무리함수

Irrational Function

무리함수는 근호 안에 변수가 들어간 함수로, 넓이가 S인 정사각형의 한 변 √S처럼 제곱근에서 자연스럽게 나와요. 기본형 y = √x는 이차함수 y = x²(x ≥ 0)의 역함수라서 두 그래프가 직선 y = x에 대해 서로 대칭이고, 근호 안이 0 이상이어야 하므로 정의역과 치역이 한쪽으로 제한돼요. 일반형 y = √(ax + b) + c는 근호 안을 0으로 만드는 시작점 (−b/a, c)에서 출발하고, 직선과의 교점을 구할 때 양변을 제곱하면 무연근이 생길 수 있어 반드시 검산해야 해요. 이 페이지에서는 y = x²를 켜고 끄며 대칭을 보고, a·b·c를 움직여 시작점과 방향이 어떻게 달라지는지 확인해 봐요.

무리함수는 어디서 왔을까?

📐 정사각형의 한 변 구하기

①넓이가 S인 정사각형의 한 변의 길이는?

②한 변 = √S: 넓이의 제곱근!

③넓이 1 → 변 1, 넓이 4 → 변 2, 넓이 9 → 변 3

④그런데 넓이 2 → 변 √2 ≈ 1.414… (무리수!)

⑤이처럼 제곱근이 포함된 함수가 '무리함수'

🪞 역함수 관계의 핵심

①y = x² (x≥0)에서 x와 y를 바꾸면

②x = y² → y = √x (양의 값만 취함)

③y = √x는 y = x²의 '절반'의 역함수

④두 그래프는 y = x 직선에 대해 대칭

⑤이것이 무리함수의 '정체': 이차함수의 역!

기본형 y = √x의 성질

기본 무리함수

y = √x

정의역: x ≥ 0 / 치역: y ≥ 0 / 원점 출발

y = √x 핵심 성질

List기본형의 특징

정의역

근호 안이 0 이상이어야 하므로

x ≥ 0

치역

제곱근은 항상 0 이상

y ≥ 0

증가/감소

x가 커질수록 y도 커짐 (단, 점점 완만)

항상 증가

증가 속도

1→4: y 1 증가 / 4→9: y 1 증가 / 간격 넓어짐

점점 느려짐

일반형 y = √(ax + b) + c

a (부호가 방향 결정)1

b (시작점 이동)0

c (상하 이동)0

일반형 무리함수

y = √(ax + b) + c

시작점: (−b/a, c) → a > 0이면 오른쪽, a < 0이면 왼쪽으로 뻗음

🔑 시작점을 빠르게 찾는 법

①근호 안 = 0인 x 찾기: ax + b = 0 → x = −b/a

②이때 y = √0 + c = c

③시작점은 (−b/a, c)

④a > 0이면 x ≥ −b/a (오른쪽으로 증가)

⑤a < 0이면 x ≤ −b/a (왼쪽으로 증가)

무리함수와 직선의 교점

교점 구하기

√(ax+b) + c = mx + n → 양변 제곱 후 판별

양변 제곱 시 '무연근' 검증 필수!

⚠️ 양변 제곱의 함정: 무연근

①√x = x − 2를 풀기 위해 양변 제곱

②x = (x−2)² = x²−4x+4 → x²−5x+4=0

③x = 1 또는 x = 4

④검증: x=1 → √1 = 1, 1−2 = −1 → 1 ≠ −1 (무연근!)

⑤x=4 → √4 = 2, 4−2 = 2 → 2 = 2 ✓ (참 해)

⑥양변 제곱은 부등호 정보를 잃으므로 반드시 원래 식에 대입 검증!

교점 풀이법

Chart무리방정식 해법 순서

단계	내용	주의점
1단계	√ 부분을 한쪽으로 정리	√(…) = (식)
2단계	양변 제곱	(식) ≥ 0 조건 확인
3단계	정리하여 방정식 풀기	이차방정식이 됨
4단계	원래 식에 대입 검증	무연근 반드시 제거!

직접 풀어보기

예제 1

무리함수 y = √(2x − 6) + 1의 정의역을 구하시오.

근호 안의 식이 0 이상이어야 한다.

2x − 6 ≥ 0

부등식을 푼다.

x ≥ 3

▸ 정의역은 {x | x ≥ 3}

무리함수는 근호 안 ≥ 0 조건으로 정의역을 먼저 정한다.

예제 2

무리함수 y = √(x − 2) + 3이 y = √x의 그래프를 어떻게 평행이동한 것인지와 시작점을 구하시오.

x 대신 x − 2이면 x축으로 +2, 전체에 +3이면 y축으로 +3 평행이동이다.

y = √x → y = √(x − 2) + 3

시작점은 (0, 0)을 같은 양만큼 옮긴 점이다.

(0, 0) → (2, 3)

▸ x축 방향 2, y축 방향 3만큼 평행이동, 시작점 (2, 3)

y = √(x − p) + q의 시작점은 (p, q)이다.

총정리

기본형

y = √x

정의역 x≥0, 치역 y≥0

일반형

y = √(ax+b)+c

시작점 (−b/a, c)

고1 내신 유형

무리함수 y = √(x + 1)과 직선 y = x − 1의 교점의 x좌표를 구하시오.

①1

②2

③3

④4

⑤5

▸ ③ 3

두 식을 연립하고 양변을 제곱한다 (단, x − 1 ≥ 0).

√(x + 1) = x − 1 ⇒ x + 1 = (x − 1)²

정리하면 x² − 3x = 0, x = 0 또는 3. 조건 x ≥ 1로 x = 3.

x² − 3x = 0 ⇒ x = 3 (x = 0은 무연근)

🎯 시험 포인트

①근호 안 ≥ 0 → 정의역의 핵심 조건

②시작점 (−b/a, c): a > 0이면 오른쪽, a < 0이면 왼쪽

③y = √x는 y = x² (x≥0)의 역함수: y = x에 대칭

④무리방정식: 양변 제곱 후 반드시 원래 식에 대입 검증 (무연근!)

⑤그래프 개형: 시작점에서 출발하여 점점 완만하게 증가