지수와 로그

Exponents & Logarithms

로그는 지수를 거꾸로 묻는 물음이에요. 2를 몇 번 곱해야 8이 되는지 묻는 것이 log₂8이고, 그 답은 3이라서 지수와 로그는 동전의 양면과 같아요. 곱셈을 덧셈으로 바꾸는 로그의 성질 덕분에 아주 큰 수의 계산도 간단해지고, 소리의 크기나 지진의 세기처럼 넓은 범위를 재는 데도 쓰여요. 이 페이지에서는 밑을 바꿔 가며 지수 곡선이 치솟는 모습과, 로그 스케일이 곱셈을 고르게 펼치는 모습을 함께 확인해 봐요.

지수의 직관: 반복 곱셈

밑 a2

💡 지수는 반복 곱셈이다

①2^3 = 2×2×2 = 8: '2를 3번 곱한다'

②밑이 클수록 값이 폭발적으로 증가

③밑이 1보다 크면 성장, 0~1 사이면 감소

로그의 직관: 역질문

💡 로그는 '몇 번 곱했니?'라는 질문이다

①log_2(8) = 3 → '2를 몇 번 곱해야 8이 되니?' → 3번

②로그 스케일에서는 곱셈이 등간격으로 보인다

③지진 규모, 데시벨, pH 모두 로그 스케일

지수법칙과 로그법칙

지수법칙

a^m × aⁿ = a^m+n, a^m ÷ aⁿ = a^m-n

같은 밑의 곱 → 지수를 더한다

로그의 정의

a^x = N ⟺ x = log_a N

밑 a를 몇 번 거듭제곱해야 N이 되는가

로그법칙

log_a MN = log_a M + log_a N

곱의 로그 = 로그의 합

밑 변환 공식

log_a b = log_c blog_c a

아무 밑 c를 이용해 밑을 바꿀 수 있다

지수·로그의 관계

🔗 지수와 로그는 거울이다

①지수: 밑과 지수 → 값 (2^3 = 8)

②로그: 밑과 값 → 지수 (log_2 8 = 3)

③하나를 알면 나머지를 바로 구할 수 있다

④그래프에서는 y = x 대칭

핵심 성질

a^{log_a N} = N, log_a a^x = x

지수와 로그는 서로의 역연산

총정리

지수·로그 핵심

log_a N = x ⟺ a^x = N

로그는 지수의 역연산이다

🎯 시험 포인트

①로그의 정의: a^x = N ⟺ log_a N = x

②밑 조건: a > 0, a ≠ 1, N > 0

③로그법칙: 곱→합, 나눗셈→뺄셈, 거듭제곱→계수

④밑 변환 공식: log_a b = log_c b / log_c a

⑤상용로그(log₁₀)와 자연로그(ln) 구별

예제와 기출

예제 1

log₂ 8 + log₂ 4 의 값을 구하시오.

같은 밑의 로그의 합은 진수의 곱으로 묶는다.

log₂ 8 + log₂ 4 = log₂ (8 × 4) = log₂ 32

32 = 2⁵ 이므로 로그값은 지수 5이다.

log₂ 32 = log₂ 2⁵ = 5

▸ 5

같은 밑의 로그 합은 진수의 곱으로 묶어 거듭제곱 꼴로 만든다.

예제 2

log₂ 3 = a 일 때 log₂ 24 를 a로 나타내시오.

24 = 2³ × 3 으로 분해한다.

log₂ 24 = log₂ (2³ × 3) = log₂ 2³ + log₂ 3

log₂ 2³ = 3, log₂ 3 = a 이다.

= 3 + a

▸ a + 3

진수를 밑의 거듭제곱과 남은 인수의 곱으로 분해하는 것이 핵심이다.

2023 수능 수학 유형 변형

log₃ 5 = a, log₃ 4 = b 일 때 log₃ 80 을 a, b로 나타내면? (단, 80 = 16 × 5)

①a + b

②a + 2b

③2a + b

④ab

⑤2a + 2b

▸ ② a + 2b

80을 4의 거듭제곱과 5의 곱으로 분해한다. 80 = 4² × 5.

log₃ 80 = log₃ (4² × 5) = log₃ 4² + log₃ 5

log₃ 4² = 2 log₃ 4 = 2b, log₃ 5 = a 이다.

= 2b + a = a + 2b

지수함수

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