복소수

Complex Numbers

복소수는 제곱해서 −1이 되는 새로운 수 i를 도입해 실수의 세계를 넓힌 수예요. 음수의 제곱근은 실수로는 나타낼 수 없지만, i를 쓰면 모든 이차방정식이 반드시 해를 갖게 돼요. a + bi 꼴로 쓰며 실수부와 허수부로 이루어지고, 켤레복소수를 곱하면 다시 실수가 되는 성질이 있어요. 이 페이지에서는 복소수를 복소평면 위의 점으로 나타내며 덧셈과 곱셈이 어떤 움직임인지 확인해 봐요.

허수 단위 i의 탄생

x² = -1의 해가 필요해서 i² = -1인 수를 만들었습니다. i는 실수 축에서 벗어나 새로운 차원을 열어줍니다.

i의 거듭제곱5

💡 i의 순환 법칙

①i⁰ = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i

②i⁴ = 1로 다시 돌아옴 → 4주기 순환

③i^n의 값: n을 4로 나눈 나머지로 결정

복소평면: 복소수를 점으로

복소수 z = a + bi는 복소평면의 점 (a, b)로 나타냅니다. 가로축이 실수부, 세로축이 허수부입니다.

실수부 a3

허수부 b2

🔑 복소평면의 핵심

①z = a + bi → 점 (a, b)

②z̄ = a - bi → 실수축 대칭 (a, -b)

③|z| = 원점까지의 거리 = √(a² + b²)

복소수의 연산

복소수의 덧셈

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

실수부끼리, 허수부끼리 더한다

복소수의 곱셈

(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

분배법칙 후 i² = -1 적용

켤레복소수의 곱

z · z̄ = (a+bi)(a-bi) = a² + b² = |z|²

결과가 항상 실수 (허수부 소멸)

복소수의 상등 조건

복소수의 상등

a + bi = c + di ⟺ a = c, b = d

실수부와 허수부가 각각 같아야 한다

📐 상등 조건의 활용

①복소수 방정식에서 실수부·허수부를 비교하여 미지수 결정

②z = z̄ ⟺ b = 0 (순실수 조건)

③z = -z̄ ⟺ a = 0 (순허수 조건)

직접 풀어보기

예제 1

(2 + 3i)(1 − 2i)를 a + bi 꼴로 나타내시오. (i는 허수단위)

분배법칙으로 전개한다.

2 − 4i + 3i − 6i²

i² = −1을 대입하고 정리한다.

2 − i + 6 = 8 − i

▸ 8 − i

i² = −1을 대입하는 순간이 복소수 곱셈의 핵심이다.

예제 2

i + i² + i³ + … + i¹⁰의 값을 구하시오.

i의 거듭제곱은 i, −1, −i, 1이 주기 4로 반복하며, 연속한 네 항의 합은 0이다.

i + i² + i³ + i⁴ = 0

i¹부터 i⁸까지의 합은 0이고, 남는 것은 i⁹ + i¹⁰이다.

i⁹ + i¹⁰ = i + (−1) = −1 + i

▸ −1 + i

거듭제곱은 지수를 4로 나눈 나머지로 판단한다.

총정리

허수 단위

i² = -1, i의 거듭제곱은 4주기 순환

i⁰=1, i¹=i, i²=-1, i³=-i

절대값

|z| = |a + bi| = √(a² + b²)

복소평면에서 원점까지의 거리

고1 내신 유형

복소수 z = 3 − 4i에 대하여 z·z̄의 값은? (z̄는 z의 켤레복소수)

①5

②7

③25

④−7

⑤−25

▸ ③ 25

켤레복소수는 z̄ = 3 + 4i이므로 두 복소수를 곱한다.

z·z̄ = (3 − 4i)(3 + 4i)

합과 차의 곱 공식으로 정리한다.

= 3² − (4i)² = 9 + 16 = 25

🎯 시험 포인트

①i의 거듭제곱: 지수를 4로 나눈 나머지

②복소수 나눗셈: 분모의 켤레를 곱해 실수화

③z · z̄ = |z|²는 반드시 기억

④상등 조건: 실수부·허수부 따로 비교

⑤복소평면: 켤레복소수는 실수축 대칭