고등학교 2학년 (16-17세)

수학I 등차수열

Arithmetic Sequence

등차수열은 앞의 항에 늘 같은 수를 더해 가며 만든 수의 줄이에요. 2, 5, 8, 11은 3씩 커지니 공차가 3이고, 제n항은 첫째항에 공차를 (n − 1)번 더한 값이라 몇 번째 항이든 곧바로 구할 수 있어요. 합은 첫째항과 끝항, 둘째 항과 끝에서 둘째 항을 짝 지으면 쌍마다 합이 같다는 사실에서 나와요. 첫째항과 공차를 바꾸면 첫 그림의 계단 높이와 둘째 그림의 직사각형 크기가 함께 달라져요.

등차수열: 같은 높이로 오르는 계단

첫째항 a₁2

공차 d3

항의 수 n5

💡 이웃한 두 항의 차가 늘 같다

①뒤 항에서 앞 항을 빼면 언제나 공차 d 가 나온다

②그래서 막대 꼭대기를 이으면 한 직선 위에 놓인다

③d > 0 이면 커지고, d < 0 이면 작아지며, d = 0 이면 모든 항이 같다

일반항: 공차를 몇 번 더했는가

등차수열의 일반항

a_n = a₁ + (n-1)d

제n항 = 첫째항 + (n − 1) × 공차

📐 일반항을 읽는 법

①a₁ 에서 출발해 d 를 (n − 1)번 더한다

②점 (n, aₙ) 은 기울기가 d 인 직선 y = dx + (a₁ − d) 위에 있다

③그래서 등차수열은 자연수에서만 값을 갖는 일차함수로 볼 수 있다

합: 거꾸로 얹어 직사각형 만들기

등차수열의 합

S_n = n(a₁ + a_n)2

(첫째항 + 끝항) × 항의 수 ÷ 2

공차로 쓴 합

S_n = n2(2a₁ + (n-1)d)

끝항 aₙ 을 모를 때는 첫째항과 공차만으로 계산한다

💡 가우스의 짝 짓기

①1 + 2 + … + 100 에서 1과 100, 2와 99를 짝 지으면 쌍마다 합이 101이다

②쌍은 50개이므로 합은 101 × 50 = 5050 이다

③수열을 거꾸로 한 번 더 써서 칸마다 더하면 n칸이 모두 a₁ + aₙ 이 되고, 원래 합은 그 절반이다

등차중항

b = a + c2

a, b, c 가 이 순서로 등차수열이면 b 는 a 와 c 의 평균이다

📐 등차중항 쓰기

①세 수 a, b, c 가 이 순서로 등차수열 ⟺ 2b = a + c

②가운데 항은 양옆 두 항의 평균이다

③등차수열에서 같은 간격으로 뽑은 항들도 다시 등차수열을 이룬다

④합 Sₙ 을 알면 n ≥ 2 일 때 aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ 로 일반항을 되찾는다

정리

등차수열 핵심 공식

a_n = a₁ + (n-1)d, S_n = n(a₁ + a_n)2

일반항과 합을 나란히

🎯 시험 포인트

①일반항 aₙ = a₁ + (n − 1)d

②합 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = n{2a₁ + (n − 1)d}/2

③등차중항 2b = a + c

④d ≠ 0 이면 Sₙ 은 상수항이 없는 n 의 이차식이다

⑤aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ (n ≥ 2), a₁ = S₁

예제와 기출

예제 1

첫째항이 3이고 공차가 2인 등차수열의 제10항을 구하시오.

일반항 aₙ = a₁ + (n − 1)d 에 n = 10 을 넣는다.

a₁₀ = 3 + (10 − 1) × 2

첫째항에서 제10항까지 2를 아홉 번 더하므로 18 이 늘어난다.

= 3 + 18 = 21

▸ a₁₀ = 21

제10항까지 가는 동안 공차를 더하는 횟수는 10번이 아니라 9번이다. 첫째항은 이미 줄의 맨 앞에 서 있기 때문이다.

예제 2

첫째항이 2이고 공차가 3인 등차수열에서 첫째항부터 제10항까지의 합을 구하시오.

합 공식에는 끝항이 들어가므로 제10항부터 구한다.

a₁₀ = 2 + (10 − 1) × 3 = 29

첫째항과 끝항을 더한 31 에 항의 수 10 을 곱하고 2 로 나눈다.

S₁₀ = 10(2 + 29)2 = 155

▸ S₁₀ = 155

2와 29, 5와 26, 8과 23처럼 앞뒤에서 하나씩 짝을 지으면 쌍마다 합이 31로 같다. 열 항이면 다섯 쌍이라 합은 31 × 5 = 155 이다.

2023 수능 수학 유형 변형

어떤 등차수열에서 a₃ = 7, a₇ = 19 일 때, 첫째항 a₁ 과 공차 d 는?

①a₁ = 1, d = 3

②a₁ = 3, d = 2

③a₁ = 1, d = 4

④a₁ = 2, d = 3

⑤a₁ = 7, d = 3

▸ ① a₁ = 1, d = 3

제3항은 첫째항에 공차를 두 번, 제7항은 여섯 번 더한 값이다.

a₁ + 2d = 7, a₁ + 6d = 19

두 항은 네 칸 떨어져 있고 19 − 7 = 12 만큼 차이 나므로 d = 3 이고, a₁ = 7 − 2 × 3 = 1 이다.

4d = 12 ⟹ d = 3, a₁ = 1

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등비수열

마지막 수정 2026-10-17

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