seegongsik
고등학교 2학년 (16-17세)

수학I 지수함수

Exponential Function

지수함수 y = aˣ 은 x 가 1 커질 때마다 값이 a 배가 되는 함수예요. 그래서 예금이 복리로 불어나거나 세포가 둘로 나뉘며 늘어나는 것처럼, 처음엔 더디다가 어느 순간 가파르게 커지는 변화를 나타내요. 밑이 1보다 크면 오른쪽으로 갈수록 치솟고 0과 1 사이면 0 에 가까워지지만, 어느 쪽이든 그래프는 점 (0, 1) 을 지나고 x축을 점근선으로 가져요. 첫 그림에서 밑을 바꾸면 곡선의 기울기가 달라지고, 둘째 그림에서 그래프를 옮기면 점근선과 점 (0, 1) 이 함께 움직여요.

밑에 따라 달라지는 모양

2
💡 지수함수는 모두 (0, 1) 을 지난다
①a⁰ = 1 이므로 밑이 무엇이든 그래프는 점 (0, 1) 을 지난다
②x > 0 쪽에서는 밑이 클수록 더 가파르게 오르고, x < 0 쪽에서는 밑이 클수록 0 에 더 빨리 붙는다
③x 가 작아질수록 y 는 0 에 한없이 가까워지므로 x축이 점근선이다
④이 그림의 밑은 1.2 이상이라 증가하는 경우만 그린다

지수함수의 성질

지수함수의 정의
y = ax (a > 0, a ≠ 1)
밑 a 는 1 이 아닌 양수이다
📐 a > 1 과 0 < a < 1
①a > 1 이면 x 가 커질수록 y 도 커지는 증가함수이다
②0 < a < 1 이면 x 가 커질수록 y 가 작아지는 감소함수이다
③y = (1/a)ˣ 의 그래프는 y = aˣ 의 그래프를 y축에 대해 뒤집은 모양이다
④어느 경우든 치역은 양수 전체이고 점근선은 x축(y = 0)이다

지수함수의 평행이동

0
0
평행이동
y = ax-p + q
x축 방향으로 p, y축 방향으로 q 만큼 옮기면 점근선은 y = q 가 된다. 그림의 밑은 2 이다

지수방정식과 지수부등식

지수방정식
af(x) = ag(x) ⟹ f(x) = g(x)
밑을 같게 만든 뒤 지수끼리 비교한다
⚠️ 부등식에서는 밑이 1 보다 큰지부터 본다
①a > 1 이면 aᵐ > aⁿ ⟺ m > n 으로 부등호 방향이 그대로이다
②0 < a < 1 이면 aᵐ > aⁿ ⟺ m < n 으로 부등호 방향이 바뀐다
③감소함수에서는 지수가 클수록 값이 작기 때문이다

정리

지수함수 핵심
y = ax: 정의역 = ℝ, 치역 = (0, ∞), 점근선: y = 0
밑이 1보다 크면 증가하고, 0 과 1 사이면 감소한다
🎯 시험 포인트
①그래프는 늘 (0, 1) 을 지난다(a⁰ = 1)
②a > 1 이면 증가, 0 < a < 1 이면 감소
③y = aˣ⁻ᵖ + q 의 점근선은 y = q
④지수방정식은 밑을 맞춘 뒤 지수를 비교한다
⑤지수부등식은 밑이 1 보다 작으면 부등호를 뒤집는다

예제와 기출

예제 1
지수방정식 2x+1 = 8 을 푸시오.
1
8 을 밑 2 의 거듭제곱 2³ 으로 바꾼다.
2x+1 = 23
2
y = 2ˣ 은 증가함수라서 값이 같으면 지수도 같다.
x + 1 = 3 ⟹ x = 2
▸ x = 2
밑이 같고 1 이 아니면 서로 다른 지수가 같은 값을 낼 수 없다. 그래서 양변의 밑을 맞추면 지수끼리 비교하는 일차방정식이 된다.
예제 2
함수 y = 2x 의 그래프를 x축 방향으로 3만큼 평행이동한 그래프의 식과 점근선을 구하시오.
1
x축 방향으로 3 만큼 옮기려면 x 자리에 x − 3 을 넣는다.
y = 2x-3
2
좌우로만 옮겼으므로 점근선 y = 0 은 그대로이다.
점근선: y = 0
▸ y = 2x-3, 점근선 y = 0
점근선은 수평선이라 좌우로 밀어도 같은 선이다. 점근선을 바꾸는 것은 위아래로 옮기는 q 뿐이다.
2022 평가원 모평 수학 유형 변형
0 < a < 1 일 때, 지수부등식 a2x < ax+3 의 해는?
①x > 3
②x < 3
③x > -3
④x < -3
⑤x > 1
▸ ① x > 3
1
0 < a < 1 이면 y = aˣ 은 감소함수라서 값의 크기 관계와 지수의 크기 관계가 반대가 된다.
a2x < ax+3 ⟺ 2x > x + 3
2
2x > x + 3 을 정리하면 x > 3 이다.
2x - x > 3 ⟹ x > 3
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