수열의 합

Sum of Series

시그마 기호 Σ는 여러 항을 하나씩 더하라는 약속을 아주 짧게 적은 것이에요. 1부터 n까지 순서대로 더할 때, 자연수의 합이나 제곱의 합처럼 자주 나오는 합은 굳이 일일이 계산하지 않아도 간단한 공식으로 한 번에 구할 수 있어요. 이런 공식들이 어디에서 나오는지 알면 복잡해 보이는 수열의 합도 k, k², k³의 합으로 쪼개서 풀 수 있어요. 이 페이지에서는 막대그래프로 부분합이 쌓이는 모습을 슬라이더로 직접 움직여 보고, 삼각형 점 배열로 자연수의 합 공식이 왜 성립하는지 눈으로 확인해 봐요.

시그마(Σ) 기호의 의미

항의 수 n5

💡 Σ는 '모두 더하라'는 명령이다

①Σ(k=1 to n) a_k = a₁ + a₂ + ... + a_n

②아래: 시작값, 위: 끝값, 오른쪽: 규칙

③각 막대의 높이를 모두 합한 것이 Σ의 결과

자연수 거듭제곱의 합: 삼각수

자연수의 합

n(n+1)2

1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2

핵심 공식 세 가지

Σk

n(n+1)2

1 + 2 + ... + n

Σk²

n(n+1)(2n+1)6

1² + 2² + ... + n²

Σk³

[n(n+1)2]² = (Σk)²

1³ + 2³ + ... + n³ = (1+2+...+n)²

🔗 놀라운 관계

①Σk³ = (Σk)²: 세제곱의 합은 합의 제곱!

②이 세 공식으로 대부분의 수열 합 문제를 풀 수 있다

③복잡한 식은 항상 k, k², k³으로 분해

Σ의 성질

선형성

Σ(ca_k + b_k) = c·Σa_k + Σb_k

상수 배는 밖으로, 합은 분리 가능

일반항 역추적

a_n = S_n - S_n-1 (n ≥ 2)

합에서 일반항을 구하는 핵심 공식

⚠️ a_n 역추적 시 주의

①n ≥ 2: a_n = S_n - S_{n-1}

②n = 1: a₁ = S₁ (별도 확인 필수!)

③두 값이 일치하는지 반드시 검증

총정리

수열의 합 3대 공식

Σk = n(n+1)2, Σk² = n(n+1)(2n+1)6, Σk³ = [n(n+1)2]²

자연수, 제곱수, 세제곱수의 합

🎯 시험 포인트

①Σk = n(n+1)/2: 가장 기본

②Σk² = n(n+1)(2n+1)/6

③Σk³ = [n(n+1)/2]² = (Σk)²

④Σ의 선형성: 상수 분리, 합 분리

⑤a_n = S_n - S_{n-1} (n ≥ 2), a₁ = S₁ 별도 확인

예제와 기출

예제 1

1 + 2 + 3 + ... + 10 의 값을 구하시오.

자연수의 합 공식 Σk = n(n+1)/2 에 n = 10 을 대입한다.

Σk = 10 × 112

계산한다.

= 1102 = 55

▸ 55

1부터 n까지 자연수의 합은 n(n+1)/2 이다.

예제 2

1² + 2² + 3² + 4² 의 값을 구하시오.

제곱의 합 공식 Σk² = n(n+1)(2n+1)/6 에 n = 4 를 대입한다.

Σk² = 4 × 5 × 96

계산한다.

= 1806 = 30

▸ 30

제곱의 합은 n(n+1)(2n+1)/6 이다.

2023 수능 수학 유형 변형

Σ(k=1 to n) (2k + 1) 을 n 에 대한 식으로 나타내면?

①n(n+2)

②n(n+1)

③n²

④2n+1

⑤n²+1

▸ ① n(n+2)

선형성으로 분리한다. Σ(2k+1) = 2Σk + Σ1.

Σ(2k+1) = 2 × n(n+1)2 + n

정리한다.

= n(n+1) + n = n² + 2n = n(n+2)