공통수학›방정식과 부등식

여러 가지 부등식

Various Inequalities

이차부등식 — 포물선 아래/위 영역

이차부등식 ax² + bx + c ≤ 0의 해는 포물선이 x축 아래에 있는 구간입니다. 판별식 D로 해의 존재를 먼저 판단합니다.

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💡 이차부등식의 해
①x² + px + q ≤ 0: 두 근 사이 (α ≤ x ≤ β)
②x² + px + q ≥ 0: 두 근 바깥 (x ≤ α 또는 x ≥ β)
③D < 0이고 a > 0이면: x² + px + q > 0 항상 성립
이차부등식 풀이 체계
이차부등식 해법
f(x) = a(x - α)(x - β) ≤ 0 (a > 0이면 α ≤ x ≤ β)
인수분해 후 부호 판단
D < 0일 때
a > 0: ax² + bx + c > 0 (항상), a < 0: ax² + bx + c < 0 (항상)
판별식이 음수면 부호가 바뀌지 않는다
📐 부호표 방법
①f(x)를 인수분해: a(x-α)(x-β) 형태로
②수직선에 근 α, β 표시
③각 구간에서 부호 결정
④원하는 부호의 구간이 해
절대값 부등식
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절대값 부등식
|x| < a ⟺ -a < x < a
원점에서의 거리가 a 미만
절대값 부등식 (반대)
|x| > a ⟺ x < -a 또는 x > a
원점에서의 거리가 a 초과
연립부등식
연립부등식의 해
A ∩ B (두 부등식 해의 교집합)
각 부등식의 해를 구한 뒤 공통 부분
🔑 연립부등식 풀이 전략
①각 부등식을 따로 풀어 해를 구한다
②수직선에 각 해를 표시한다
③겹치는 구간(교집합)이 연립부등식의 해
④해가 없으면 '해 없음'
총정리
이차부등식
a(x-α)(x-β) ≤ 0, a > 0 → α ≤ x ≤ β
포물선과 x축의 위치 관계
절대값 부등식
|f(x)| < a ⟺ -a < f(x) < a
절대값을 벗기면 양쪽 부등식
🎯 시험 포인트
①이차부등식: 먼저 D의 부호 확인
②a > 0이고 D < 0이면 ax² + bx + c > 0 항상 성립
③절대값: |x-a| < b → a-b < x < a+b (중심 a, 반지름 b)
④연립부등식: 수직선 그림으로 교집합 확인
⑤'모든 실수 x에 대해' 조건 → D ≤ 0 활용