등차수열

Arithmetic Sequence

등차수열은 앞의 항에 일정한 수를 계속 더해 만들어지는 수의 줄이에요. 2, 5, 8, 11처럼 공차 3씩 커지는 규칙을 알면 몇 번째 항이든 첫째항 + (n − 1) × 공차로 바로 구할 수 있어요. 또 첫째항과 끝항을 짝지어 더하는 가우스의 아이디어로, 여러 항의 합도 간단한 공식으로 정리돼요. 이 페이지에서는 첫째항과 공차를 바꿔 가며 수열과 그 합이 어떻게 달라지는지 직접 확인해 봐요.

등차수열이란: 계단처럼 같은 간격

첫째항 a₁2

공차 d3

항의 수 n5

💡 등차수열 = 같은 간격으로 증가하는 수열

①이웃하는 두 항의 차가 항상 같다 (= 공차 d)

②계단의 높이가 일정한 것과 같은 원리

③d > 0이면 증가, d < 0이면 감소, d = 0이면 상수

일반항 공식

등차수열 일반항

a_n = a₁ + (n-1)d

n번째 항 = 첫째항 + (n-1) × 공차

📐 일반항의 의미

①a₁에서 시작하여 d를 (n-1)번 더한다

②직선 y = dx + (a₁ - d) 위의 자연수 점에 대응

③기울기가 d인 1차함수와 같은 형태

등차수열의 합: 사다리꼴 넓이

등차수열의 합

S_n = n(a₁ + a_n)2

(첫째항 + 마지막항) × 항 수 / 2

공차로 표현

S_n = n2(2a₁ + (n-1)d)

a_n 없이 첫째항과 공차만으로 합 계산

💡 가우스의 발견

①1 + 2 + ... + 100 = ?

②처음과 끝을 짝지으면: (1+100) + (2+99) + ... = 101 × 50 = 5050

③이것이 곧 n(a₁ + a_n)/2의 원리

등차중항

b = a + c2

a, b, c가 등차수열 → b는 a와 c의 산술평균

📐 등차중항의 활용

①세 수 a, b, c가 등차수열 ⟺ 2b = a + c

②가운데 항 = 양쪽 항의 평균

③등차수열에서 등간격으로 뽑은 항도 등차수열

총정리

등차수열 핵심 공식

a_n = a₁ + (n-1)d, S_n = n(a₁ + a_n)2

일반항과 합을 한 번에 정리

🎯 시험 포인트

①일반항: a_n = a₁ + (n-1)d

②합: S_n = n(a₁ + a_n)/2 = n(2a₁ + (n-1)d)/2

③등차중항: 2b = a + c

④S_n이 n에 대한 2차식 (d ≠ 0) 또는 1차식 (d = 0)

⑤a_n = S_n - S_{n-1} (n ≥ 2)로 일반항 역추적

예제와 기출

예제 1

첫째항이 3, 공차가 2인 등차수열의 제10항을 구하시오.

일반항 공식 a_n = a₁ + (n−1)d 에 대입한다.

a₁₀ = 3 + (10-1) × 2

계산한다.

= 3 + 18 = 21

▸ 제10항 = 21

일반항은 첫째항에서 공차를 (n−1)번 더한 값이다.

예제 2

첫째항이 2, 공차가 3인 등차수열의 첫째항부터 제10항까지의 합을 구하시오.

먼저 제10항을 구한다. a₁₀ = 2 + 9 × 3 = 29.

a₁₀ = 2 + (10-1) × 3 = 29

합 공식 S_n = n(a₁ + a_n)/2 에 대입한다.

S₁₀ = 10(2 + 29)2 = 155

▸ 합 = 155

등차수열의 합은 (첫째항 + 마지막항) × 항 수 ÷ 2 이다.

2023 수능 수학 유형 변형

등차수열 {a_n} 에서 a₃ = 7, a₇ = 19 일 때, 첫째항 a₁ 과 공차 d 는?

①a₁ = 1, d = 3

②a₁ = 3, d = 2

③a₁ = 1, d = 4

④a₁ = 2, d = 3

⑤a₁ = 7, d = 3

▸ ① a₁ = 1, d = 3

a₃ = a₁ + 2d = 7, a₇ = a₁ + 6d = 19 두 식을 세운다.

a₁ + 2d = 7, a₁ + 6d = 19

두 식을 빼면 4d = 12, 따라서 d = 3, a₁ = 1.

4d = 12 ⟹ d = 3, a₁ = 1