실수는 제곱하면 0 이상이 되기 때문에 x² = −1을 만족하는 실수는 없어요. 그래서 제곱하면 −1이 되는 새로운 수 i를 들여와 수의 범위를 넓힌 것이 복소수예요.
복소수는 a + bi(a, b는 실수) 꼴로 쓰고 a를 실수부, b를 허수부라고 하는데, 이렇게 넓히면 판별식이 음수인 이차방정식도 해를 갖게 돼요.
a + bi와 a − bi는 서로 켤레복소수이고, 둘을 곱하면 a² + b²이라는 실수가 나와요. 복소수의 나눗셈은 이 성질을 이용해요.
첫 번째 그림에서는 i를 거듭제곱할 때 값이 네 자리를 돌고, 두 번째 그림에서는 복소수 a + bi와 그 켤레복소수가 평면 위의 점으로 나타나요.
허수 단위 i
x² = −1을 만족하는 수가 필요해서 i² = −1인 수 i를 새로 정했다. i를 쓰면 수가 실수의 직선을 벗어나 새로운 방향으로 뻗어 나갈 수 있다.
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i의 거듭제곱 값이 1, i, −1, −i 네 자리를 차례로 도는 모습
💡 i의 거듭제곱은 네 개씩 되풀이된다
①i⁰ = 1, i¹ = i, i² = −1, i³ = −i이다
②i⁴ = i² × i² = 1이 되어 처음으로 돌아오므로, 값은 네 개를 주기로 되풀이된다
③그래서 iⁿ의 값은 n을 4로 나눈 나머지만 보면 정해진다
④그림 아래 줄의 나눗셈이 바로 이 나머지를 구하는 계산이다
복소수를 평면 위의 점으로
복소수 z = a + bi를 복소평면 위의 점 (a, b)로 나타내면, 가로축은 실수부를, 세로축은 허수부를 나타낸다.
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복소평면 위에 z = a + bi와 켤레복소수 z̄ = a − bi를 점으로 나타내고 원점까지의 거리 |z|를 함께 적은 그림
🔑 복소평면에서 읽을 것
①z = a + bi는 점 (a, b)이다
②켤레복소수 z̄ = a − bi는 점 (a, −b)로, 실수축에 대하여 z와 대칭이다
③|z|는 원점에서 점 (a, b)까지의 거리이므로 √(a² + b²)이다
④z · z̄ = a² + b² = |z|²이 늘 실수라서, 나눗셈은 분모의 켤레복소수를 분자와 분모에 곱해 분모를 실수로 만든다
복소수의 계산
덧셈
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
실수부는 실수부끼리, 허수부는 허수부끼리 더한다
곱셈
(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
분배법칙으로 전개한 뒤 i² = −1을 넣는다
켤레복소수끼리의 곱
z · z̄ = (a + bi)(a − bi) = a² + b² = |z|²
허수부가 사라져 늘 실수가 된다
두 복소수가 같을 조건
복소수가 서로 같을 조건
a + bi = c + di ⟺ a = c, b = d
a, b, c, d가 실수일 때, 실수부끼리 같고 허수부끼리 같아야 한다
📐 같을 조건 활용하기
①복소수로 된 방정식은 양변의 실수부와 허수부를 각각 비교해 미지수를 구한다
②z = z̄이면 b = 0이므로 z는 실수이다
③z = −z̄이면 a = 0이므로 z는 0이거나 순허수이다
예제와 단원평가
예제 1
(2 + 3i)(1 − 2i)를 a + bi 꼴로 나타내시오. (단, i는 허수단위이다.)
1
분배법칙으로 전개한다.
2 − 4i + 3i − 6i²
2
i² = −1을 넣고 실수부와 허수부를 정리한다.
2 − i + 6 = 8 − i
▸ 8 − i
−6i²이 +6이 되는 순간이 복소수 곱셈의 핵심이다. 이 부호를 놓치면 답이 −4 − i로 틀린다.
예제 2
i + i² + i³ + … + i¹⁰의 값을 구하시오.
1
i의 거듭제곱은 i, −1, −i, 1이 4개를 주기로 되풀이되고, 연속한 네 항의 합은 0이다.
i + i² + i³ + i⁴ = 0
2
i¹부터 i⁸까지의 합은 0이므로 i⁹ + i¹⁰만 남는다.
i⁹ + i¹⁰ = i + (−1) = −1 + i
▸ −1 + i
9 ÷ 4의 나머지가 1, 10 ÷ 4의 나머지가 2이므로 i⁹ = i, i¹⁰ = i² = −1이다. 위 첫 그림에서 n을 9, 10으로 옮겨 확인할 수 있다.