고등학교 2학년 (16-17세)

수학I 로그함수

Logarithmic Function

로그함수 y = logₐ x 는 지수함수 y = aˣ 의 역함수예요. 지수함수가 「a 를 x 번 곱하면 얼마인가」에 답한다면 로그함수는 「x 가 되려면 a 를 몇 번 곱해야 하는가」에 답하므로, 두 그래프는 직선 y = x 를 사이에 두고 마주 봐요. 그래서 로그함수의 그래프는 늘 점 (1, 0) 과 (a, 1) 을 지나고, x 가 0 에 다가갈수록 한없이 내려가 y축을 점근선으로 가져요. 첫 그림에서 밑을 바꾸면 점 (a, 1) 이 옮겨 가며 곡선이 눕는 정도가 달라지고, 둘째 그림에는 y = x 를 사이에 두고 마주 보는 점 두 쌍이 찍혀 있어요.

밑에 따라 달라지는 모양

밑 a2

💡 로그함수는 모두 (1, 0) 을 지난다

①logₐ 1 = 0 이므로 밑이 무엇이든 그래프는 점 (1, 0) 을 지난다

②logₐ a = 1 이므로 그래프는 점 (a, 1) 도 지나고, 밑이 클수록 이 점이 오른쪽으로 가서 곡선이 더 눕는다

③x 가 0 에 가까워질수록 y 는 한없이 작아지므로 y축이 점근선이다

④이 그림의 밑은 1.5 이상이라 증가하는 경우만 그린다

지수함수와의 대칭

🔗 역함수 관계

①y = aˣ 의 역함수가 y = logₐ x 이다

②점 (p, q) 가 한쪽 그래프 위에 있으면 점 (q, p) 는 다른 쪽 그래프 위에 있다

③그래서 두 그래프는 직선 y = x 에 대해 대칭이다

④정의역과 치역도 서로 바뀌어, 로그함수의 정의역은 양수 전체이고 치역은 실수 전체이다

로그함수의 성질

로그함수의 정의

y = log_a x (a > 0, a ≠ 1, x > 0)

정의역은 x > 0, 치역은 실수 전체이다

늘 지나는 두 점

log_a 1 = 0, log_a a = 1

그래프는 (1, 0) 과 (a, 1) 을 지난다

📐 증가와 감소, 점근선

①a > 1 이면 x 가 커질수록 y 도 커지는 증가함수이다

②0 < a < 1 이면 x 가 커질수록 y 가 작아지는 감소함수이다

③점근선은 y축(x = 0)이다

④x ≤ 0 에서는 정의되지 않는다

로그방정식과 로그부등식

로그방정식

log_a f(x) = log_a g(x) ⟹ f(x) = g(x)

밑이 같으면 진수끼리 비교한다. 진수가 양수인지도 확인한다

⚠️ 로그부등식에서 볼 두 가지

①a > 1 이면 logₐ M > logₐ N ⟺ M > N 으로 부등호 방향이 그대로이다

②0 < a < 1 이면 logₐ M > logₐ N ⟺ M < N 으로 부등호 방향이 바뀐다

③풀이 끝에 진수 조건 M > 0, N > 0 을 함께 묶는다

정리

로그함수 핵심

y = log_a x: 정의역 = (0, ∞), 치역 = ℝ, 점근선: x = 0

지수함수의 역함수이고, 그래프는 y = x 에 대해 지수함수와 대칭이다

🎯 시험 포인트

①그래프는 늘 (1, 0) 을 지난다(logₐ 1 = 0)

②a > 1 이면 증가, 0 < a < 1 이면 감소

③y = aˣ 과 y = logₐ x 는 서로 역함수

④로그방정식은 밑을 맞춘 뒤 진수를 비교한다

⑤답을 내기 전에 진수 > 0 조건을 확인한다

예제와 기출

예제 1

로그방정식 log₂ (x − 1) = 3 을 푸시오.

로그의 정의에 따라 진수 x − 1 은 2 의 세제곱이다.

x - 1 = 2³ = 8

x = 9 이고, 이때 진수 x − 1 = 8 이 양수이므로 답이 된다.

x = 9 (x - 1 = 8 > 0)

▸ x = 9

로그방정식은 정의를 써서 지수 꼴로 바꾸면 보통의 방정식이 된다. 다만 얻은 값을 진수에 넣어 양수인지 꼭 확인한다.

예제 2

함수 y = log₂ x 와 y = 2^x 의 그래프는 어떤 직선에 대하여 대칭인가?

y = 2ˣ 을 x 에 대해 풀면 x = log₂ y 이므로 두 함수는 서로 역함수이다.

y = 2^x ⟺ x = log₂ y

역함수 관계인 두 그래프는 x 와 y 를 바꾼 점끼리 짝을 이루므로 직선 y = x 에 대해 대칭이다.

대칭축: y = x

▸ 직선 y = x 에 대하여 대칭

(1, 2) 가 y = 2ˣ 위에 있으면 (2, 1) 은 y = log₂ x 위에 있다. x 와 y 를 맞바꾸는 일이 곧 직선 y = x 에 비추는 일이다.

2023 수능 수학 유형 변형

로그부등식 log₃ (x − 2) < 2 의 해는? (진수 조건 포함)

①2 < x < 11

②x < 11

③x > 2

④0 < x < 11

⑤2 < x < 9

▸ ① 2 < x < 11

밑 3 이 1 보다 크므로 부등호 방향은 그대로이고, 진수 조건 x − 2 > 0 도 함께 묶는다.

log₃ (x-2) < 2 ⟺ 0 < x - 2 < 3²

0 < x − 2 < 9 의 각 변에 2 를 더하면 2 < x < 11 이다.

2 < x < 11

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지수함수

상용로그

마지막 수정 2026-10-17

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