고등학교 1학년 (15-16세)

공통수학 여러 가지 방정식

Various Equations

여러 가지 방정식에서는 이차를 넘어서는 삼차방정식과 사차방정식, 그리고 미지수가 둘인 연립방정식을 다뤄요. 삼차방정식의 실근은 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표라서, 인수정리로 근 하나를 찾고 조립제법으로 차수를 낮추면 남은 이차방정식으로 풀 수 있어요. 연립방정식의 해는 두 그래프가 만나는 점이고, 일차식과 이차식으로 된 연립방정식은 한 식을 다른 식에 넣어 미지수 하나짜리 방정식으로 바꿔 풀어요. 첫 번째 그림에서는 p와 q에 따라 삼차함수가 x축과 만나는 점의 개수가, 두 번째 그림에서는 기울기 k에 따라 포물선과 직선의 교점이 바뀌어요.

삼차방정식의 근을 그래프로 찾기

삼차방정식 x³ + px + q = 0의 실근은 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표이다. 계수를 바꾸면 실근의 개수가 1개, 2개, 3개로 달라진다.

p (x의 계수)-3

q (상수항)2

💡 삼차방정식의 실근

①삼차함수의 그래프는 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 이어지므로 x축과 적어도 한 번은 만난다. 그래서 삼차방정식은 실근을 적어도 하나 갖는다

②p가 음수이고 그 절댓값이 크면 그래프가 크게 굽이쳐 x축과 세 번 만날 수 있다

③그래프가 x축에 접하는 곳은 중근이다. 처음 그림의 x³ − 3x + 2 = (x − 1)²(x + 2)는 x = 1에서 접한다

④풀 때는 인수정리로 근 하나를 찾고 조립제법으로 이차식으로 낮춘다

삼차방정식과 사차방정식 푸는 법

인수정리 이용

정수 근 후보 → 조립제법 → 이차식으로 낮추기

상수항의 약수를 넣어 0이 되는 값을 찾는다

치환 이용

x⁴ + ax² + b = 0 → x² = t로 치환

사차방정식이 t의 이차방정식으로 바뀐다

🔑 푸는 순서

①공통인수가 있는지 먼저 본다

②상수항의 약수를 넣어 근 하나를 찾는다

③조립제법으로 차수를 하나 낮춘다

④남은 이차방정식은 인수분해나 근의 공식으로 푼다

연립방정식과 두 그래프의 교점

연립방정식의 해는 두 그래프가 만나는 점의 좌표이다. 일차식과 이차식으로 된 연립방정식은 한 식을 다른 식에 넣어 푼다.

기울기 k2

📐 연립방정식 풀기

①한 식을 다른 식에 넣어 미지수가 하나인 방정식으로 만든다

②x² = kx + 1을 정리하면 x² − kx − 1 = 0이다

③이 이차방정식의 판별식은 D = k² + 4로 k에 관계없이 늘 양수이므로, 그림의 직선은 포물선과 언제나 두 점에서 만난다

④두 교점의 좌표가 곧 연립방정식의 해이다

특수한 방정식

절댓값이 있는 방정식

|f(x)| = g(x) → f(x) = g(x) 또는 f(x) = −g(x)

g(x) ≥ 0인지 확인하며 두 경우로 나누어 푼다

무리방정식

√(f(x)) = g(x) → f(x) = g(x)², g(x) ≥ 0

양변을 제곱한 뒤 반드시 원래 식에 넣어 확인한다

예제와 단원평가

예제 1

삼차방정식 x³ − 8 = 0의 실근을 구하시오.

세제곱의 차 공식으로 인수분해한다.

x³ − 2³ = (x − 2)(x² + 2x + 4) = 0

x − 2 = 0에서 실근을 얻는다. x² + 2x + 4 = 0은 판별식이 4 − 16 < 0이라 허근을 갖는다.

x = 2 (x² + 2x + 4 = 0의 두 근은 허근)

▸ x = 2

x³ − 8 = 0의 근은 모두 세 개지만, 그 가운데 실근은 하나뿐이다. 그래프 y = x³ − 8도 x축과 한 번만 만난다.

예제 2

연립방정식 x + y = 5, x² + y² = 13을 푸시오.

x + y = 5에서 y = 5 − x를 얻어 둘째 식에 넣는다.

x² + (5 − x)² = 13

정리하면 2x² − 10x + 12 = 0, 곧 x² − 5x + 6 = 0이므로 (x − 2)(x − 3) = 0이다.

x² − 5x + 6 = 0 ⇒ (x, y) = (2, 3) 또는 (3, 2)

▸ (x, y) = (2, 3) 또는 (3, 2)

원 x² + y² = 13과 직선 x + y = 5가 두 점 (2, 3), (3, 2)에서 만난다는 뜻이기도 하다.

정리

고차방정식 풀이의 핵심

인수정리 + 조립제법 → 차수 낮추기

삼차, 사차방정식을 이차 이하로 쪼갠다

교육청 고1 학력평가 유형

삼차방정식 x³ − 6x² + 11x − 6 = 0의 세 실근의 합을 구하시오.

①3

②4

③5

④6

⑤7

▸ ④ 6

삼차방정식 ax³ + bx² + cx + d = 0의 세 근의 합은 −b/a이다.

α + β + γ = −b/a

a = 1, b = −6을 대입한다.

α + β + γ = −(−6)/1 = 6

🎯 시험에 자주 나오는 것

①삼차방정식은 실근을 적어도 하나 갖는다

②x²과 x⁴처럼 짝수 차수의 항만 있는 사차방정식은 x² = t로 치환해 본다

③연립방정식은 대입해서 미지수가 하나인 방정식으로 바꾼다

④무리방정식은 양변을 제곱한 뒤 무연근을 걸러 낸다

⑤절댓값이 있는 방정식은 경우를 나누고 각 경우의 조건을 확인한다

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이차방정식

여러 가지 부등식

마지막 수정 2026-10-17

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