고등학교 1학년 (15-16세)

공통수학 유리함수

Rational Function

유리함수는 분모에 변수가 들어 있는 함수로, 욕조를 채우는 데 걸리는 시간처럼 두 양의 곱이 일정한 반비례 y = k/x에서 출발해요. 그래프는 두 갈래로 나뉜 쌍곡선이고, x축과 y축에 한없이 가까워지지만 끝내 닿지 않는데, 이런 직선을 점근선이라고 해요. y = k/(x − a) + b는 y = k/x를 평행이동한 것이라 두 점근선이 만나는 점 (a, b)가 곡선의 중심이 되고, 복잡해 보이는 일반형도 분자를 분모로 나누면 이 꼴로 정리돼요. 첫 번째 그림에서는 k에 따라 쌍곡선이 놓이는 사분면과 넓이가 k인 직사각형이, 두 번째 그림에서는 a, b에 따라 점근선과 곡선이 함께 움직여요.

반비례에서 시작하는 유리함수

💧 수도꼭지와 욕조

①욕조에 물 12 L를 채운다고 하자

②1분에 1 L씩 받으면 12분, 2 L씩이면 6분, 3 L씩이면 4분이 걸린다

③1분에 받는 양 x가 늘면 걸리는 시간 y는 줄어들고, 그 곱 xy는 늘 12이다

④이런 반비례 관계를 식으로 쓴 것이 y = k/x이다

k (상수)2

기본 유리함수

y = kx (x ≠ 0)

xy = k, 두 변수의 곱이 늘 일정한 관계

📐 기본형의 성질

①f(−x) = −f(x)이므로 그래프는 원점에 대하여 대칭이다

②k > 0이면 제1, 3사분면에, k < 0이면 제2, 4사분면에 그래프가 놓인다

③|k|가 클수록 그래프가 원점에서 멀어진다

④점근선은 x축(y = 0)과 y축(x = 0)이다. 그래프는 두 축에 한없이 가까워지지만 만나지 않는다

⑤그림의 직사각형은 넓이가 늘 k인데, 이는 곡선 위 어느 점을 골라도 x좌표와 y좌표의 곱이 k라는 뜻이다

평행이동과 점근선

a (세로 점근선의 위치)1

b (가로 점근선의 위치)1

표준형

y = kx − a + b

점근선 x = a, y = b

🔑 점근선의 교점이 중요한 까닭

①y = k/x의 그래프는 원점 (0, 0)에 대하여 대칭이다

②y = k/(x − a) + b는 이를 (a, b)만큼 옮긴 것이므로 점 (a, b)에 대하여 대칭이다

③(a, b)는 두 점근선 x = a, y = b가 만나는 점이다

④정의역은 x ≠ a인 실수 전체, 치역은 y ≠ b인 실수 전체이다

일반형을 표준형으로 바꾸기

일반형

y = cx + dex + f

분자를 분모로 나누어 (몫) + (나머지)/(분모) 꼴로 바꾼다

🧮 y = (2x + 5)/(x + 1) 바꾸기

①2x + 5 = 2(x + 1) + 3이므로 분자를 분모로 나누면 몫 2, 나머지 3이다

②따라서 y = 2 + 3/(x + 1) = 3/(x + 1) + 2이다

③표준형에 맞추면 k = 3, a = −1, b = 2이다

④점근선은 x = −1, y = 2이다

⑤그래프는 점 (−1, 2)에 대하여 대칭이다

바꾸는 요령

일반형에서 바로 읽기

가로 점근선 y = b

예: (2x + 5)/(x + 1)이면 b = 2/1 = 2

(분자의 x의 계수) ÷ (분모의 x의 계수)

세로 점근선 x = a

예: x + 1 = 0이면 a = −1

분모를 0으로 만드는 x

k의 값

예: 2x + 5 = 2(x + 1) + 3이면 k = 3

분모의 x의 계수가 1일 때 분자를 분모로 나눈 나머지

유리함수의 역함수

역함수

y = kx − a + b ↔ y = kx − b + a

두 점근선의 역할이 바뀐다(a ↔ b). 두 그래프는 직선 y = x에 대하여 대칭이다

🪞 자기 자신이 역함수인 함수

①y = k/x에서 x와 y를 바꾸면 x = k/y, 곧 y = k/x로 원래 식과 같다

②그러니 y = k/x는 자기 자신이 역함수이다

③y = k/(x − a) + b의 역함수는 y = k/(x − b) + a로 a와 b가 자리를 바꾼다

④a = b이면 다시 자기 자신이 역함수가 되고, 그래프는 직선 y = x에 대하여 대칭이다

예제와 단원평가

예제 1

유리함수 y = 2/(x − 3) + 1의 그래프의 점근선의 방정식을 구하시오.

y = k/(x − p) + q 꼴에서 점근선은 x = p, y = q이다.

y = 2/(x − 3) + 1

p = 3, q = 1을 읽는다.

세로 점근선 x = 3, 가로 점근선 y = 1

▸ x = 3, y = 1

두 번째 그림에서 k = 2, a = 3, b = 1로 두면 이 그래프가 나온다.

예제 2

유리함수 y = (2x + 1)/(x − 1)을 y = k/(x − p) + q 꼴로 고치고, 점근선의 방정식을 구하시오.

분자를 분모로 나눈다. 2x + 1 = 2(x − 1) + 3이다.

y = (2(x − 1) + 3)/(x − 1) = 2 + 3/(x − 1)

표준형에서 점근선을 읽는다.

y = 3/(x − 1) + 2, 점근선 x = 1, y = 2

▸ x = 1, y = 2

가로 점근선 y = 2는 분자와 분모의 x의 계수의 비 2/1과 같아, 나누기 전에도 짐작할 수 있다.

정리

유리함수의 표준형

y = kx − a + b

점근선 x = a, y = b, 정의역 x ≠ a, 치역 y ≠ b

고1 내신 유형

유리함수 y = 3/(x − 2) + 1의 그래프가 점 (a, b)에 대하여 대칭일 때, a + b의 값은?

①1

②2

③3

④4

⑤5

▸ ③ 3

유리함수 y = k/(x − p) + q는 점근선의 교점 (p, q)에 대하여 대칭이다.

대칭의 중심 = (p, q) = (2, 1)

a = 2, b = 1을 더한다.

a + b = 2 + 1 = 3

🎯 시험에 자주 나오는 것

①세로 점근선은 분모를 0으로 만드는 x, 가로 점근선은 분자와 분모의 x의 계수의 비로 구한다

②k > 0이면 제1, 3사분면 쪽, k < 0이면 제2, 4사분면 쪽에 그래프가 놓인다

③일반형 (cx + d)/(ex + f)는 나눗셈으로 표준형으로 바꾼다

④정의역에서는 x = a가, 치역에서는 y = b가 빠진다

⑤역함수는 a와 b를 맞바꾸며, a = b이면 자기 자신이 역함수이다

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무리함수

마지막 수정 2026-10-17

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