고등학교 1학년 (15-16세)

공통수학 여러 가지 부등식

Various Inequalities

이차부등식을 푼다는 것은 포물선이 x축보다 아래에 있는 구간과 위에 있는 구간을 가려내는 일이에요. 판별식 D의 부호로 포물선이 x축과 만나는지부터 확인하고, 만난다면 두 근 사이인지 바깥인지에 따라 답의 범위가 정해져요. 절댓값 부등식 |x| < a는 수직선 위에서 원점까지의 거리가 a보다 작은 점들을 뜻하고, 연립부등식은 각 부등식의 해가 겹치는 부분을 찾는 문제예요. 첫 번째 그림에서는 계수에 따라 해에 해당하는 초록 구간이 늘거나 줄다가 D가 음수가 되면 사라지고, 두 번째 그림에서는 a에 따라 수직선 위 구간의 폭이 달라져요.

이차부등식: 포물선이 x축 아래에 있는 구간

이차부등식 ax² + bx + c ≤ 0(a > 0)의 해는 포물선이 x축 아래에 있거나 x축과 만나는 구간이다. 판별식 D로 그런 구간이 있는지부터 따진다.

p (x의 계수)-2

q (상수항)-3

💡 이차부등식의 해 읽기

①x² + px + q ≤ 0의 해는 두 근 α, β 사이, 곧 α ≤ x ≤ β이다

②x² + px + q ≥ 0의 해는 두 근 바깥, 곧 x ≤ α 또는 x ≥ β이다

③D = 0이면 포물선이 x축에 접하므로 x² + px + q ≤ 0의 해는 x = −p/2 하나뿐이다

④D < 0이면 포물선이 늘 x축 위에 있어 x² + px + q ≤ 0의 해는 없고, x² + px + q > 0은 모든 실수에서 성립한다

⑤그림에서는 x²의 계수를 1로 고정했다

이차부등식 푸는 법

인수분해해서 풀기

a(x − α)(x − β) ≤ 0, a > 0 → α ≤ x ≤ β

인수분해한 뒤 각 구간의 부호를 따진다

D < 0일 때

a > 0이면 ax² + bx + c > 0, a < 0이면 ax² + bx + c < 0 (모든 실수 x)

판별식이 음수이면 이차식의 부호가 바뀌지 않는다

📐 부호표로 풀기

①f(x)를 a(x − α)(x − β) 꼴로 인수분해한다

②수직선에 두 근 α, β를 표시한다

③세 구간에서 f(x)의 부호를 정한다

④부등식이 원하는 부호가 나오는 구간이 해이다

절댓값이 있는 부등식

a의 값3

절댓값 부등식

|x| < a ⟺ −a < x < a

원점까지의 거리가 a보다 작다(a > 0)

절댓값 부등식 (반대 방향)

|x| > a ⟺ x < −a 또는 x > a

원점까지의 거리가 a보다 크다(a > 0)

연립부등식

연립부등식의 해

(첫째 부등식의 해) ∩ (둘째 부등식의 해)

각 부등식의 해를 구한 뒤 겹치는 부분을 찾는다

🔑 연립부등식 푸는 순서

①부등식을 하나씩 따로 풀어 해를 구한다

②각 해를 한 수직선 위에 함께 그린다

③모두 겹치는 구간이 연립부등식의 해이다

④겹치는 부분이 없으면 해가 없다

예제와 단원평가

예제 1

이차부등식 x² − x − 6 < 0을 푸시오.

왼쪽을 인수분해한다.

x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2) < 0

아래로 볼록한 포물선은 두 근 사이에서 x축 아래에 있다.

−2 < x < 3

▸ −2 < x < 3

부등호에 등호가 없으므로 두 근 −2와 3은 해에 들어가지 않는다.

예제 2

연립부등식 2x − 1 > 3, x² − 5x + 4 ≤ 0을 푸시오.

두 부등식을 따로 푼다.

x > 2 그리고 (x − 1)(x − 4) ≤ 0 ⇒ 1 ≤ x ≤ 4

두 해가 겹치는 범위를 구한다.

2 < x ≤ 4

▸ 2 < x ≤ 4

수직선에 x > 2와 1 ≤ x ≤ 4를 함께 그리면 2와 4 사이에서만 겹친다. 2는 첫째 부등식을 만족하지 않으므로 빠진다.

정리

이차부등식

a(x − α)(x − β) ≤ 0, a > 0 → α ≤ x ≤ β

포물선과 x축의 위치 관계로 읽는다

절댓값 부등식

|f(x)| < a ⟺ −a < f(x) < a

절댓값을 풀면 양쪽으로 묶인 부등식이 된다

교육청 고1 학력평가 유형

모든 실수 x에 대하여 x² − 2x + k > 0이 항상 성립하도록 하는 상수 k의 값의 범위는?

①k < 1

②k > 1

③k ≤ 1

④k ≥ 1

⑤k > 2

▸ ② k > 1

아래로 볼록(이차항 계수 1 > 0)하므로 항상 양수일 조건은 판별식 D < 0이다.

D = (−2)² − 4·1·k < 0

부등식을 푼다.

4 − 4k < 0 ⇒ k > 1

🎯 시험에 자주 나오는 것

①이차부등식은 먼저 판별식 D의 부호를 확인한다

②a > 0이고 D < 0이면 ax² + bx + c > 0이 모든 실수에서 성립한다

③|x − a| < b는 a − b < x < a + b로, a를 가운데 두고 양쪽으로 b만큼 퍼진 구간이다

④연립부등식은 수직선에 그려 겹치는 부분을 확인한다

⑤'모든 실수 x에 대하여 성립' 조건은 판별식 D < 0 또는 D ≤ 0으로 바꾸어 푼다

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마지막 수정 2026-10-17

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