인수분해

Factorization

인수분해는 전개의 정반대 방향으로, 하나의 다항식을 곱의 꼴로 다시 묶어내는 과정이에요. 넓이가 주어졌을 때 가로와 세로 길이를 되찾는 것처럼, x² + (a+b)x + ab를 보면 합이 (a+b)이고 곱이 ab인 두 수를 찾아 (x+a)(x+b)로 분해해요. x⁴처럼 차수가 높아 막막한 식도 t = x²로 치환하면 익숙한 이차식으로 바뀌고, 고차식은 인수정리로 근을 하나 찾는 데서 실마리가 풀려요. 이 페이지에서는 a, b와 계수 k를 슬라이더로 바꿔 가며 넓이 모델과 치환 과정을 직접 확인해 봐요.

인수분해 = 곱셈의 역과정

인수분해는 전개의 역과정입니다. 넓이가 주어졌을 때 가로·세로 길이를 찾는 것과 같습니다.

💡 합과 곱으로 찾기

①x² + px + q에서 합=p, 곱=q인 두 수를 찾는다

②그 두 수가 a, b → (x+a)(x+b)

③넓이 모델에서: 가로와 세로를 찾는 과정

인수분해 공식 정리

공식

인수분해 핵심 공식

치환을 이용한 인수분해

복잡한 식도 적절한 치환을 하면 이차식으로 바뀝니다. x⁴ 꼴은 t = x²로, 반복되는 부분은 하나의 문자로 치환합니다.

계수 k3

🔑 치환 인수분해 전략

①공통 부분이 보이면 하나의 문자로 치환

②x⁴ + ax² + b → t = x²로 치환 → t의 이차식

③치환 후 인수분해 → 원래 변수로 복원

인수분해 실전 전략

핵심: 공통인수 먼저

공통인수 추출 → 공식 적용 → 치환 시도

인수분해의 3단계 접근법

합차공식 활용

a² - b² = (a + b)(a - b)

가장 많이 쓰이는 인수분해 공식

직접 풀어보기

예제 1

x³ + 8을 인수분해하시오.

8 = 2³이므로 세제곱의 합 공식 a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)를 쓴다.

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

a = x, b = 2를 대입한다.

x³ + 2³ = (x + 2)(x² − 2x + 4)

▸ (x + 2)(x² − 2x + 4)

세제곱의 합·차 공식을 기억하면 바로 분해된다.

예제 2

x⁴ − 13x² + 36을 인수분해하시오.

x² = t로 치환하면 이차식이 된다.

t² − 13t + 36 = (t − 4)(t − 9)

t = x²로 되돌리고 각 인수를 합·차 공식으로 분해한다.

(x² − 4)(x² − 9) = (x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 3)

▸ (x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 3)

복이차식은 치환 후 다시 합·차 공식으로 끝까지 분해한다.

총정리

이차식 인수분해

x² + (a+b)x + ab = (x + a)(x + b)

합과 곱으로 두 인수를 찾는다

세제곱 인수분해

a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²)

부호 주의: 가운데 항은 반대 부호

고1 내신 유형

다항식 x³ − 2x² − 5x + 6을 인수분해하면?

①(x − 1)(x − 2)(x + 3)

②(x − 1)(x + 2)(x − 3)

③(x + 1)(x − 2)(x − 3)

④(x − 1)(x − 2)(x − 3)

⑤(x + 1)(x + 2)(x − 3)

▸ ② (x − 1)(x + 2)(x − 3)

x = 1을 대입하면 0이므로 인수정리에 의해 x − 1이 인수이다.

f(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0

나눗셈으로 몫을 구하고 다시 인수분해한다.

(x − 1)(x² − x − 6) = (x − 1)(x + 2)(x − 3)

🎯 시험 포인트

①공통인수를 먼저 뽑아내는 습관

②합차공식: 두 항이 제곱꼴인지 확인

③완전제곱식: 가운데 항이 2ab인지 확인

④치환: x⁴ 문제는 t = x² 치환 시도

⑤인수정리 연계: 상수항 약수 대입하여 근 찾기