식을 풀어 범위를 정한다.

2 < x < 11