나머지정리는 다항식을 직접 나누지 않고도 나머지를 알아내는 지름길이에요.
다항식 P(x)를 x − a로 나눈 나머지는 P(a)와 같아서, x 자리에 a를 한 번 넣으면 나머지가 나와요.
이때 나머지가 0이면 x − a로 나누어떨어진다는 뜻이고, 곧 x − a가 P(x)의 인수예요. 이것이 인수정리이고, 삼차 이상의 식을 인수분해할 때 첫 단추가 돼요.
첫 번째 그림에서는 a를 바꾸면 그래프 위의 점 (a, P(a))의 높이가 곧 나머지로 읽히고, 두 번째 그림에서는 그래프가 x축과 만나는 점에서 인수를 찾을 수 있어요.
나머지정리: 넣으면 나머지
다항식 P(x)를 x − a로 나눈 나머지는 P(a)와 같다. 나눗셈을 하지 않고 값을 넣는 것만으로 나머지를 구할 수 있다.
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P(x) = x³ − 2x² + x − 2의 그래프에서 x = a일 때의 높이 P(a)를 x − a로 나눈 나머지로 읽는 그림
💡 나머지정리가 성립하는 까닭
①P(x)를 x − a로 나누면 P(x) = (x − a)·Q(x) + R이다
②여기에 x = a를 넣으면 P(a) = 0·Q(a) + R = R이다
③그러므로 나머지 R은 P(a)와 같다
④그림에서 a = 2이면 P(2) = 0이라, 이 다항식은 x − 2로 나누어떨어진다
⑤ax + b로 나눈 나머지는 아래 공식처럼 P(−b/a)이다
나머지정리 공식
나머지정리
P(x)를 x − a로 나눈 나머지 = P(a)
넣은 값이 곧 나머지이다
일차식 ax + b로 나눌 때
P(x) ÷ (ax + b)의 나머지 = P(-ba)
ax + b = 0의 해를 넣는다
인수정리: P(a) = 0이면 인수
나머지가 0이라는 것은 그래프가 그 자리에서 x축과 만난다는 뜻이다. P(a) = 0이면 x − a는 P(x)의 인수이다.
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P(x) = (x − a)(x² + 1)의 그래프가 x = a에서 x축과 만나 x − a가 인수임을 나타낸 그림
🔑 인수정리의 핵심
①P(a) = 0과 'x − a가 P(x)의 인수'는 같은 말이다
②그래프에서는 x축과 만나는 점의 x좌표가 인수 x − a의 a이다
③그림의 다항식은 x² + 1이 0이 되지 않으므로 x축과 한 점에서만 만난다
④삼차 이상의 식은 이런 근을 하나 찾는 데서 인수분해를 시작한다
인수정리를 쓰는 법
인수정리
P(a) = 0 ⟺ x − a는 P(x)의 인수
나머지가 0이면 나누어떨어지고, 나누어떨어지면 인수이다
📐 고차식 인수분해 순서
①상수항의 약수를 근의 후보로 삼는다(±1, ±2, ±3, …)
②후보를 넣어 P(a) = 0이 되는 값을 찾는다
③조립제법으로 P(x)를 x − a로 나누어 몫을 구한다
④몫을 다시 인수분해한다
예제와 단원평가
예제 1
다항식 P(x) = x³ − 2x + 5를 x − 2로 나눈 나머지를 구하시오.
1
나머지정리에 따라 x − 2로 나눈 나머지는 P(2)이다.
R = P(2)
2
x = 2를 넣는다.
P(2) = 2³ − 2·2 + 5 = 8 − 4 + 5 = 9
▸ 9
조립제법으로 직접 나눠도 마지막 칸에 9가 나온다. 나머지정리는 그 계산을 한 번의 대입으로 줄인 것이다.
예제 2
다항식 P(x) = x³ + ax + 2가 x + 1로 나누어떨어질 때, 상수 a의 값을 구하시오.
1
x + 1 = x − (−1)이므로, 인수정리에 따라 P(−1) = 0이다.
P(−1) = 0
2
x = −1을 넣어 방정식을 푼다.
(−1)³ + a(−1) + 2 = 1 − a = 0 ⇒ a = 1
▸ a = 1
a = 1이면 P(x) = x³ + x + 2 = (x + 1)(x² − x + 2)로, 실제로 x + 1이 인수다.
정리
나머지정리
P(x)를 x − a로 나눈 나머지 R = P(a)
값을 한 번 넣으면 나머지가 정해진다
인수정리
P(a) = 0 ⟹ P(x) = (x − a) · Q(x)
나머지가 0이면 x − a가 인수이다
교육청 고1 학력평가 유형
다항식 P(x)를 x − 1로 나눈 나머지가 3, x + 2로 나눈 나머지가 −3이다. P(x)를 (x − 1)(x + 2)로 나눈 나머지를 R(x) = ax + b라 할 때, ab의 값은?
①0
②1
③2
④3
⑤4
▸ ③ 2
1
나머지정리로 P(1) = R(1), P(−2) = R(−2)에서 두 식을 세운다.
a + b = 3, −2a + b = −3
2
연립하여 풀면 3a = 6, a = 2, b = 1.
a = 2, b = 1 ⇒ ab = 2
🎯 시험에 자주 나오는 것
①x − a로 나눌 때는 a를, ax + b로 나눌 때는 −b/a를 넣는다
②인수정리로 근을 찾을 때는 상수항의 약수부터 넣어 본다
③조립제법과 함께 써서 고차식을 인수분해한다
④P(x)가 (x − a)(x − b)로 나누어떨어지면 P(a) = 0과 P(b) = 0이 함께 성립한다