등비수열

Geometric Sequence

등비수열은 앞의 항에 같은 수를 계속 곱해 만들어지는 수의 줄이에요. 공비 r이 1보다 크면 눈덩이처럼 폭발적으로 커지고, 0과 1 사이면 점점 작아지며, 음수면 부호가 번갈아 바뀌어요. 어떤 항이든 첫째항 × 공비^(n − 1)로 구하고 여러 항의 합도 공식 하나로 정리되는데, 공비의 크기가 1보다 작으면 무한히 더해도 한 값에 수렴한다는 점이 특히 신기해요. 이 페이지에서는 첫째항과 공비를 바꿔 가며 수열이 커지고 작아지는 모습과 무한합이 수렴하거나 발산하는 과정을 직접 확인해 봐요.

등비수열이란: 같은 비율로 곱하는 수열

첫째항 a₁2

공비 r2

항의 수 n5

💡 등비수열 = 같은 비율로 곱하는 수열

①이웃하는 두 항의 비가 항상 같다 (= 공비 r)

②r > 1이면 폭발적 증가 (지수 성장)

③0 < r < 1이면 점점 줄어듦 (지수 감소)

④r < 0이면 부호가 번갈아 바뀜

일반항과 합 공식

등비수열 일반항

a_n = a₁ · r^n-1

n번째 항 = 첫째항 × 공비⁽n-1)

등비수열의 합

S_n = a₁(rⁿ - 1)r - 1 (r ≠ 1)

r = 1이면 S_n = na₁

📐 등비수열 합 유도 아이디어

①S_n = a₁ + a₁r + a₁r² + ... + a₁r^{n-1}

②rS_n = a₁r + a₁r² + ... + a₁r^n

③빼면: S_n - rS_n = a₁ - a₁r^n

④따라서 S_n(1-r) = a₁(1-r^n)

등비급수: 무한합의 수렴

공비 r0.5

무한등비급수

S = a₁1 - r (|r| < 1)

|r| < 1일 때만 수렴, |r| ≥ 1이면 발산

등비중항

b² = ac (a, b, c가 등비수열)

가운데 항의 제곱 = 양쪽 항의 곱

📐 등비중항의 활용

①세 수 a, b, c가 등비수열 ⟺ b² = ac

②b = ±√(ac) → 부호에 주의

③등비수열에서 등간격으로 뽑은 항도 등비수열

총정리

등비수열 핵심 공식

a_n = a₁r^n-1, S_n = a₁(rⁿ - 1)r - 1

일반항과 합을 한 번에 정리

🎯 시험 포인트

①일반항: a_n = a₁ · r^{n-1}

②합: S_n = a₁(r^n - 1)/(r - 1) (r ≠ 1)

③무한등비급수: |r| < 1일 때 S = a₁/(1-r)

④등비중항: b² = ac

⑤r의 부호와 크기가 수열의 행동을 결정

예제와 기출

예제 1

첫째항이 3, 공비가 2인 등비수열의 제5항을 구하시오.

일반항 a_n = a₁ · r^n-1 에 대입한다.

a₅ = 3 × 2^5-1 = 3 × 2⁴

계산한다.

= 3 × 16 = 48

▸ 제5항 = 48

등비수열의 일반항은 첫째항에 공비를 (n−1)번 곱한 값이다.

예제 2

첫째항이 2, 공비가 3인 등비수열의 첫째항부터 제4항까지의 합을 구하시오.

합 공식 S_n = a₁(rⁿ − 1)/(r − 1) 에 대입한다.

S₄ = 2(3⁴ - 1)3 - 1

계산한다.

= 2(81 - 1)2 = 80

▸ 합 = 80

등비수열의 합은 a₁(rⁿ − 1)/(r − 1) (단, r ≠ 1).

2022 평가원 모평 수학 유형 변형

첫째항이 4, 공비가 1/2 인 무한등비급수의 합은?

①8

②4

③2

④6

⑤수렴하지 않음

▸ ① 8

|r| = 1/2 < 1 이므로 수렴하고, S = a₁/(1 − r) 를 쓴다.

S = a₁1 - r = 41 - 1/2

계산한다.

= 41/2 = 8