공통수학 이차방정식 Quadratic Equations
이차방정식은 최고차항이 이차인 방정식인데, 판별식 D = b² − 4ac 하나만 계산하면 근을 직접 구하기 전에 실근이 몇 개인지 알 수 있어요.
D가 양수이면 서로 다른 두 실근, 0이면 중근, 음수이면 서로 다른 두 허근이고, 이는 포물선 y = ax² + bx + c가 x축과 두 점에서 만나는지, 접하는지, 만나지 않는지와 꼭 맞아떨어져요.
근과 계수의 관계를 쓰면 두 근을 구하지 않고도 두 근의 합과 곱을 계수만으로 알 수 있어요.
첫 번째 그림에서는 b와 c에 따라 포물선과 x축이 만나는 모습이, 두 번째 그림에서는 p와 q에 따라 두 근과 그 합, 곱이 바뀌어요.
판별식으로 근의 개수를 미리 안다 이차방정식 ax² + bx + c = 0은 판별식 D = b² − 4ac 의 부호만 보면 실근이 몇 개인지 알 수 있다. 포물선이 x축과 만나는 모습과 함께 보면 그 까닭이 분명해진다.
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판별식 D의 부호에 따라 포물선 y = x² + bx + c가 x축과 두 점에서 만나거나, 접하거나, 만나지 않는 모습 💡 판별식이 말하는 것
①D > 0이면 포물선이 x축과 두 점에서 만나고, 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다
②D = 0이면 포물선이 x축에 접하고, 방정식은 중근을 갖는다
③D < 0이면 포물선이 x축과 만나지 않고, 방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다
④그림에서는 a = 1로 고정했으므로 D = b² − 4c이다
근의 공식 이차방정식의 근의 공식
x = -b ± √(b² - 4ac) 2a
ax² + bx + c = 0(a ≠ 0)의 근
판별식
D = b² − 4ac
D > 0: 서로 다른 두 실근, D = 0: 중근, D < 0: 서로 다른 두 허근
📐 근의 공식은 어떻게 나올까
①양변을 a로 나누고 완전제곱식을 만들면 (x + b/(2a))² = (b² − 4ac)/(4a²)이다
②양변의 제곱근을 구하면 x + b/(2a) = ±√D/(2a)이다
③x에 대하여 정리하면 근의 공식이 된다
④√D가 들어 있으므로 D의 부호가 근의 종류를 정한다
근과 계수의 관계 두 근 α, β를 직접 구하지 않아도 두 근의 합과 곱 은 계수만으로 알 수 있다.
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x² + px + q = 0의 두 근 α, β를 수직선 위에 나타내고 합 α + β와 곱 αβ를 적은 그림 근과 계수의 관계 공식 근과 계수의 관계
α + β = - b a , αβ = c a
ax² + bx + c = 0의 두 근 α, β의 합과 곱
두 근으로 이차방정식 만들기
x² − (α + β)x + αβ = 0
합과 곱을 알면 x²의 계수가 1인 이차방정식을 바로 쓸 수 있다
🔑 이렇게 쓴다
①α² + β² = (α + β)² − 2αβ
②1/α + 1/β = (α + β)/(αβ)
③실근일 때 |α − β| = √((α + β)² − 4αβ) = √D/|a|
④두 번째 그림에서 D < 0이라 수직선에 근이 없을 때도 합과 곱은 그대로 계산된다. 허근도 이 관계를 만족하기 때문이다
예제와 단원평가 예제 1
이차방정식 x² − 5x + 6 = 0의 두 근을 구하시오.
1 왼쪽을 인수분해한다.
x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0
2 각 인수를 0으로 놓는다.
x = 2 또는 x = 3
▸ x = 2 또는 x = 3
두 근의 합 5와 곱 6은 각각 −(−5)/1, 6/1과 같아 근과 계수의 관계로도 확인된다.
예제 2
이차방정식 x² − 7x + 10 = 0의 두 근을 α, β라 할 때, α² + β²의 값을 구하시오.
1 근과 계수의 관계로 합과 곱을 구한다.
α + β = 7, αβ = 10
2 α² + β² = (α + β)² − 2αβ에 넣는다.
= 7² − 2·10 = 49 − 20 = 29
▸ α² + β² = 29
실제로 두 근은 2와 5라서 2² + 5² = 29가 맞다. 근을 구하지 않아도 같은 답에 이른다.
정리 근의 공식
x = -b ± √(b² - 4ac) 2a
어떤 이차방정식에도 쓸 수 있는 풀이
근과 계수의 관계
α + β = - b a , αβ = c a
근을 구하지 않고 합과 곱을 계산한다
교육청 고1 학력평가 유형
이차방정식 x² − 4x + k = 0이 중근을 가질 때, 상수 k의 값은?
▸ ④ 4
1 중근 조건은 판별식 D = 0이다.
D = b² − 4ac = (−4)² − 4·1·k
2 D = 0을 풀어 k를 구한다.
16 − 4k = 0 ⇒ k = 4
🎯 시험에 자주 나오는 것
①판별식 D로 근의 종류를 먼저 판단한다
②D = 0이라는 조건은 접선이나 중근 문제에서 자주 쓰인다
③근과 계수의 관계로 α² + β² 같은 대칭식의 값을 구한다
④두 근의 합과 곱으로 새로운 이차방정식을 만든다
⑤계수가 실수인 이차방정식의 허근은 서로 켤레복소수이므로, 하나를 알면 다른 하나도 정해진다
마지막 수정 2026-10-17