seegongsik
고등학교 2학년 (16-17세)

수학I 등비수열

Geometric Sequence

등비수열은 앞의 항에 늘 같은 수를 곱해 가며 만든 수의 줄이에요. 곱하는 수인 공비 r 이 1보다 크면 눈덩이처럼 불어나고, 0과 1 사이면 점점 작아지며, 음수면 부호가 번갈아 바뀌어요. 제n항은 첫째항에 공비를 (n − 1)번 곱한 값이고, 공비의 절댓값이 1보다 작으면 항을 끝없이 더해도 합이 한 값에 다가가요. 첫 그림에서는 첫째항과 공비에 따라 막대가 커지거나 줄고, 둘째 그림에서는 부분합이 극한값에 모이거나 그림 밖으로 뻗어 나가요.

등비수열: 같은 비율로 곱해 가는 수열

2
2
5
💡 이웃한 두 항의 비가 늘 같다
①뒤 항을 앞 항으로 나누면 언제나 공비 r 이 나온다
②r > 1 이면 한 칸마다 r 배로 불어난다
③0 < r < 1 이면 한 칸마다 줄어 0 에 가까워진다
④r < 0 이면 부호가 번갈아 바뀐다(이 그림의 공비는 0.3 이상이고, 음수 공비는 둘째 그림에서 고를 수 있다)

일반항과 합

등비수열의 일반항
an = a₁ · rn-1
제n항 = 첫째항 × 공비ⁿ⁻¹
등비수열의 합
Sn = a₁(rn - 1)r - 1 (r ≠ 1)
r = 1 이면 모든 항이 같으므로 Sₙ = na₁ 이다
📐 합 공식이 나오는 길
①Sₙ = a₁ + a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ⁻¹ 이다
②양변에 r 을 곱하면 rSₙ = a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ 이다
③두 식을 빼면 가운데 항이 모두 지워져 Sₙ − rSₙ = a₁ − a₁rⁿ 만 남는다
④r ≠ 1 이면 양변을 1 − r 로 나누어 Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) 을 얻는다

무한등비급수: 끝없이 더한 합

0.5
무한등비급수
S = a₁1 - r (|r| < 1)
|r| < 1 일 때만 수렴하고 |r| ≥ 1 이면 발산한다. 그림의 첫째항은 1 이다

등비중항

등비중항
b² = ac (a, b, c가 등비수열)
가운데 항의 제곱은 양쪽 두 항의 곱이다
📐 등비중항 쓰기
①0 이 아닌 세 수 a, b, c 가 이 순서로 등비수열 ⟺ b² = ac
②b = ±√(ac) 이므로 b 의 부호는 문제의 조건으로 정한다
③등비수열에서 같은 간격으로 뽑은 항들도 다시 등비수열을 이룬다

정리

등비수열 핵심 공식
an = a₁rn-1, Sn = a₁(rn - 1)r - 1
일반항과 합을 나란히
🎯 시험 포인트
①일반항 aₙ = a₁rⁿ⁻¹
②합 Sₙ = a₁(rⁿ − 1)/(r − 1) (r ≠ 1), r = 1 이면 Sₙ = na₁
③무한등비급수는 |r| < 1 일 때 S = a₁/(1 − r)
④등비중항 b² = ac
⑤공비의 부호는 부호가 바뀌는지를, 절댓값은 커지는지 줄어드는지를 정한다

예제와 기출

예제 1
첫째항이 3, 공비가 2인 등비수열의 제5항을 구하시오.
1
일반항 aₙ = a₁rⁿ⁻¹ 에 n = 5 를 넣는다.
a5 = 3 × 25-1 = 3 × 24
2
2⁴ = 16 이므로 3 에 16 을 곱한다.
= 3 × 16 = 48
▸ a₅ = 48
제5항까지 가는 동안 공비를 곱하는 횟수는 4번이다. 3, 6, 12, 24, 48 로 차례로 적어도 같은 값이 나온다.
예제 2
첫째항이 2, 공비가 3인 등비수열의 첫째항부터 제4항까지의 합을 구하시오.
1
합 공식 Sₙ = a₁(rⁿ − 1)/(r − 1) 에 a₁ = 2, r = 3, n = 4 를 넣는다.
S4 = 2(34 - 1)3 - 1
2
3⁴ = 81 이므로 분자는 2 × 80 이고, 이것을 분모 2 로 나눈다.
= 2(81 - 1)2 = 80
▸ S₄ = 80
2, 6, 18, 54 를 직접 더해도 80 이다. 항이 많아질수록 공식이 하나하나 더하기보다 훨씬 빠르다.
2022 평가원 모평 수학 유형 변형
첫째항이 4, 공비가 1/2 인 무한등비급수의 합은?
①8
②4
③2
④6
⑤수렴하지 않음
▸ ① 8
1
|r| = 1/2 < 1 이므로 합이 수렴하고, S = a₁/(1 − r) 를 쓸 수 있다.
S = a₁1 - r = 41 - 1/2
2
1 − 1/2 = 1/2 이므로 4 를 1/2 로 나누면 8 이다.
= 41/2 = 8
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