공통수학 나머지정리와 인수정리

Remainder Theorem & Factor Theorem

나머지정리는 다항식을 직접 나누지 않고도 나머지를 바로 알아내는 지름길이에요. 다항식 f(x)를 x − a로 나눈 나머지는 놀랍게도 f(a) 하나로 정해지는데, 대입 한 번이면 끝나요. 특히 나머지가 0이면 x − a가 인수라는 뜻이라, 이 인수정리로 고차식도 척척 인수분해할 수 있어요. 나누는 수 a 값을 바꾸면 나머지가 어떻게 변하고 언제 0이 되는지 보여요.

나머지정리: 대입하면 나머지

다항식 P(x)를 (x - a)로 나눈 나머지는 P(a)와 같습니다. 나눗셈 없이 대입만으로 나머지를 구할 수 있는 강력한 도구입니다.

a의 값2

💡 나머지정리의 직관

①f(x) = (x-a)·Q(x) + R 에서 x=a를 대입하면

②f(a) = 0·Q(a) + R = R

③따라서 나머지 R = f(a)

④이 그림은 (x − a)만 그린다. (ax + b)의 나머지 P(−b/a)는 아래 공식 상자다

나머지정리 공식

나머지정리

P(x) ÷ (x - a)의 나머지 = P(a)

대입값이 곧 나머지

일반화

P(x) ÷ (ax + b)의 나머지 = P(-ba)

ax + b = 0의 근을 대입

인수정리: P(a)=0 이면 인수

나머지가 0이라는 것은, 그래프가 x축과 만난다는 뜻입니다. P(a) = 0이면 (x - a)는 P(x)의 인수입니다.

근 a3

🔑 인수정리의 핵심

①P(a) = 0 ⟺ (x - a)는 P(x)의 인수

②그래프에서: x축과의 교점이 곧 인수를 알려줌

③고차식의 인수분해 첫 단추 = 정수 근 찾기

인수정리 활용법

인수정리

P(a) = 0 ⟺ (x - a)는 P(x)의 인수

나머지가 0 = 나누어떨어짐 = 인수

📐 고차식 인수분해 전략

①상수항의 약수를 후보로 시도 (±1, ±2, ±3, ...)

②P(후보) = 0 되는 값 찾기

③조립제법으로 몫 구하기

④몫을 다시 인수분해

직접 풀어보기

예제 1

다항식 P(x) = x³ − 2x + 5를 x − 2로 나눈 나머지를 구하시오.

나머지정리에 의해 x − a로 나눈 나머지는 P(a)이다 (a = 2).

R = P(2)

x = 2를 대입한다.

P(2) = 2³ − 2·2 + 5 = 8 − 4 + 5 = 9

▸ 나머지는 9

x − a로 나눈 나머지는 P(a)를 대입하면 끝난다.

예제 2

다항식 P(x) = x³ + ax + 2가 x + 1로 나누어떨어질 때, 상수 a의 값을 구하시오.

인수정리에 의해 x + 1로 나누어떨어지면 P(−1) = 0이다.

P(−1) = 0

x = −1을 대입하여 방정식을 푼다.

(−1)³ + a(−1) + 2 = 1 − a = 0 ⇒ a = 1

▸ a = 1

나누어떨어진다는 것은 나머지가 0, 즉 인수정리 P(a) = 0이다.

총정리

나머지정리

P(x) ÷ (x - a)의 나머지 R = P(a)

대입 한 번으로 나머지 확정

인수정리

P(a) = 0 ⟹ P(x) = (x - a) · Q(x)

나머지가 0이면 인수

교육청 고1 학력평가 유형

다항식 P(x)를 x − 1로 나눈 나머지가 3, x + 2로 나눈 나머지가 −3이다. P(x)를 (x − 1)(x + 2)로 나눈 나머지를 R(x) = ax + b라 할 때, ab의 값은?

①0

②1

③2

④3

⑤4

▸ ③ 2

나머지정리로 P(1) = R(1), P(−2) = R(−2)에서 두 식을 세운다.

a + b = 3, −2a + b = −3

연립하여 풀면 3a = 6, a = 2, b = 1.

a = 2, b = 1 ⇒ ab = 2

🎯 시험 포인트

①나머지정리: (x-a)뿐 아니라 (ax+b)도 근 대입

②인수정리: 상수항의 약수부터 대입 시도

③조립제법과 결합하여 고차식 인수분해

④f(x)가 (x-a)(x-b)로 나누어지면 f(a)=0, f(b)=0 동시 성립

⑤나머지정리 역이용: R을 알면 계수 결정 가능