로그는 지수를 거꾸로 묻는 물음이에요. 2를 몇 번 곱해야 8이 되느냐고 물으면 답은 3이고, 이것을 log₂ 8 = 3 이라고 써요.
그러니 2³ = 8 과 log₂ 8 = 3 은 같은 사실을 두 방향에서 적은 식이에요.
로그를 쓰면 곱셈이 덧셈으로 바뀌어서, 지진의 규모나 소리의 데시벨처럼 몇 배씩 차이 나는 양도 다루기 쉬워져요.
밑 a 를 바꾸면 첫 그림에서 지수 곡선이 오르는 기울기가, 둘째 그림에서 두 눈금의 차이가 함께 달라져요.
지수: 같은 수를 거듭 곱하기
2⁵ = 32 처럼 밑과 지수를 알면 값은 곱셈으로 바로 나온다. 거꾸로 밑 2 와 값 32 만 주고 지수를 물으면 곱셈만으로는 그 답을 적을 기호가 없는데, 그 빈칸을 가리키는 이름이 로그다. logₐ N 은 a 를 몇 제곱해야 N 이 되는지를 뜻하며, 밑은 a > 0 이고 a ≠ 1 이어야 하고 진수는 N > 0 이어야 한다.
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밑 a 에 따른 y = aˣ 곡선과, 한 칸마다 a 배가 되는 정수 x 의 점
첫 그림의 금색 곡선은 y = aˣ 이고, x 가 0, 1, 2, 3, 4, 5 인 자리에 점이 찍혀 있다. 점 사이를 한 칸 갈 때마다 높이가 a 배가 되므로 처음에는 바닥에 붙어 있던 곡선이 오른쪽 끝에서 가파르게 솟는다. 세로축 꼭대기는 a⁵ 이라서 밑이 1.2 이면 약 2.49 에 그치지만 4 이면 1024 가 되고, 그만큼 왼쪽 점들은 점선 높이 1 근처로 눌린다.
2
💡 지수는 곱한 횟수다
①2³ = 2 × 2 × 2 = 8 은 2 를 세 번 곱한 값이다
②x 가 1 늘 때마다 aˣ 은 a 배가 되므로 밑이 클수록 빨리 커진다
③a > 1 이면 커지고, 0 < a < 1 이면 작아진다
④이 그림의 밑은 1.2 이상이라 커지는 경우만 그린다
로그: 몇 번 곱했는가를 묻다
logₐ N 에서 아래에 작게 쓴 수가 밑이고 뒤의 수가 진수이다. 둘을 바꿔 log₈ 2 라고 쓰면 8 을 몇 제곱해야 2 가 되느냐는 다른 물음이 되고, 답도 3 이 아니라 1/3 이다. 또 log₂(8 + 4) 를 log₂ 8 + log₂ 4 로 나누는 실수가 잦은데, 로그의 합으로 나뉘는 것은 진수가 곱일 때뿐이다. 실제로 log₂ 12 는 약 3.58 이고 log₂ 8 + log₂ 4 는 5 이다.
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같은 값 a⁰ ~ a⁴ 를 로그 눈금(위)과 보통 눈금(아래)에 찍은 두 막대
💡 로그는 곱한 횟수를 되묻는다
①log₂ 8 = 3 은 「2 를 몇 번 곱해야 8 이 되는가」의 답이 3 이라는 뜻이다
②로그 눈금에서는 한 칸이 같은 배율이라 1, a, a², a³, a⁴ 가 같은 간격으로 놓인다
③지진의 규모, 소리의 데시벨, 산성도 pH 가 모두 로그 눈금을 쓴다
지수법칙과 로그법칙
지수법칙
am × an = am+n, am ÷ an = am-n
같은 밑끼리 곱하면 지수를 더하고, 나누면 지수를 뺀다
로그의 정의
ax = N ⟺ x = loga N
밑 a 를 몇 제곱해야 N 이 되는가
로그법칙
loga MN = loga M + loga N
곱의 로그는 로그의 합이다(지수법칙을 로그로 옮긴 것)
밑 변환 공식
loga b = logc blogc a
분자와 분모를 같은 밑 c 의 로그로 쓰면 어떤 밑으로든 바꿀 수 있다
지수와 로그의 관계
🔗 지수와 로그는 같은 사실의 두 얼굴
①지수: 밑과 지수를 알면 값이 나온다(2³ = 8)
②로그: 밑과 값을 알면 지수가 나온다(log₂ 8 = 3)
③그래서 한쪽 식을 알면 다른 쪽 식으로 바로 옮길 수 있다
④y = aˣ 과 y = logₐ x 의 그래프는 직선 y = x 에 대해 대칭이다
⑤밑이 10 인 상용로그는 같은 장의 뒤쪽에서 다룬다
핵심 성질
alog_a N = N, loga ax = x
지수와 로그는 서로를 되돌리는 연산이다
정리
지수와 로그의 핵심
loga N = x ⟺ ax = N
로그는 지수를 거꾸로 묻는 연산이다
🎯 시험 포인트
①로그의 정의 aˣ = N ⟺ logₐ N = x
②밑 조건 a > 0, a ≠ 1 · 진수 조건 N > 0
③로그법칙: 곱은 합으로, 나눗셈은 뺄셈으로, 거듭제곱은 계수로
④밑 변환 logₐ b = log b / log a (분자와 분모의 밑만 같으면 된다)
⑤logₐ(M + N) 은 logₐ M + logₐ N 이 아니다
예제와 기출
예제 1
log2 8 + log2 4 의 값을 구하시오.
1
밑이 같은 로그의 합은 진수를 곱한 수 하나의 로그로 묶인다.
log2 8 + log2 4 = log2 (8 × 4) = log2 32
2
32 = 2⁵ 이므로 2 를 다섯 번 곱하면 32 가 된다.
log2 32 = log2 25 = 5
▸ 5
8 = 2³, 4 = 2² 이므로 답 5 는 지수의 합 3 + 2 와 같다. 로그의 합이 곱의 로그가 되는 까닭은 바로 이 지수의 덧셈에 있다.
예제 2
log2 3 = a 일 때 log2 24 를 a로 나타내시오.
1
24 를 2 의 거듭제곱과 남은 인수 3 의 곱, 곧 2³ × 3 으로 나눈다.
log2 24 = log2 (23 × 3) = log2 23 + log2 3
2
log₂ 2³ = 3 이고 log₂ 3 = a 이다.
= 3 + a
▸ a + 3
진수를 밑의 거듭제곱과 나머지 인수로 쪼개면 거듭제곱 쪽은 정수가 되고, 나머지만 주어진 문자로 남는다.
2023 수능 수학 유형 변형
log3 5 = a, log3 4 = b 일 때 log3 80 을 a, b로 나타내면? (단, 80 = 16 × 5)
①a + b
②a + 2b
③2a + b
④ab
⑤2a + 2b
▸ ② a + 2b
1
80 을 4² × 5 로 나누면 주어진 log₃ 4 와 log₃ 5 만으로 쓸 수 있다.
log3 80 = log3 (42 × 5) = log3 42 + log3 5
2
거듭제곱의 지수는 앞의 계수로 내려와 log₃ 4² = 2b 이고, log₃ 5 = a 이다.