수학적 귀납법은 자연수 n 마다 하나씩 있는 무한히 많은 명제를 도미노처럼 한꺼번에 증명하는 방법이에요.
먼저 첫 도미노가 넘어진다는 것, 곧 n = 1 일 때 명제가 참임을 보이고, 이어서 어느 도미노든 넘어지면 바로 다음 도미노도 넘어진다는 것, 곧 n = k 일 때 참이면 n = k + 1 일 때도 참임을 보여요.
이 두 가지가 갖춰지면 1, 2, 3, … 으로 끝없이 이어져 모든 자연수에서 명제가 참이 돼요.
첫 그림에서 넘어진 도미노 수를 늘리면 다음 도미노에 기댄 도미노가 늘어나고, 둘째 그림에는 증명의 세 단계가 차례로 놓여 있어요.
도미노로 보는 귀납법
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넘어진 도미노(금색)가 다음 도미노에 기대며 차례로 넘어지는 모습. 왼쪽 빨간 화살표가 첫 도미노를 민다
3
💡 도미노가 모두 넘어지는 두 조건
①첫 도미노를 민다: n = 1 일 때 참임을 확인한다
②어느 것이 넘어지든 바로 다음 것도 넘어진다: n = k 에서 참이면 n = k + 1 에서도 참이다
③둘 중 하나라도 빠지면 줄 전체가 넘어진다고 말할 수 없다
④출발점이 n = 2 처럼 1 이 아닌 문제도 있는데, 그때는 그 수부터 확인한다
증명의 짜임: 세 단계
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수학적 귀납법 증명의 흐름
📐 단계마다 하는 일
①1단계(기초): n = 1 을 직접 넣어 성립함을 보인다
②2단계(가정): n = k 일 때 성립한다고 가정한다
③3단계(증명): 그 가정을 써서 n = k + 1 일 때도 성립함을 보인다
④세 단계를 마치면 모든 자연수 n 에 대해 증명이 끝난다
예제: 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2 증명
1단계: n = 1
좌변 = 1, 우변 = 1×22 = 1
n = 1 일 때 양변이 같음을 직접 확인한다
2단계: n = k 가정
1+2+...+k = k(k+1)2 (가정)
n = k 일 때 성립한다고 가정한다
3단계: n = k + 1 증명
1+2+...+k+(k+1) = k(k+1)2 + (k+1) = (k+1)(k+2)2
가정한 식의 양변에 k + 1 을 더해 정리하면 n = k + 1 일 때의 식이 된다
✅ 증명 끝
①n = 1 일 때 성립한다
②n = k 일 때 성립하면 n = k + 1 일 때도 성립한다
③따라서 모든 자연수 n 에 대해 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2 이다
귀납법을 쓸 때
⚠️ 자주 하는 실수
①1단계를 빠뜨리면 둘째 조건만으로는 아무것도 증명되지 않는다
②2단계에서 가정하는 것은 n = k 일 때의 식이며, 증명해야 할 n = k + 1 일 때의 식을 가정하면 안 된다
③3단계에서 가정을 한 번도 쓰지 않았다면 귀납법으로 증명한 것이 아니다
📐 귀납법이 쓰이는 곳
①자연수 n 에 대한 등식과 부등식
②수열의 합 공식
③나누어떨어짐에 관한 명제(예: 3ⁿ − 1 은 2 의 배수)
④도형의 성질(예: n각형 내각의 합은 (n − 2) × 180°)
정리
수학적 귀납법
P(1) 성립 ∧ [P(k) → P(k+1)] ⟹ ∀n∈ℕ, P(n)
기초 단계와 귀납 단계가 함께 성립하면 모든 자연수에서 성립한다
🎯 시험 포인트
①세 단계: 기초(n = 1) → 가정(n = k) → 증명(n = k + 1)
②기초 단계는 생략하지 않는다
③귀납 단계에서는 가정을 반드시 쓴다
④부등식이면 n = k + 1 일 때의 좌변을 가정이 들어갈 꼴로 바꾼다
⑤n = 2 처럼 1 이 아닌 수에서 시작하는 문제도 있다
예제와 기출
예제 1
모든 자연수 n에 대하여 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 임을 수학적 귀납법으로 증명할 때, 가장 먼저 확인해야 하는 단계는?
1
수학적 귀납법은 (i) n = 1 일 때 성립함과 (ii) n = k 일 때 성립하면 n = k + 1 일 때도 성립함, 이 두 가지로 이루어진다.
(i) n = 1 확인, (ii) P(k) ⟹ P(k+1)
2
가장 먼저 n = 1 을 넣어 좌변과 우변이 같은지 확인한다.
n=1: 좌변 = 1, 우변 = 1×22 = 1
▸ n = 1 일 때 성립함을 먼저 확인한다(기초 단계).
출발점을 확인하지 않으면 「다음 것도 넘어진다」는 사슬이 아무리 튼튼해도 첫 도미노가 넘어지지 않는다.
예제 2
수학적 귀납법에서 n=k일 때 성립을 가정한 뒤, 그 가정을 이용하여 무엇을 보여야 하는가?
1
n = k 일 때 성립한다고 가정한다(귀납 가정).
가정: P(k) 성립
2
이 가정을 발판으로 n = k + 1 일 때도 성립함을 보인다.
보일 것: P(k+1) 성립
▸ n = k + 1 일 때도 성립함을 보인다.
n = k + 1 일 때의 식 안에서 n = k 일 때의 식을 찾아 가정으로 바꿔 넣는 것이 귀납 단계의 핵심이다.
2023 수능 수학 유형 변형
도미노가 모두 넘어지는 상황에 대응하는 수학적 귀납법의 두 단계로 옳은 것은?
①n=1 성립, 그리고 P(k) ⟹ P(k+1)
②n=1 성립만 확인
③P(k) ⟹ P(k+1) 만 확인
④모든 n을 직접 대입
⑤n=2 성립, 그리고 P(k) ⟹ P(k−1)
▸ ① n=1 성립, 그리고 P(k) ⟹ P(k+1)
1
첫 도미노가 넘어지는 것은 기초 단계, 곧 n = 1 일 때 성립함에 대응한다.
(i) n = 1 에서 성립
2
k번째가 넘어지면 (k + 1)번째도 넘어지는 것은 귀납 단계 P(k) ⟹ P(k + 1) 에 대응한다.