여러 가지 방정식

Various Equations

여러 가지 방정식에서는 이차를 넘어서는 삼차·사차 방정식과 연립방정식을 다뤄요. 삼차방정식의 근은 그래프가 x축과 만나는 점이라서, 인수정리로 근 하나를 찾고 조립제법으로 차수를 낮추면 이차식으로 풀 수 있어요. 연립방정식의 해는 두 그래프의 교점이고, 절대값이나 무리식이 들어간 방정식은 경우를 나누거나 제곱한 뒤 검산하면 돼요. 이 페이지에서는 계수를 바꾸며 삼차함수의 실근 개수와 두 곡선의 교점이 어떻게 변하는지 관찰해 봐요.

삼차방정식: 그래프로 근 찾기

삼차방정식 x³ + px + q = 0의 근은 그래프가 x축과 만나는 점입니다. 계수를 바꾸며 근의 개수가 어떻게 변하는지 관찰해 봅시다.

p (x의 계수)-3

q (상수항)2

💡 삼차방정식의 근

①삼차방정식은 최소 1개의 실근을 가진다

②그래프가 굴곡이 크면 (|p|가 크면) 3개의 실근 가능

③인수정리로 하나의 근을 찾고 → 조립제법으로 이차식으로 낮춘다

삼차·사차방정식 풀이 전략

인수분해 전략

정수 근 후보 → 조립제법 → 이차식으로 축소

상수항의 약수를 대입하여 근을 찾는다

치환 활용

x⁴ + ax² + b = 0 → t = x²로 치환

사차식이 이차식으로 변환

🔑 풀이 순서

①공통인수 확인

②정수 근 후보(상수항 약수) 대입

③조립제법으로 차수 낮추기

④남은 이차식에 근의 공식 적용

연립방정식: 그래프의 교점

연립방정식의 해는 두 그래프의 교점입니다. 일차와 이차의 연립은 대입법으로 풀 수 있습니다.

기울기 k2

📐 연립방정식 풀이

①한 식을 다른 식에 대입하여 일원 방정식으로 변환

②x² = kx + 1 → x² - kx - 1 = 0

③판별식으로 교점 개수 판단

④교점 좌표 = 연립방정식의 해

특수한 방정식

절대값 방정식

|f(x)| = g(x) → f(x) = ±g(x)

두 경우로 나누어 풀기 (g(x) ≥ 0 확인)

무리 방정식

√(f(x)) = g(x) → f(x) = g(x)², g(x) ≥ 0

양변 제곱 후 반드시 검산

직접 풀어보기

예제 1

삼차방정식 x³ − 8 = 0의 실근을 구하시오.

세제곱의 차 공식으로 인수분해한다.

x³ − 2³ = (x − 2)(x² + 2x + 4) = 0

x − 2 = 0에서 실근을 얻고, x² + 2x + 4 = 0은 판별식 D = 4 − 16 < 0이라 허근이다.

x = 2 (x² + 2x + 4 = 0은 허근)

▸ 실근은 x = 2

삼차식은 인수분해 후 판별식으로 실근과 허근을 구분한다.

예제 2

연립방정식 x + y = 5, x² + y² = 13을 푸시오.

x + y = 5에서 y = 5 − x를 둘째 식에 대입한다.

x² + (5 − x)² = 13

정리하면 x² − 5x + 6 = 0, 즉 (x − 2)(x − 3) = 0.

x² − 5x + 6 = 0 ⇒ (x, y) = (2, 3) 또는 (3, 2)

▸ (x, y) = (2, 3) 또는 (3, 2)

일차식을 한 문자에 대해 정리해 이차식에 대입한다(대입법).

총정리

고차방정식 풀이 핵심

인수정리 + 조립제법 → 차수 낮추기

삼차·사차를 이차로 분해

교육청 고1 학력평가 유형

삼차방정식 x³ − 6x² + 11x − 6 = 0의 세 실근의 합을 구하시오.

①3

②4

③5

④6

⑤7

▸ ④ 6

삼차방정식 ax³ + bx² + cx + d = 0의 세 근의 합은 −b/a이다.

α + β + γ = −b/a

a = 1, b = −6을 대입한다.

α + β + γ = −(−6)/1 = 6

🎯 시험 포인트

①삼차: 반드시 실근 1개 이상 존재

②사차: t = x² 치환 시도 (짝수 차수만 있을 때)

③연립: 대입법으로 일원 방정식 변환

④무리방정식: 양변 제곱 후 무연근 검산 필수

⑤절대값: 경우 분류 후 각각의 조건 확인