수학I 지수와 로그

지수의 직관: 반복 곱셈

밑과 거듭제곱의 결과만 알고 지수가 비어 있을 때, 그 빈칸을 가리키는 이름이 로그다. 기호 log_a N 은 a^x = N 을 x 로 푼 값이고, 같은 밑의 곱이 지수의 합이 되는 자리와 짝을 이룬다. 그래서 아주 큰 곱셈 단계를 덧셈처럼 다루려면 로그가 필요하다. 밑 조건은 a > 0, a ≠ 1 이며 진수는 N > 0 이다. 슬라이더 범위는 1.2 이상 4 이하라서, 여기서 그리는 곡선은 커지는 쪽뿐이다. 감소하는 0 < a < 1 구간은 문장으로만 적혀 있고, 그림의 범위 밖이에요.

위쪽 그림에는 y = a^x 곡선이 금색으로 그려져 있고, 가로 눈금은 0부터 5까지다. 점선은 높이 1 에 놓여 있으며, 제목은 고른 밑을 소수 첫째 자리까지 적은 y = a^x 이다. 밑 a 를 1.2 에서 4 로 바꾸면 세로축이 a^5 높이에 맞춰 다시 스케일되므로, 큰 밑에서는 왼쪽이 낮게 붙어 있고 오른쪽에서 가파르게 올라가는 모양이 된다. 아래쪽에는 같은 값 a^0, a^1, a^2, a^3, a^4 가 두 막대에 찍혀 있다. 위 막대는 로그 눈금이라 칸 사이가 같고, 아래 막대는 선형 눈금이라 수가 커질수록 눈금이 한쪽으로 몰려 있다. 곡선 위에는 따로 찍힌 점이 없고, 밑을 고를 때마다 곡선과 눈금이 그 값으로 다시 그려져요.

로그의 직관: 역질문

log_a N 의 두 자리를 바꿔 적으면 묻는 수가 달라진다. 앞의 수는 밑이고 뒤의 수는 진수인데, 둘을 뒤집으면 거듭제곱의 앞뒤가 바뀐 다른 식이 된다. 밑이 1 이거나 음수이거나 진수가 0 이하이면 이 기호 자체가 정의되지 않으므로, 모양만 같다고 계산에 넣을 수 없다. 곱의 로그를 로그의 합으로 나누는 법칙은 진수가 곱일 때만 성립하고, 진수가 합인 식에 그대로 쓰면 어긋난다. 밑을 생략한 채 진수만 바꾸어 읽어도 같은 글자가 다른 값을 가리켜요.

지수법칙과 로그법칙

지수·로그의 관계

총정리

예제와 기출