이차방정식은 최고차항이 2차인 방정식으로, 판별식 D = b² − 4ac 하나면 근을 구하기 전에 근이 몇 개인지 미리 알 수 있어요.
D가 양수면 서로 다른 두 실근, 0이면 중근, 음수면 허근이라서 포물선이 x축과 만나는 방식으로 바로 보여요.
또 근과 계수의 관계를 쓰면 두 근을 직접 구하지 않고도 합과 곱을 계수만으로 알아낼 수 있어요.
이 페이지에서는 계수를 슬라이더로 바꾸며 포물선과 근이 어떻게 달라지는지 확인해 봐요.
판별식: 근의 개수를 미리 안다
이차방정식 ax² + bx + c = 0의 판별식 D = b² - 4ac로 근의 존재 여부를 바로 알 수 있습니다. 포물선이 x축과 만나는 방식으로 직관을 잡아봅시다.
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판별식 D에 따른 포물선과 x축의 관계
💡 판별식의 의미
①D > 0: 포물선이 x축을 두 점에서 만남 → 서로 다른 두 실근
②D = 0: 포물선이 x축에 접함 → 중근 (한 점)
③D < 0: 포물선이 x축과 만나지 않음 → 허근 (복소수 근)
근의 공식
이차방정식의 근의 공식
x = -b ± √(b² - 4ac)2a
ax² + bx + c = 0의 해
판별식
D = b² - 4ac
D > 0: 두 실근, D = 0: 중근, D < 0: 허근
📐 근의 공식 유도 직관
①완전제곱식 만들기: (x + b/2a)² = (b²-4ac)/4a²
②양변에 제곱근: x + b/2a = ±√D / 2a
③x에 대해 정리하면 근의 공식 완성
근과 계수의 관계
두 근 α, β를 직접 구하지 않아도 합과 곱을 계수만으로 알 수 있습니다.
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x² + px + q = 0의 두 근과 합·곱
근과 계수의 관계 공식
근과 계수의 관계
α + β = -ba, αβ = ca
ax² + bx + c = 0에서 두 근의 합과 곱
두 근으로 이차식 복원
x² - (α+β)x + αβ = 0
합과 곱을 알면 방정식을 만들 수 있다
🔑 활용 예
①α² + β² = (α+β)² - 2αβ
②1/α + 1/β = (α+β) / αβ
③|α - β| = √((α+β)² - 4αβ) = √D / |a|
직접 풀어보기
예제 1
이차방정식 x² − 5x + 6 = 0의 두 근을 구하시오.
1
좌변을 인수분해한다.
x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0
2
각 인수를 0으로 놓는다.
x = 2 또는 x = 3
▸ x = 2 또는 x = 3
인수분해가 되면 근의 공식보다 빠르다.
예제 2
이차방정식 x² − 7x + 10 = 0의 두 근을 α, β라 할 때, α² + β²의 값을 구하시오.