인수분해는 전개를 거꾸로 하는 일로, 하나의 다항식을 몇 개의 다항식의 곱으로 다시 묶어 내는 과정이에요.
넓이가 x² + 5x + 6인 직사각형의 가로와 세로를 되찾는다고 생각하면, 더해서 5, 곱해서 6이 되는 두 수 2와 3을 찾아 (x + 2)(x + 3)으로 나누게 돼요.
x⁴이 들어 있어 막막해 보이는 식도 x² = t로 바꾸면 익숙한 이차식이 되고, 삼차 이상의 식은 인수정리로 근 하나를 찾는 데서 실마리가 풀려요.
첫 번째 그림에서는 두 수 a, b에 따라 넓이 모델의 네 조각이, 두 번째 그림에서는 계수 k에 따라 치환해서 인수분해하는 과정이 바뀌어요.
인수분해는 곱셈을 거꾸로 하는 일
인수분해는 전개를 거꾸로 하는 과정이다. 직사각형의 넓이를 식으로 알 때 가로와 세로의 길이를 되찾는 일과 같다.
2
3
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넓이가 x² + (a + b)x + ab인 직사각형을 네 조각으로 나누어 가로 x + b, 세로 x + a를 찾는 넓이 모델
💡 합과 곱으로 두 수 찾기
①x² + px + q에서 더해서 p, 곱해서 q가 되는 두 수를 찾는다
②그 두 수가 a, b이면 x² + px + q = (x + a)(x + b)이다
③넓이 모델로 보면 오른쪽 위 직사각형 bx와 왼쪽 아래 직사각형 ax를 더한 것이 px이고, 오른쪽 아래 직사각형의 넓이 ab가 q이다
인수분해 공식 모음
공식
꼭 알아야 할 인수분해 공식
치환을 이용한 인수분해
복잡해 보이는 식도 알맞게 치환하면 이차식이 된다. x⁴이 들어 있으면 x² = t로, 같은 덩어리가 되풀이되면 그 덩어리를 한 문자로 바꾼다.
3
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x⁴ + kx² + (k − 1)을 x² = t로 치환해 t의 이차식으로 인수분해한 뒤 다시 x²로 되돌리는 과정
🔑 치환해서 인수분해하는 순서
①같은 덩어리가 보이면 그것을 한 문자로 바꾼다
②x⁴ + ax² + b 꼴은 x² = t로 바꾸면 t의 이차식이 된다
③t의 이차식을 인수분해한 다음 t 자리에 x²을 다시 넣는다
④되돌린 인수 가운데 x² − 4처럼 더 나뉘는 것이 있으면 끝까지 나눈다
인수분해를 시작하는 순서
공통인수부터 묶는다
공통인수 묶기 → 공식 적용 → 치환 · 인수정리
이 순서대로 살피면 대부분의 식을 나눌 수 있다
합차 공식
a² − b² = (a + b)(a − b)
가장 자주 쓰이는 인수분해 공식이다
예제와 단원평가
예제 1
x³ + 8을 인수분해하시오.
1
8 = 2³이므로 세제곱의 합 공식 a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)을 쓴다.
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
2
a = x, b = 2를 넣는다.
x³ + 2³ = (x + 2)(x² − 2x + 4)
▸ (x + 2)(x² − 2x + 4)
뒤쪽의 x² − 2x + 4는 판별식이 4 − 16 < 0이라 실수 범위에서 더 나뉘지 않는다.
예제 2
x⁴ − 13x² + 36을 인수분해하시오.
1
x² = t로 치환하면 t의 이차식이 된다.
t² − 13t + 36 = (t − 4)(t − 9)
2
t 자리에 x²을 다시 넣고, 각 인수를 합차 공식으로 한 번 더 나눈다.
(x² − 4)(x² − 9) = (x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 3)
▸ (x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 3)
치환해서 얻은 (x² − 4)(x² − 9)에서 멈추면 아직 덜 나눈 것이다. 되돌린 뒤에도 더 나뉘는지 꼭 확인한다.
정리
이차식의 인수분해
x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
합과 곱으로 두 인수를 찾는다
세제곱의 합과 차
a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²)
뒤쪽 괄호의 가운데 항은 앞쪽과 부호가 반대다
고1 내신 유형
다항식 x³ − 2x² − 5x + 6을 인수분해하면?
①(x − 1)(x − 2)(x + 3)
②(x − 1)(x + 2)(x − 3)
③(x + 1)(x − 2)(x − 3)
④(x − 1)(x − 2)(x − 3)
⑤(x + 1)(x + 2)(x − 3)
▸ ② (x − 1)(x + 2)(x − 3)
1
x = 1을 대입하면 0이므로 인수정리에 의해 x − 1이 인수이다.
f(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0
2
나눗셈으로 몫을 구하고 다시 인수분해한다.
(x − 1)(x² − x − 6) = (x − 1)(x + 2)(x − 3)
🎯 시험에 자주 나오는 것
①먼저 공통인수가 있는지 살핀다
②두 항이 모두 제곱 꼴이면 합차 공식을 쓴다
③세 항이 a² ± 2ab + b² 꼴인지 확인해 완전제곱식으로 묶는다
④x⁴이 있는 식은 x² = t로 치환해 본다
⑤삼차 이상의 식은 상수항의 약수를 넣어 0이 되는 값을 찾고, 인수정리로 일차식 인수를 얻는다