유리함수

Rational Function

유리함수는 분모에 변수가 들어간 함수로, 물을 채우는 시간처럼 두 양의 곱이 일정한 반비례 y = k/x에서 출발해요. 그래프는 원점을 중심으로 뻗는 쌍곡선이고, x축과 y축이라는 점근선에 한없이 가까워지지만 결코 닿지는 않아요. 평행이동한 y = k/(x − a) + b는 점근선의 교점 (a, b)가 곡선의 중심이 되고, 복잡한 일반형도 분자를 분모로 나누면 이 표준형으로 정리돼요. 이 페이지에서는 k와 이동량 a, b를 움직여 쌍곡선과 점근선이 어떻게 따라 움직이는지 확인해 봐요.

반비례: 유리함수의 시작

💧 수도꼭지와 욕조

①욕조에 물 12리터를 채운다고 하자

②분당 1리터 → 12분 / 분당 2리터 → 6분 / 분당 3리터 → 4분

③유량(x)이 커지면 시간(y)은 줄어든다: xy = 12 (일정!)

④이것이 반비례 관계, 그래프가 바로 y = k/x

k (상수)2

기본 유리함수

y = kx (x ≠ 0)

xy = k: 두 변수의 곱이 항상 일정한 관계

📐 기본형의 핵심 성질

①원점 대칭: f(−x) = −f(x) → 홀함수

②k > 0 → 1사분면·3사분면 / k < 0 → 2사분면·4사분면

③|k|가 클수록 그래프가 축에서 멀어진다

④점근선: x축(y=0)과 y축(x=0) 그래프가 점점 다가가지만 절대 만나지 않음

평행이동: 점근선의 교점이 핵심

a (수직 점근선 위치)1

b (수평 점근선 위치)1

표준형

y = kx − a + b

수직 점근선: x = a / 수평 점근선: y = b

🔑 왜 점근선의 교점이 중요한가

①y = k/x의 '중심'은 원점 (0, 0)

②y = k/(x−a) + b의 '중심'은 (a, b)로 이동

③점근선 x = a와 y = b의 교점 = 쌍곡선의 중심

④정의역: x ≠ a / 치역: y ≠ b

일반형에서 표준형으로 변환

일반형

y = cx + dex + f

분자를 분모로 나눠서 몫 + 나머지/분모 꼴로 변환

🧮 변환 예시: y = (2x+5)/(x+1)

①분자 ÷ 분모: (2x+5) ÷ (x+1) = 2 … 나머지 3

②따라서 y = 2 + 3/(x+1) = 3/(x+1) + 2

③표준형: k=3, a=−1, b=2

④수직 점근선: x = −1 / 수평 점근선: y = 2

⑤쌍곡선의 중심: (−1, 2)

변환 요령

List일반형 → 표준형 변환 포인트

수평 점근선 b

예: (2x+5)/(x+1) → b = 2/1 = 2

(분자 최고차 계수) ÷ (분모 최고차 계수)

수직 점근선 a

예: x+1 = 0 → a = −1

분모 = 0인 x값

k 값

예: 2x+5 = 2(x+1) + 3 → k = 3

분자 나머지

유리함수의 역함수

역함수 관계

y = kx − a + b ↔ y = kx − b + a

점근선의 역할(a↔b)이 바뀐다. y=x에 대칭!

🪞 자기 자신의 역함수?

①y = k/x의 역함수를 구하면: x = k/y → y = k/x

②y = k/x는 자기 자신이 역함수! (자기 역함수, involution)

③일반형 y = k/(x−a)+b의 역함수: a와 b의 역할이 교환

④a = b이면 자기 자신이 역함수 (y=x와 대칭)

직접 풀어보기

예제 1

유리함수 y = 2/(x − 3) + 1의 점근선의 방정식을 구하시오.

y = k/(x − p) + q 꼴에서 점근선은 x = p, y = q이다.

y = 2/(x − 3) + 1

p = 3, q = 1을 대응시킨다.

수직 점근선 x = 3, 수평 점근선 y = 1

▸ x = 3, y = 1

분모를 0으로 만드는 x가 수직 점근선, 상수항이 수평 점근선이다.

예제 2

유리함수 y = (2x + 1)/(x − 1)을 y = k/(x − p) + q 꼴로 고치고 점근선을 구하시오.

분자를 분모로 나눈다: 2x + 1 = 2(x − 1) + 3.

y = (2(x − 1) + 3)/(x − 1) = 2 + 3/(x − 1)

표준형에서 점근선을 읽는다.

y = 3/(x − 1) + 2, 점근선 x = 1, y = 2

▸ x = 1, y = 2

일반형은 분자를 분모로 나눠 표준형으로 바꾼다.

총정리

유리함수 핵심

y = kx − a + b

점근선 교점 (a, b), 정의역 x≠a, 치역 y≠b

고1 내신 유형

유리함수 y = 3/(x − 2) + 1의 그래프가 점 (a, b)에 대하여 대칭일 때, a + b의 값은?

①1

②2

③3

④4

⑤5

▸ ③ 3

유리함수 y = k/(x − p) + q는 점근선의 교점 (p, q)에 대하여 대칭이다.

대칭의 중심 = (p, q) = (2, 1)

a = 2, b = 1을 더한다.

a + b = 2 + 1 = 3

🎯 시험 포인트

①점근선: x = a (수직), y = b (수평) 분모=0 / 최고차 계수비

②k > 0: 1·3사분면 배치 / k < 0: 2·4사분면 배치

③일반형 (cx+d)/(ex+f) → 나눗셈으로 표준형 변환

④정의역 x ≠ a, 치역 y ≠ b: 점근선 값이 제외됨

⑤역함수: a↔b 교환 / a=b이면 y=x 대칭 (자기 역함수)