이차부등식을 푼다는 건 결국 포물선이 x축보다 아래에 있는지 위에 있는지를 따지는 일이에요.
판별식 D의 부호로 해가 있는지 없는지를 먼저 가늠하고, 두 근 사이인지 바깥인지로 답의 범위가 갈려요.
절대값 부등식 |x| < a는 원점에서의 거리가 a보다 가까운 구간이라는 뜻이고, 연립부등식은 각 부등식의 해가 겹치는 공통 부분을 찾는 문제예요.
계수 슬라이더를 움직여 초록색 해 영역이 늘었다 줄었다 하고 D가 음수일 때 해가 사라지는 순간을, 또 수직선 위 절대값 부등식의 구간을 직접 확인해 봐요.
이차부등식: 포물선 아래/위 영역
이차부등식 ax² + bx + c ≤ 0의 해는 포물선이 x축 아래에 있는 구간입니다. 판별식 D로 해의 존재를 먼저 판단합니다.
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x² + px + q ≤ 0 의 해 영역 (초록색)
💡 이차부등식의 해
①x² + px + q ≤ 0: 두 근 사이 (α ≤ x ≤ β)
②x² + px + q ≥ 0: 두 근 바깥 (x ≤ α 또는 x ≥ β)
③D < 0이고 a > 0이면: x² + px + q > 0 항상 성립
이차부등식 풀이 체계
이차부등식 해법
f(x) = a(x - α)(x - β) ≤ 0 (a > 0이면 α ≤ x ≤ β)
인수분해 후 부호 판단
D < 0일 때
a > 0: ax² + bx + c > 0 (항상), a < 0: ax² + bx + c < 0 (항상)
판별식이 음수면 부호가 바뀌지 않는다
📐 부호표 방법
①f(x)를 인수분해: a(x-α)(x-β) 형태로
②수직선에 근 α, β 표시
③각 구간에서 부호 결정
④원하는 부호의 구간이 해
절대값 부등식
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|x| < a의 해: 수직선 위의 구간
절대값 부등식
|x| < a ⟺ -a < x < a
원점에서의 거리가 a 미만
절대값 부등식 (반대)
|x| > a ⟺ x < -a 또는 x > a
원점에서의 거리가 a 초과
연립부등식
연립부등식의 해
A ∩ B (두 부등식 해의 교집합)
각 부등식의 해를 구한 뒤 공통 부분
🔑 연립부등식 풀이 전략
①각 부등식을 따로 풀어 해를 구한다
②수직선에 각 해를 표시한다
③겹치는 구간(교집합)이 연립부등식의 해
④해가 없으면 '해 없음'
직접 풀어보기
예제 1
이차부등식 x² − x − 6 < 0을 푸시오.
1
좌변을 인수분해한다.
x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2) < 0
2
아래로 볼록한 이차식은 두 근 사이에서 음수이다.
−2 < x < 3
▸ −2 < x < 3
아래로 볼록한 이차식이 0보다 작은 구간은 두 근 사이이다.
예제 2
연립부등식 2x − 1 > 3, x² − 5x + 4 ≤ 0의 해를 구하시오.
1
각 부등식을 따로 푼다.
x > 2 그리고 (x − 1)(x − 4) ≤ 0 ⇒ 1 ≤ x ≤ 4
2
두 해의 공통 범위를 구한다.
2 < x ≤ 4
▸ 2 < x ≤ 4
연립부등식은 각 해의 공통부분(교집합)을 구한다.
총정리
이차부등식
a(x-α)(x-β) ≤ 0, a > 0 → α ≤ x ≤ β
포물선과 x축의 위치 관계
절대값 부등식
|f(x)| < a ⟺ -a < f(x) < a
절대값을 벗기면 양쪽 부등식
교육청 고1 학력평가 유형
모든 실수 x에 대하여 x² − 2x + k > 0이 항상 성립하도록 하는 상수 k의 값의 범위는?