고등학교 1학년 (15-16세)

공통수학 무리함수

Irrational Function

무리함수는 근호 안에 변수가 들어 있는 함수로, 넓이가 S인 정사각형의 한 변이 √S인 것처럼 제곱근을 구하는 데서 자연스럽게 나와요. 가장 기본인 y = √x는 이차함수 y = x²(x ≥ 0)의 역함수라서 두 그래프가 직선 y = x에 대하여 대칭이고, 근호 안이 0 이상이어야 하므로 정의역과 치역이 한쪽으로 제한돼요. y = √(ax + b) + c의 그래프는 근호 안을 0으로 만드는 점 (−b/a, c)에서 출발하고, 무리방정식을 풀 때 양변을 제곱하면 원래 식에 맞지 않는 근이 끼어들 수 있어서 반드시 검산해야 해요. 첫 번째 그림에서는 y = √x와 y = x²을 겹쳐 대칭을 확인하고, 두 번째 그림에서는 a, b, c에 따라 출발점과 뻗는 방향이 바뀌어요.

무리함수는 어디서 나왔을까

📐 정사각형의 한 변 구하기

①넓이가 S인 정사각형의 한 변의 길이는 √S이다

②넓이가 1, 4, 9이면 한 변은 1, 2, 3으로 깔끔하다

③그런데 넓이가 2이면 한 변은 √2 = 1.414…로 무리수가 된다

④이렇게 변수가 근호 안에 들어 있는 함수를 무리함수라 한다

🪞 역함수 관계

①y = x²(x ≥ 0)에서 x와 y를 바꾸면 x = y²이다

②y ≥ 0인 쪽만 택하면 y = √x이다

③그러니 y = √x는 y = x²에서 x ≥ 0인 부분의 역함수이다

④역함수끼리는 직선 y = x에 대하여 대칭이므로 두 그래프도 그렇다

⑤그림에서 점 (4, 2)와 (2, 4)처럼 좌표를 맞바꾼 점들이 짝을 이룬다

y = √x의 성질

가장 기본인 무리함수

y = √x

정의역 x ≥ 0, 치역 y ≥ 0, 원점에서 출발

y = √x의 성질

기본형의 특징

정의역

근호 안이 0 이상이어야 하므로

x ≥ 0

치역

제곱근은 늘 0 이상이므로

y ≥ 0

증가와 감소

x가 커지면 y도 커진다

늘 증가

늘어나는 빠르기

x가 1에서 4로 3만큼, 4에서 9로 5만큼 커져야 y가 1씩 커진다

점점 느려짐

y = √(ax + b) + c의 그래프

a (부호가 뻗는 방향을 정함)1

b (출발점을 좌우로)0

c (위아래로 이동)0

무리함수의 일반형

y = √(ax + b) + c

출발점 (−b/a, c)에서 a > 0이면 오른쪽, a < 0이면 왼쪽으로 뻗는다

🔑 출발점을 빨리 찾는 법

①근호 안을 0으로 만드는 x를 찾는다: ax + b = 0에서 x = −b/a

②그때 y = √0 + c = c이다

③그래서 출발점은 (−b/a, c)이다

④a > 0이면 정의역이 x ≥ −b/a라 오른쪽으로, a < 0이면 x ≤ −b/a라 왼쪽으로 뻗는다

⑤어느 쪽이든 치역은 y ≥ c이다

무리함수와 직선의 교점

교점 구하기

√(ax + b) + c = mx + n → 양변을 제곱해 푼다

제곱한 뒤 얻은 근은 반드시 원래 식에 넣어 확인한다

⚠️ 양변을 제곱할 때의 함정

①√x = x − 2를 풀려고 양변을 제곱한다

②x = (x − 2)² = x² − 4x + 4이므로 x² − 5x + 4 = 0이다

③x = 1 또는 x = 4가 나온다

④x = 1을 넣으면 왼쪽은 √1 = 1, 오른쪽은 1 − 2 = −1이라 맞지 않는다. 이런 근을 무연근이라 한다

⑤x = 4를 넣으면 √4 = 2, 4 − 2 = 2로 맞으므로 해는 x = 4뿐이다

⑥제곱하면 −1과 1이 똑같이 1이 되어 부호 정보가 사라지므로, 원래 식에 넣어 확인해야 한다

무리방정식 풀기

무리방정식을 푸는 순서

단계	할 일	살필 점
1단계	근호가 있는 부분을 한쪽으로 모은다	√(…) = (식) 꼴로
2단계	양변을 제곱한다	(식) ≥ 0이어야 한다는 조건을 적어 둔다
3단계	정리해서 방정식을 푼다	대개 이차방정식이 된다
4단계	원래 식에 넣어 확인한다	맞지 않는 근(무연근)은 버린다

예제와 단원평가

예제 1

무리함수 y = √(2x − 6) + 1의 정의역을 구하시오.

근호 안의 식이 0 이상이어야 한다.

2x − 6 ≥ 0

부등식을 푼다.

x ≥ 3

▸ {x | x ≥ 3}

이 그래프는 출발점 (3, 1)에서 오른쪽으로 뻗고, 치역은 {y | y ≥ 1}이다.

예제 2

무리함수 y = √(x − 2) + 3의 그래프는 y = √x의 그래프를 어떻게 평행이동한 것인지 쓰고, 출발점을 구하시오.

x 대신 x − 2가 들어 있으면 x축 방향으로 2만큼, 전체에 3을 더했으면 y축 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다.

y = √x → y = √(x − 2) + 3

출발점은 (0, 0)을 같은 만큼 옮긴 점이다.

(0, 0) → (2, 3)

▸ x축 방향으로 2만큼, y축 방향으로 3만큼 평행이동했고, 출발점은 (2, 3)이다

두 번째 그림에서 a = 1, b = −2, c = 3으로 두면 같은 그래프가 나온다.

정리

기본형

y = √x

정의역 x ≥ 0, 치역 y ≥ 0

일반형

y = √(ax + b) + c

출발점 (−b/a, c)

고1 내신 유형

무리함수 y = √(x + 1)과 직선 y = x − 1의 교점의 x좌표를 구하시오.

①1

②2

③3

④4

⑤5

▸ ③ 3

두 식을 연립하고 양변을 제곱한다 (단, x − 1 ≥ 0).

√(x + 1) = x − 1 ⇒ x + 1 = (x − 1)²

정리하면 x² − 3x = 0, x = 0 또는 3. 조건 x ≥ 1로 x = 3.

x² − 3x = 0 ⇒ x = 3 (x = 0은 무연근)

🎯 시험에 자주 나오는 것

①근호 안이 0 이상이라는 조건으로 정의역을 정한다

②출발점은 (−b/a, c)이고, a > 0이면 오른쪽, a < 0이면 왼쪽으로 뻗는다

③y = √x는 y = x²(x ≥ 0)의 역함수이므로 직선 y = x에 대하여 대칭이다

④무리방정식은 양변을 제곱해 푼 뒤 원래 식에 넣어 무연근을 걸러 낸다

⑤그래프는 출발점에서 시작해 점점 완만해지며 뻗어 나간다

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마지막 수정 2026-10-17

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