공통수학›집합·명제·함수

유리함수

Rational Function

반비례 — 유리함수의 시작
💧 수도꼭지와 욕조
①욕조에 물 12리터를 채운다고 하자
②분당 1리터 → 12분 / 분당 2리터 → 6분 / 분당 3리터 → 4분
③유량(x)이 커지면 시간(y)은 줄어든다: xy = 12 (일정!)
④이것이 반비례 관계, 그래프가 바로 y = k/x
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기본 유리함수
y = kx (x ≠ 0)
xy = k: 두 변수의 곱이 항상 일정한 관계
📐 기본형의 핵심 성질
①원점 대칭: f(−x) = −f(x) → 홀함수
②k > 0 → 1사분면·3사분면 / k < 0 → 2사분면·4사분면
③|k|가 클수록 그래프가 축에서 멀어진다
④점근선: x축(y=0)과 y축(x=0) — 그래프가 점점 다가가지만 절대 만나지 않음
평행이동 — 점근선의 교점이 핵심
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표준형
y = kx − a + b
수직 점근선: x = a / 수평 점근선: y = b
🔑 왜 점근선의 교점이 중요한가
①y = k/x의 '중심'은 원점 (0, 0)
②y = k/(x−a) + b의 '중심'은 (a, b)로 이동
③점근선 x = a와 y = b의 교점 = 쌍곡선의 중심
④정의역: x ≠ a / 치역: y ≠ b
일반형에서 표준형으로 변환
일반형
y = cx + dex + f
분자를 분모로 나눠서 몫 + 나머지/분모 꼴로 변환
🧮 변환 예시: y = (2x+5)/(x+1)
①분자 ÷ 분모: (2x+5) ÷ (x+1) = 2 … 나머지 3
②따라서 y = 2 + 3/(x+1) = 3/(x+1) + 2
③표준형: k=3, a=−1, b=2
④수직 점근선: x = −1 / 수평 점근선: y = 2
⑤쌍곡선의 중심: (−1, 2)

변환 요령

📋일반형 → 표준형 변환 포인트
수평 점근선 b
예: (2x+5)/(x+1) → b = 2/1 = 2
(분자 최고차 계수) ÷ (분모 최고차 계수)
수직 점근선 a
예: x+1 = 0 → a = −1
분모 = 0인 x값
k 값
예: 2x+5 = 2(x+1) + 3 → k = 3
분자 나머지
유리함수의 역함수
역함수 관계
y = kx − a + b ↔ y = kx − b + a
점근선의 역할(a↔b)이 바뀐다 — y=x에 대칭!
🪞 자기 자신의 역함수?
①y = k/x의 역함수를 구하면: x = k/y → y = k/x
②y = k/x는 자기 자신이 역함수! (자기 역함수, involution)
③일반형 y = k/(x−a)+b의 역함수: a와 b의 역할이 교환
④a = b이면 자기 자신이 역함수 (y=x와 대칭)
총정리
유리함수 핵심
y = kx − a + b
점근선 교점 (a, b), 정의역 x≠a, 치역 y≠b
🎯 시험 포인트
①점근선: x = a (수직), y = b (수평) — 분모=0 / 최고차 계수비
②k > 0: 1·3사분면 배치 / k < 0: 2·4사분면 배치
③일반형 (cx+d)/(ex+f) → 나눗셈으로 표준형 변환
④정의역 x ≠ a, 치역 y ≠ b — 점근선 값이 제외됨
⑤역함수: a↔b 교환 / a=b이면 y=x 대칭 (자기 역함수)