seegongsik
고등학교 2학년 (16-17세)

수학I 수열의 합

Sum of Series

시그마 기호 Σ 는 규칙이 같은 항을 차례로 모두 더하라는 약속을 짧게 적은 것이에요. 1부터 n까지 자연수의 합, 제곱의 합, 세제곱의 합처럼 자주 나오는 합은 하나하나 더하지 않아도 공식 하나로 바로 구할 수 있어요. 공식이 어디서 나오는지 알면 복잡해 보이는 합도 k, k², k³ 의 합과 상수의 합으로 쪼개 풀 수 있어요. 첫 그림에서는 막대 높이를 모두 더한 값이 Σ 의 값이 되고, 둘째 그림에서는 점 계단 두 개를 맞붙이면 직사각형이 되어 자연수의 합이 왜 n(n + 1)/2 인지 알 수 있어요.

시그마(Σ) 기호의 뜻

5
💡 Σ 는 「모두 더한다」는 약속이다
①Σ 아래의 k = 1 은 시작 번호, 위의 n 은 끝 번호, 오른쪽 식은 더할 항의 규칙이다
②그래서 k = 1 부터 n 까지 aₖ 를 더한 Σ 는 a₁ + a₂ + … + aₙ 이다
③그림에서 칠한 막대의 높이를 모두 더하면 위의 Σ 값이 되고, 오른쪽 줄의 공식 값과 늘 같다
④홀수 1, 3, 5, … 를 n개 더하면 n² 이 된다

자연수의 합: 점 계단 두 개

5
자연수의 합
n(n+1)2
1 + 2 + 3 + … + n 은 점 n × (n + 1) 개로 된 직사각형의 절반이다

기본 공식 세 가지

Σk
n(n+1)2
1 + 2 + … + n
Σk²
n(n+1)(2n+1)6
1² + 2² + … + n²
Σk³
[n(n+1)2]² = (Σk)²
1³ + 2³ + … + n³ = (1 + 2 + … + n)²
🔗 세 공식 사이의 관계
①세제곱의 합은 자연수의 합을 제곱한 것과 같다. 예를 들어 1³ + 2³ + 3³ = 36 = 6² 이다
②이 세 공식과 상수의 합 n 으로 다항식 꼴 항의 합을 대부분 구할 수 있다
③복잡한 식은 먼저 전개해 k³, k², k, 상수 항으로 나눈다

Σ 의 성질

선형성
Σ(cak + bk) = c·Σak + Σbk
상수배는 Σ 밖으로 꺼내고, 합은 나누어 계산할 수 있다
합에서 일반항 되찾기
an = Sn - Sn-1 (n ≥ 2)
합 Sₙ 을 알면 n ≥ 2 일 때 이 식으로 일반항을 구한다
⚠️ 일반항을 되찾을 때 주의할 점
①n ≥ 2 이면 aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ 이다
②n = 1 일 때는 따로 a₁ = S₁ 로 구한다
③두 결과가 한 식으로 이어지는지 확인하고, 다르면 첫째항만 따로 적는다

정리

수열의 합 기본 공식 세 가지
Σk = n(n+1)2, Σk² = n(n+1)(2n+1)6, Σk³ = [n(n+1)2]²
자연수, 제곱수, 세제곱수의 합
🎯 시험 포인트
①Σk = n(n + 1)/2
②Σk² = n(n + 1)(2n + 1)/6
③Σk³ = {n(n + 1)/2}²
④상수배는 밖으로 꺼내고 합은 나누어 계산한다
⑤aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ (n ≥ 2) 이고, a₁ = S₁ 은 따로 확인한다

예제와 기출

예제 1
1 + 2 + 3 + ... + 10 의 값을 구하시오.
1
자연수의 합 공식 n(n + 1)/2 에 n = 10 을 넣는다.
Σk = 10 × 112
2
10 × 11 = 110 을 2 로 나눈다.
= 1102 = 55
▸ 55
1 과 10, 2 와 9 처럼 앞뒤로 짝을 지으면 합이 11 인 쌍이 5개 나오므로 합은 55 이다. 공식 n(n + 1)/2 는 이 짝 짓기를 식으로 쓴 것이다.
예제 2
1² + 2² + 3² + 4² 의 값을 구하시오.
1
제곱의 합 공식 n(n + 1)(2n + 1)/6 에 n = 4 를 넣는다.
Σk² = 4 × 5 × 96
2
4 × 5 × 9 = 180 을 6 으로 나눈다.
= 1806 = 30
▸ 30
1 + 4 + 9 + 16 을 직접 더해도 30 이다. 항이 많아질수록 공식이 훨씬 빠르다.
2023 수능 수학 유형 변형
k = 1 부터 n 까지 (2k + 1) 을 더한 합을 n 에 대한 식으로 나타내면?
①n(n+2)
②n(n+1)
③n²
④2n+1
⑤n²+1
▸ ① n(n+2)
1
Σ 의 성질로 나누면 Σ(2k + 1) = 2Σk + Σ1 이고, Σ1 은 1 을 n 번 더한 n 이다.
Σ(2k+1) = 2 × n(n+1)2 + n
2
n(n + 1) + n 을 정리하면 n² + 2n = n(n + 2) 이다.
= n(n+1) + n = n² + 2n = n(n+2)
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