지수함수

Exponential Function

지수함수 y = a^x 는 x가 1씩 커질 때마다 값이 a배씩 불어나는 함수예요. 그래서 원금이 이자로 불어나거나 세포가 계속 둘로 갈라지듯, 처음엔 느려 보여도 순식간에 폭발적으로 커지는 변화를 그려내요. 밑이 1보다 크면 오른쪽으로 치솟고 1보다 작으면 0을 향해 잦아들지만, 어떤 경우든 그래프는 항상 점 (0, 1)을 지나고 x축을 점근선으로 삼아요. 이 페이지에서는 밑을 조절해 곡선의 기울기가 어떻게 바뀌는지, 또 그래프를 좌우·상하로 밀며 점근선이 어떻게 따라 움직이는지 확인해 봐요.

지수함수의 모양: 밑에 따른 변화

밑 a2

💡 모든 지수함수는 (0, 1)을 지난다

①a^0 = 1이므로 밑이 무엇이든 y절편은 항상 1

②밑이 클수록 오른쪽에서 더 가파르게 상승

③x → -∞ 일 때 y → 0 (x축이 점근선)

지수함수의 성질

지수함수의 정의

y = a^x (a > 0, a ≠ 1)

밑 a가 양수이고 1이 아닌 실수

📐 a > 1 vs 0 < a < 1

①a > 1: x가 커질수록 y 급증 (증가함수)

②0 < a < 1: x가 커질수록 y → 0 (감소함수)

③두 경우 모두 점근선은 x축 (y = 0)

④치역: y > 0 (항상 양수)

지수함수의 평행이동

x축 이동0

y축 이동0

평행이동

y = a^x-p + q

x축 방향 +p, y축 방향 +q 이동 → 점근선: y = q

지수방정식과 부등식

지수방정식

a^f(x) = a^g(x) ⟹ f(x) = g(x)

밑이 같으면 지수끼리 비교

⚠️ 지수부등식에서 밑의 크기가 핵심

①a > 1일 때: a^m > a^n ⟺ m > n (부등호 유지)

②0 < a < 1일 때: a^m > a^n ⟺ m < n (부등호 반전)

③밑이 1보다 큰지 작은지 반드시 확인!

총정리

지수함수 핵심

y = a^x: 정의역 = ℝ, 치역 = (0, ∞), 점근선: y = 0

밑이 1보다 크면 증가, 작으면 감소

🎯 시험 포인트

①(0, 1) 통과: a^0 = 1

②a > 1이면 증가, 0 < a < 1이면 감소

③점근선과 평행이동: y = a^{x-p} + q → 점근선 y = q

④지수방정식: 밑 통일 → 지수 비교

⑤지수부등식: 밑이 1보다 작으면 부등호 뒤집기

예제와 기출

예제 1

지수방정식 2^x+1 = 8 을 푸시오.

8을 밑 2의 거듭제곱으로 바꾼다. 8 = 2³.

2^x+1 = 2³

밑이 같으므로 지수끼리 비교한다.

x + 1 = 3 ⟹ x = 2

▸ x = 2

양변의 밑을 같게 만든 뒤 지수끼리 비교한다.

예제 2

함수 y = 2^x 의 그래프를 x축 방향으로 3만큼 평행이동한 그래프의 식과 점근선을 구하시오.

x축 방향으로 +3 이동은 x 대신 x − 3을 대입한다.

y = 2^x-3

x축 방향의 평행이동은 점근선을 바꾸지 않는다.

점근선: y = 0

▸ y = 2^x-3, 점근선 y = 0

x축 평행이동은 점근선을 바꾸지 않고, y축 이동만 점근선을 바꾼다.

2022 평가원 모평 수학 유형 변형

0 < a < 1 일 때, 지수부등식 a^2x < a^x+3 의 해는?

①x > 3

②x < 3

③x > -3

④x < -3

⑤x > 1

▸ ① x > 3

밑이 0과 1 사이이므로 감소함수, 부등호 방향이 뒤집힌다.

a^2x < a^x+3 ⟺ 2x > x + 3

부등식을 정리한다.

2x - x > 3 ⟹ x > 3